Az épített környezet szerkezetét Konkoly az úgynevezett kronosz és kairosz görög időfogalmakkal írja körül, ahol vannak a különféle városok és egyéb települések közötti utak, amelyek egyfajta folyamatos vándorlást jelképeznek, tehát az idő folyamatos jellegét, ami megfeleltethető a kronosznak, amely a görögöknél a folyamatos idő fogalmát jeleníti meg. A városok és a települések pedig megfeleltethetőek a kairosznak, ami a görögöknél egyfajta kitüntetett időpontokat jelent, mint például a különféle ünnepek, vagy nagy események. A városokba való megérkezés is ilyen kitüntetett időpontokat jelentett a vándorok és zarándokok számára a középkorban, így köthetők össze a városok a kairosszal, mint időfogalommal. Ebben a cikkemben azt próbálom elemezni, hogy milyen matematikai alapjai vannak annak a ténynek, hogy a középkori épített környezet organikusan tudott beleilleszkedni a természeti tájba.
A kronosz és kairosz görög időfogalmakkal kapcsolatban megjegyzendő, hogy egyes teológiatörténészek szerint az őskeresztények Krisztus születését tartották egy ilyen kairosznak, vagyis kitűntetett időpontnak a folyamatos időben, ami kettészeli az emberi történelmet két egyenrangú időszeletre ahol Krisztus a történelem középpontja. Az idő középpontjáról, és a két végtelen időszeletről más keresztény teológusok is értekeztek. Aquinói Szent Tamás: A világ örökkévalóságáról című könyvében két írás található. Az egyikben Aquinói Szent Tamás vizsgálja meg azt a kérdést filozófiai szempontból, hogy teremthette e Isten örökkévalónak a világegyetemet. Ezt a különféle eretnek nézetekkel szembeni harc érdekében tette. Végül arra a következtetésre jut, hogy nincs ellentmondás a világ örökkévalósága, és az Isteni teremtés lehetősége között. A második írás Geréby György tollából való, aki a világ örökkévalóságáról szóló középkori vitákat mutatja be részletesen.
Ezek közül, ami nekem leginkább felkeltette az érdeklődésemet az nem mással, mint az idővel kapcsolatos. Bonaventura írta le először az idő végtelenségének paradox természetét. Véleménye szerint a végtelenhez, és így a végtelen időhöz is, hiába adunk hozzá valamennyit, mégsem lesz nagyobb. Viszont, ha a világ örökkévaló, akkor a világnak nincs kezdete, tehát végtelen idő óta kell léteznie, és ez a végtelen mennyiség minden nappal több lesz, tehát ellentmondáshoz jutottunk.
Felhoz ezen kívül olyan érvet is a végtelen hosszú idő létezésének lehetetlenségére, hogy a végtelent nem lehet végighaladni, viszont, ha a világ örökkévaló, akkor végtelen idő óta létezik, és ilyen értelemben nem lehetett volna eljutni a mai naphoz. Még két ehhez hasonló érvet is felhoz, nem is ezek az érdekesek. A legérdekesebb John Peckham érvelése.
Ha az idő öröktől fogva létezik, akkor mind a múlt, mind pedig a jövő irányában végtelennek kell tekintenünk. Jelöljünk ki egy korábbi A és egy későbbi B pontot az időben! Az A előtti múltat nevezzük A-múltnak, az A utáni jövőt A-jövőnek. A B előtti múltat B-múltnak, a B utáni jövőt B-jövőnek. Gondoljuk végig ezeknek a dolgoknak a természetét. Ha két dolog egyenlő, akkor abban az esetben, ha valamely másik dolog nagyobb az egyiknél, akkor a másiknál is nagyobbnak kell lennie. Továbbá, ha valamelyik nagyobb valaminél, akkor a másiknak is nagyobbnak kell lennie.
Elmondhatjuk azt is, hogy az a dolog, amely tartalmaz egy másik dolgot, és még valamivel több is annál, annak nagyobbnak kell lennie a másiknál, és ahhoz képest valamiféle egészet kell alkotnia. Továbbá elgondolható, hogy ugyanabból az oszthatatlan pontból kiinduló végtelen dolgok egyenlők. Ezek után a következő érvet hozhatjuk fel: A-múlt és A-jövő nyilvánvalóan egyenlő egymással, hiszen egymás mellé helyezve őket mind a kettő egyforma nagyságú kell, hogy legyen.
Oscar Cullman Értelemszerűen B-múltnak is egyenlőnek kell lennie B-jövővel. B-múlt viszont nagyobb A-múltnál, illetve A-múlthoz képest valamiféle egészet alkot. Így nagyobb A-jövőnél. B-múlt illetve B-jövő viszont egyenlők. Így B-jövő nagyobb, mint A-jövő, azonban A-jövőt valamiféle egésznek kell tekintenünk, tehát nagyobbnak kell tekintenünk B-jövőnél, és így ellentmondásba jutottunk, ha feltételezzük, hogy az időnek nincs kezdete. Ebből következően nem meglepő, hogy később Georg Cantor-nak a modern halmazelmélet lángelméjű megalkotójának a végtelenséggel kapcsolatos metafizikai vizsgálódásait a neotomisták karolták fel.
Oscar Cullmann: Krisztus és az idő című könyvében az őskereszténység idő fogalmát elemzi. Szerinte az őskeresztények a világtörténelmet, amibe az égi történelem is beletartozik nemcsak a földi, üdvtörténetnek fogták fel, és úgynevezett kairoszokra és aiónokra osztották őket. A kairosz valamilyen kitüntetett időtartamot jelent az üdvtörténeten belül, amikor valamilyen fontos dolog történik az üdvtörténet szempontjából Isten üdvtervét követve. Ilyen például Krisztus születése és élete. Az aión pedig világkorszakokat jelent az üdvtörténeten belül. Három világkorszak különíthető el: a teremtés előtti világkorszak, a földi történelem korszaka, végül a végítélet utáni világkorszak, amikor a lelkek visszakerülnek Istenhez a mennybe, vagy kárhozatra a pokolba.
Cullmann hangsúlyozza, hogy az őskeresztények a túlvilági létezést csak időként tudták elképzelni, méghozzá végtelen időként, és nem időtlenségként, mint a görögök. Ugyanis a görögök szerint a túlvilágon, vagyis az örökkévalóságban nem végtelen időben élnek a lelkek hanem időtlenségben, ahol megszűnik létezni az idő. Ez a gondolat idegen volt az őskereszténységtől Cullmann szerint.
Sőt a könyvében leírtakból azt veszem ki, hogy a földi történelmet is csak végtelen időként lehetett elképzelni az őskereszténység gondolatvilágában, de ez nyilván képtelenség, mert a földi történelem egyszer véget ér a keresztény eszkatalógia szerint. A Cullman által leírt üdvtörténet szerkezete tehát úgy néz ki, hogy két végtelen szakasz fog közre egy véges szakaszt. Ez a gondolat talán felhasználható Peckham paradoxonának feloldásához, hiszen ha jobban megnézzük, akkor láthatjuk, hogy ha a teret, vagy az időt végtelenként fogjuk fel, akkor pont olyan a szerkezete, mint Cullmann üdvtörténeti elképzelésének.
Ennek szemléltetésére jelöljünk ki egy pontot a végtelen térben, és induljunk el két egymástól ellenkező irányba. Logikailag kikövetkeztethetjük, hogy ha a tér végtelen, akkor bármeddig haladunk a kijelölt ponttól vett két egymástól ellenkező irányba, mindig végtelen hosszú út marad hátra mindkét irányba, és az általunk mindkét irányba megtett út soha nem lesz végtelen hosszú, hanem véges marad. Tehát ebből kifolyólag a végtelen tér szerkezetének látszólag valóban olyannak kell lennie, mint a Cullmann által felvázolt üdvtörténet szerkezetének, ahol két végtelen rész fog közre egy véges részt. Azonban itt megint paradoxonhoz jutottunk, mert ha a tér végtelen, akkor a tér azon többi részének is léteznie kell, amit a kijelölt ponttól kiindulva még nem jártunk be, és soha nem is járhatunk be, hiszen az előbb megállapítottuk, hogy akár meddig jutunk előre a kijelölt ponttól, az általunk megtett útnak mindig végesnek kell maradnia, a még előttünk lévő útnak pedig mindig végtelennek.
Tehát ha az általunk még meg nem tett út ugyanúgy létezik, akkor a két végtelen szakasz által közrefogott véges szakasznak egyszerre kell végtelennek és végesnek lennie, mert végtelen ideig haladhatunk a kijelölt ponttól vett két ellentétes irányba, azon az úton, ami még hátra van, csak ezt az utat soha nem járhatjuk be, és a hátralévő út mindig végtelen marad. Ennek az újabb paradoxonnak a feloldására határoljuk el egymástól az úgynevezett osztott és osztatlan végtelent. Osztatlan végtelen például a végtelen tér, vagy a végtelen vonal, hiszen ezeknek a részei egymással teljes egységet alkotnak, a részeik egymástól el nem különíthetőek, csak ha képzeletben elmetszük őket egymástól. Az osztott végtelenre példák a számok. Számokból végtelen sok van ugyan, de ezek egymástól jól elkülöníthető részekre tagolódnak, mint például: 1, 2, 3, és így ezeknek a számoknak a halmaza is osztott végtelennek tekinthető.
A két végtelen által közrefogott véges szakaszt, amelyről az előbb megállapítottuk, hogy egyszerre véges és végtelen, mint egyszerre végest és végtelent nehéz úgy megragadnunk, mint osztatlan végtelent. Azonban ha osztott végtelenként gondolunk rá, akkor már könnyebb elképzelnünk. A két végtelen szakaszt, ami ezt az egyszerre véges és végtelen szakaszt közre fogja nevezzük abszolút végtelennek. Ezekről egyenlőre nem tudunk fogalmat alkotni. Az egyszerre véges és végtelen szakaszt pedig relatíve végtelennek. Ez nem tévesztendő össze a filozófia fogalomtárából ismert potenciálisan végtelennel, ami minden határon túlterjedőt jelent. Mert a relatíve végtelen nem minden határon túlterjedő, hanem egyszerre ténylegesen végtelen és véges, hiszen egyszerre magában foglalja az összes határt, amin a potenciálisan végtelen túlterjed.
A relatíve végtelen szakaszt jobban el tudjuk képzelni egyszerre végesként és végtelenként, ha nem osztatlan végtelenként képzeljük el, hanem olyan osztott végtelenként, ami nem más, mint a tér összes véges méretének halmaza. Így tehát egyszerre véges marad, mert ez a halmaz csak véges méreteket tartalmaz, ugyanakkor végtelen is, mert ezekből a véges méretekből végtelen sok van a halmazban. Így tehát az újonnan keletkezett paradoxonunkat feloldottuk is az eredetit is, hiszen ott éppen az volt a paradoxon, hogy a végtelen hosszú osztatlanul végtelen szakaszok egyenlők egymással, vagy egymásnál is nagyobbak annak ellenére, hogy véges fogalmaink szerint csak az egyiknek kellene nagyobbnak lennie a másiknál.
Az osztott végtelenek világában pedig, vagyis a modern halmazelméletben megszokott az a jelenség, hogy két végtelen egyenlő egymással annak ellenére, hogy nagyobbnak kellene lennie egyiknek a másiknál. A halmazelmélet tudományának mai állása szerint két halmaz elemeinek száma egyenlő, ha elemeiket egyértelműen meg tudjuk feleltetni egymásnak. Ez a halmazelmélet szerint igaz mind a véges, mind pedig a végtelen halmazokra. Csak azt kell bizonyítani, hogy ha két végtelen halmaz elemeit egymáshoz rendeljük az egy-egy egyértelmű leképezés. Így például könnyen bebizonyítható, hogy az a leképezés, amelynek során a természetes számokat kétszeresükhöz (vagy éppen minden természetes számot a feléhez) rendelünk, egy-egy egyértelmű leképezés.
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
6 → 12
7 → 14
8 → 16
És így tovább. Eszerint tehát éppen annyi páros szám van, mint amennyi természetes szám. Vagyis a természetes számok halmaza egyenlő számosságú annak egyik részhalmazával. Ugyanezzel a módszerrel könnyen bebizonyítható az is, hogy a természetes számok halmaza egyenlő számosságú a racionális számok halmazával. Kiszámítható, hogy melyik természetes számnak melyik racionális szám felel meg.
2 → 1/1
3 → 1/2
4 → 2/1
5 → 1/3
6 → 3/1
7 → 1/4
8 → 2/3
9 → 3/2
10 → 4/1
Ezzel tehát Peckham paradoxonát feloldottuk. Azonban megmarad a kérdés, hogy milyen szerkezetű a két abszolút végtelen. Talán azok is egy relatíve végtelenből, és két abszolút végtelenből állnak, ahogy az így keletkezett négy abszolút végtelen is további két abszolút végtelenből és egy relatíve végtelenből áll? Ez csak játék volt a gondolatokkal. Felmerül a kérdés, hogy egyáltalán létezhet e a relatív végtelent közrefogó két abszolút végtelen, hiszen ahogy a fejtegetésünkből kiderül, a relatív végtelennek elméletileg minden létezőt magában kell foglalnia az általunk vizsgált végtelen térben. Lehet, hogy ha létezik is, ennek a létezésmódnak csak valamiféle fizikán túli jelleget tulajdoníthatunk, mint például túlvilág?
Ezzel körülírtuk a kronosz és kairosz fogalmával leírható végtelen tér szerkezetét, ami a középkori gótikus templomoknak is az őstípusa, hiszen a gótika égbenyúló katedrálisai, és azok határtalannak tűnő belső terei mindig is a végtelen tér képzetét sugallták az emberek számára. De hogyan írható körül a természeti táj térszerkezete, amibe a középkori épített környezet a gótikus katedrálisokkal együtt szervesen beleilleszkedett? A természeti táj elő rendszere, vagyis az élővilág, mint ahogy a biológia tudománya már rég kimondta, mind egy őstől származott és ágazott szét különféle fajokra és egyedekre, így a természeti táj élő rendszere, ha a térbeli gondolkodás alapján vizsgáljuk, akkor a családfa rendszerében gondolható el a legjobban, mint térbeli rendszer. A következőekben a családfa térbeli rendszerét fogom vizsgálat alá venni a matematika segítségével.
Jól ismert számok a matematika történetében az úgynevezett Fibonacci számok, amelyek olyan számsort jelölnek, amelynek számait úgy képezzük, hogy a sorozatban mindig a legutolsó két számot adjuk össze. Így például: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 stb. Ezt a számsorozatot egy Fibonacci nevű olasz matematikus fedezte fel a középkorban. Majd 700 évvel később egy Ferdinand Lucas nevű francia matematikus felfedezett fel egy ehhez hasonló számsort, amit ugyanígy képzünk, csak ennél a legutolsó két szám összeadását nem 2-vel és 3-al, hanem 3-al és 4-el kezdjük. Így például: 1, 2, 3, 4, 7, 11, 18, 29 stb. Tegnap csak úgy szórakozásból megpróbálkoztam a Fibonacci számok kettő hatványaira, és bizonyos egész számok összegeire bontani, és érdekes felfedezéseket tettem, amiket nem tudom, hogy más felfedezett e már, minden esetre az interneten nem találtam ilyesmit sehol sem.
1
1
2
3
5
8 = (2^2 + 3)
13 = (2^3 + 5) A kettő hatványainak összege 3, vagyis egy Lucas szám.
21 = (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 4, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 5.
34 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 7, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 10, (vagyis az előző kettő összege).
55 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 11, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 15, (vagyis az előző kettő összege).
89 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 18, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 25, (vagyis az előző kettő összege).
144 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 29, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 40, (vagyis az előző kettő összege).
Tehát ha a Fibonacci számokat kettő hatványainak és ötnek az összegeire bontjuk, akkor a kettő hatványkitevőinek az összege mindig egy Lucas számot ad ki, az ötnek az összegei pedig az előző két összegnek az összegei a Fibonacci számok logikájának megfelelően. Ezen felbuzdulva megpróbáltam ugyanígy elemeire bontani a Lucas számokat is, ezúttal a kettő hatványainak és a háromnak az összegeire.
3
4
7 = (2^2 + 3) A kettő hatványainak összege 2, vagyis egy Fibonacci szám.
11 = (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 3, vagyis egy Fibonacci szám.
18 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 5, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 6, vagyis az előző két szám összege.
29 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 8, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 9, vagyis az előző két szám összege.
47 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) + (2^3 + 3) + (2^2 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 13, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 14, vagyis az előző két szám összege.
Tehát a kettő hatványkitevőinek összegei itt mindig egy Fibonacci számot adnak ki a hármas szám összegei pedig mindig az előző két összeg összegei, mint az imént. Ezután a 3-nál egyel nagyobb 4-es szám összegeit próbáltam hozzáadni a kettő így képzett hatványainak az összegeihez.
8 = (2^2 + 4)
12 = (2^3 + 4)
20 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4)
32 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4) + (2^3 + 4)
52 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4) + (2^3 + 4) + (2^3 + 4) + (2^2 + 4)
Amint láthatjuk kaptunk egy a Fibonacci és a Lucas számokhoz hasonló számsorozatot, ahol szintén mindig a legutolsó két szám összegéből képezzük a következő számot, és ami így egy magasabb rendű Lucas számnak tekinthető mindjárt mondom, hogy miért. Először azonban tegyük meg még egyszer ugyanezt 5 összegeivel is:
9 = (2^2 + 5)
13 = (2^3 + 5)
22 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5)
35 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5) + (2^3 + 5)
57 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5) + (2^3 + 5) + (2^3 + 5) + (2^2 + 5)
Láthatjuk, hogy itt is hasonló eredményre jutottunk, de vajon miért tekinthetőek ezek a számok magasabb rendű Lucas számoknak, és nem csupán önkényesen képzett Fibonacci szerű számsorozatoknak? Ennek a megértéséhez próbáljuk meg kivonni a Fibonacci számokat a Lucas számokból.
3 – 2 = 1
4 – 3 = 1
7 – 5 = 2
11 – 8 = 3
18 – 13 = 5
29 – 21 = 8
47 – 34 = 13
Láthatjuk, hogy Fibonacci számokat kaptunk eredményül, tehát a Lucas számok nem mások, mint két egymásra rétegzett Fibonacci számsor összegei. Most vonjuk ki az általunk képzett magasabb rendű Lucas számokból először a Lucas számokat, majd a második magasabb rendű Lucas számsorból az első magasabb rendű Lucas számsort.
8 – 3 = 5
12 – 4 = 8
20 – 7 = 13
32 – 11 = 21
52 – 18 = 34
9 – 8 = 1
13 – 12 = 1
22 – 20 = 2
35 – 32 = 3
57 – 52 = 5
Láthatjuk, hogy ugyancsak Fibonacci számokat kaptunk eredményül, tehát az így képzett számsorok azért tekinthetőek magasabb rendű Lucas számoknak, mert a Lucas számokhoz hasonlóan szintén egymásra rétegzett Fibonacci számok összegeinek tekinthetőek, és ezt nyilvánvalóan egészen a végtelenségig folytathatjuk, mindig új magasabb rendű Lucas számokat képezve. A magasabb rendű Lucas számok képzésének módszere általam képletbe foglalva, talán nem túl szakszerűen, tehát:
(F2^1 + Fn) = F → ∞ Ahol (F) a Fibonacci számokat jelöli, (n) pedig egy mindig egyel növekvő, változó számot.
Ha pedig a Fibonacci számok felbontásával kapott sorozatok együtthatóihoz adunk hozzá egyet, akkor pedig egészen újfajta sorozatokat kapunk, amelyeket én nem tudok hová tenni.
8 = (2^2 + 4)
14 = (2^3 + 6)
22 = (2^4 + 6)
36 = (2^3 + 6) + (2^4 + 6)
9 = (2^2 + 5)
15 = (2^3 + 7)
24 = (2^4 + 7)
39 = (2^3 + 7) + (2^4 + 7)
Folytassuk tovább a magasabb rendű Lucas számok képzését azáltal, hogy a tényezőire bontott Lucas számok együtthatóihoz mindig hozzáadunk egyet.
2^2 + 6 = 10
2^3 + 6 = 14
…………….. 24
………………38
………………62
………………100
2^2 + 7 = 11
2^3 + 7 = 15
…………….. 41
………………67
………………108
………………175
2^2 + 8 = 12
2^3 + 8 = 16
…………….. 28
………………44
………………72
………………116
………………188
2^2 + 9 = 13
2^3 + 9 = 17
…………….. 30
………………47
………………77
………………124
………………201
2^2 + 10 = 14
2^3 + 10 = 18
…………….. 32
………………50
………………82
………………132
………………346
2^2 + 11 = 15
2^3 + 11 = 19
…………….. 34
………………53
………………87
………………140
………………227
………………367
………………594
2^2 + 12 = 16
2^3 + 12 = 20
…………….. 36
………………56
………………92
………………148
………………240
………………388
………………628
………………1016
2^2 + 13 = 17
2^3 + 13 = 21
…………….. 38
………………59
………………97
………………156
………………253
………………409
………………662
………………1733
2^2 + 14 = 18
2^3 + 14 = 22
…………….. 40
………………62
………………102
………………164
………………266
………………430
………………696
………………1126
………………1822
………………2948
2^2 + 15 = 19
2^3 + 15 = 23
…………….. 42
………………65
………………107
………………172
………………279
………………451
………………730
………………1181
………………1911
………………3092
………………5003
2^2 + 16 = 20
2^3 + 16 = 24
…………….. 44
………………68
………………112
………………180
………………292
………………472
………………764
………………1236
………………2000
………………3236
………………5236
………………8472
Most pedig vegyünk egy átlós metszetet ezeknek a mindig magasabb rendű Lucas számoknak a tagjaiból úgy, hogy először vegyük a legalacsonyabb rendű Lucas számok, vagyis a Fibonacci számok harmadik számát, a kettőt, majd mindig az 1-el magasabb rendű Lucas számok sorban következő számát, amely a hagyományos Lucas számok esetében a három, majd mindig így tegyünk a következő Lucas számok esetében is. Így a következő sorozatot kapjuk:
2, 3, 8, 13, 24, 41, 72, 124, 214, 367, 628, 1071, 1822, 3092, 5236
Én ennek a számsornak a nyomán elkészítettem a saját családfámat, ahol, minden családtagot megszámoztam a családfán a fent látható számokkal úgy, hogy én kaptam a kettes számot, tehát az első számot a sorban, majd a családfa hierarchiájában felfelé, az egyes szinteken pedig jobbról bal felé haladva minden családtag meg lett jelölve egy-egy számmal a fenti számsorból a dédszülőkig. Így minden egyes családtagom azonosítható a magasabb rendű Lucas számok eme metszetének egy tagjával, ahogy az alul is látható:
A képre kattintva ki lehet nagyítani a képet. A családfában az egyes tagok matematikai eszközökkel való azonosítására már több módszert is kidolgoztak a tudósok. Ezek közül én most csak egy módszerrel foglalkoznék, még hozzá azzal, amit Németh László nyugalmazott vízügyi mérnök ismertetett Hidrológia és genealógia című előadásában 2016. április 7-én a Bánfalvi fiókkönyvtárban. Én is jelen voltam az előadáson.
Németh módszere arra épül, hogy a családfában elsőként a legfiatalabb családtagot jelöli 1-es számmal. Majd a felsőbb szinteken, így a szülőknél, a nagyszülőknél, illetve a magasabb szinteken a nőből és férfiból álló párokat mindig felváltva 1-essel és 2-essel. Így a négy nagyszülő felváltva 1, 2, 1, 2 számokat kap, a 8 dédszülő pedig felváltva 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2 számokat kap. Ez a gyakorlatban valahogy így néz ki:
Ezzel egy jól áttekinthető rendszert kapunk, ahol a számok alapján könnyen megállapíthatjuk, hogy melyik ősünk milyen közel vagy távol, és melyik ágon van tőlünk a családfán. Így például, ha az apai nagyanyai dédapánkat akarjuk azonosítani ezen a családfán, akkor azt könnyen leolvashatjuk a következő számsorból: 212 ahol a kettes az apát, az utána következő egyes az apai nagyanyát, majd az utána következő kettes az apai nagyanyai dédapát jelöli szép sorban.
Kérdés azonban, hogy hogyan azonosíthatunk számokkal egy-egy személyt nemcsak a saját családfánkon belül, hanem az emberiség családfáinak az összességében. Tehát, hogy hogyan azonosíthatjuk be például, hogy nyolcadik ősanyánk ki másnak a nyolcadik ősanyja is egyben, vagy például, hogy a mi kilencedik ősapánknak a lányunokatestvére kinek a kilencedik ősanyja volt.
Ehhez véleményem szerint először is át kell alakítanunk ezt a számozási rendszert. Az egyes szülőházaspárokat itt is ugyanazokkal a számpárokkal jelölöm az egyes szinteken, de a családfa hierarchiájában felfele haladva mindig 1-el növelem a számpáros értékeit. Továbbá az anyai családtagok számértékeit meghagyom plusz értékűeknek, az apai családtagok számértékeit viszont mínuszra változtatom. Így a legfiatalabb családtag most is 1-essel lesz jelölve. A szülők viszont 1-essel és -2-essel. A nagyszülők értékei pedig a következők lesznek: 2, 3, -2, -3 a dédszülők pedig: 3, 4, 3, 4, -3, -4, -3, -4 valahogy így:
Ezt azért kell megtennünk, hogy az emberiség többi tagjának családfái, illetve családfáin szereplő családtagok számértékei összeadhatóak legyenek a mi családfánkon szereplő családtagok számértékeivel, ha az ő családfájuk bármelyik szinten is keresztezi a mi családfánkat, és az így kapott számértékek egyedi értéket kapjanak az összeadás által, mert csak így azonosítható be számszerűen egy közös ős. Nyilvánvalóan a legközelebbi anyai unokatestvérünkkel közösek az anyai nagyszüleink. Viszont ha az én anyai nagyszüleimnek a családfában 1, 2 a számértéke, és a számozási rendszer azonossága miatt az anyai unokatestvérem hasonlóan 2, 1-el jelöli a velem közös nagyszüleit, akkor a számértékeket összeadva 3, 3 értéket kapunk. Ez pedig egy ilyen számozási rendszerben nyilvánvalóan jelzi, hogy itt egy közös ősről van szó. Viszont így már az anyai unokatestvéremmel közös anyai dédszüleim nem lesznek beazonosíthatóak, mert értelemszerűen azoknak a számértékei is 3, 3 értéket fognak kapni és így az értékek nem különülnek el egymástól.
Az apai családtagok mínusz értékbe rakására pedig azért van szükség, mert a rokonsági hálózat minden embernél két felé ágazik, és ha nem különítjük el valahogy az apai családfát az anyai családfától, akkor az anyai családfánk és egy másik családfa metszete, továbbá az apai családfánk és egy másik családfa metszete azonos értéket fognak kapni.
Meg kell oldanunk ezzel kapcsolatban még egy problémát is. Be kell tudnunk azonosítani, hogy milyen távoli rokonunk, tehát negyed, hatok, vagy akár milliomod unokatestvérünk családfájának a mi családfánkkal való metszetét akarjuk megkapni. Ezt pedig csak úgy oldhatjuk meg, hogy mindig, amikor 1-el távolibb unokatestvérünk családfájának a metszetét akarjuk megkapni a mi családfánkkal, akkor 1-el nagyobb számmal kezdjük a családfájának a számozását. Így például az első anyai unokatestvérünk a legközelebbi rokonunk, így számozását a miénknél 1-el nagyobb számmal kezdjük, vagyis kettővel. A szülei számozása 3, 2 lesz, a nagyszüleié pedig 4, 3, 4, 3 lesz a dédszüleié pedig 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4 lesz. Valahogy így:
A legközelebbi apai unkatestvérem számozása pedig a fentiekben elmondottak alapján ugyanez lesz csak mínusz értékekben: (-2), (-3, -2), (-4, -3, -4, -3), (-5, -4, -5, -4, -5, -4, -5, -4). Mint arra már fent utaltam ahhoz, hogy egy másik családfa értékei összeadhatóak legyenek a mi családfánk értékeivel, és az eredmény egész érték legyen, azt a másik családfát fordított sorrendben kell számozni a miénkhez képest, ez a képen látszik is. Így az legközelebbi anyai unokatestvéremmel közös nagyszüleink számértékei (4, 3) + (2, 3) = 2.(6, 6) lesznek, a közös nagyapai dédszüleink számértékei pedig (5, 4) + (3, 4) = 2.3:(8, 8) lesz. Ahol a jelzet elején a 2-es és utána a pont azt jelzi, hogy a legközelebbi unokatestvérünkkel közös családfa metszetről van szó. A 3-as és utána a kettőspont pedig azt, hogy a nagyapai dédszülőről van szó és nem a nagyanyairól.
Hogyan azonosíthatjuk egy ilyen számozási rendszerrel egy olyan személyt, aki nem közös ősünk senkivel, de egyik ősünknek, mint például az anyai nagyapánknak az első fiú unokatestvére? Itt két számértéket is rögzítenünk kell, egyrészt azt, hogy az anyai nagyapánknak az első fiú unokatestvére hányadik unokatestvérünknek a nagyapja, illetve rögzítenünk kell az anyai nagyapánknak a számértékeit is a mi családfánkban. Így a számértékek 4.45;1.13 lesz. Tehát a mi negyedik unokatestvérünknek az apai nagyapja, a mi anyai nagyapánknak az első unokatestvére.
Ezzel a módszerrel tehát az emberiség családfáinak egész rendszerében azonosíthatjuk a az egyes személyeket, és ha egyszer talán elkészül az emberiség egész családfája, és ez benne lesz egy nagy számítógépes adatbázisban akkor csak rákeresünk benne a fent leírt jelzetekre, és a számítógép kiadja, hogy a számrendszernek azon a helyén milyen nevű személy van. Visszatérve a magasabb rendű Lucas számokra fent láthattuk, hogy azokkal is beazonosítható a családfánk egy-egy személye és mivel a Lucas számok sorozataiból végtelen sok van az emberiség családfáinak összessége is rögzíthető a magasabb rendű Lucas számok segítségével. Fent vettük a Lucas számok sorozatainak egy átlós metszetét, és azzal számoztuk be a saját családfánkat, így az emberiség többi tagjának családfáját értelemszerűen a rákövetkező metszettel kell megszámozni, mint ahogy az imént mindig 1-el nagyobb számmal kezdtük a mindig távolabbi unokatestvéreink családfájának számozását. Így a magasabb rendű Lucas számok esetében az első unokatestvérünk családfájának számozását a következő számokkal kezdjük, amelyeket a negyedik Fibonacci számból, majd a rákövetkező magasabb rendű Lucas számokból vettünk, és így tovább a végtelenségig. Majd az így kapott számsorozatokat a családfák rendszerében összeadva ugyanígy metszeteket képezhetünk a mi családfánk és más családfák között.
3, 7, 20, 35, 62, 175, 188
A családfák megszámozása magasabb rendű Fibonacci számokkal csak matematikai érdekességnek tekinthető itt. A családfakutatók valószínűleg nem ezt a rendszert fogják használni, ha használni fogják egyáltalán az általam felvázolt rendszert valaha is. Mindenesetre érdemes lenne véleményem szerint matematikai mintákat keresni a magasabb rendű Lucas számokkal megszámozott családfák rendszerében, amit nem én fogok megtenni, hanem a jövő matematikája.
A természeti táj térbeli szerkezete tehát a családfákkal hozható kapcsolatba, egy végtelen családfára pedig mintegy felfűzhető a Fibonacci számok, és azok magasabb rendű változatainak egész rendszere. De milyen térbeli valósággal hozhatóak kapcsolatba maguk a Fibonacci számok? Ennek vizsgálatához először is meg kell néznünk az úgynevezett háromnál több dimenziód terek szerkezetét.
Témánk kifejtése előtt először is a hagyományos gráfok és a hagyományos kétdimenziós fraktálok közötti kapcsolatot kell leírnunk. Rene Guenon francia matematikus dolgozta ki a metafizikai tradíció, vagy perennalizmus okkult gnosztikus rendszerének filozófiai alapjait, akire nagy hatással voltak matematikai tanulmányai különösképpen Leibniz infinitezimálisa, ami egyértelműen kiderül az Infinitessimal Calculus című könyvéből, ahol lényegében a perennalizmus filozófiai alapjait veti meg. Ha körbenézünk a metafizikai tradícióról szóló magyarországi irodalomban, akkor észrevehetjük, hogy Guenon magyar követői nem nagyon hivatkoznak Guenon ezen könyvére, mint ahogy le sem fordították még magyarra, talán azért mert a metafizikai tradíció hívei igyekszenek mindentől elhatárolni magukat, ami az ő értelmezésükben modern, és aki ezt a könyvet elolvassa, az rájöhet, hogy a metafizikai tradíció tanításai egy nagyon is modern filozófus, név szerint: Leibniz filozófiájában gyökereznek.
Guenon filozófiájának az alapja, amit Leibniz infinitezimálisára alapoz, a mennyiségi szembeállítása a határtalannal. A mennyiségi jelleg minden olyan dologhoz kötődik, ami térbeli, vagy időbeli, hiszen a térbeli távolságok, vagy a térbeli testek méretei, illetve az időtartamok hosszai mind mennyiségek, és mint ilyenek mind lehatároltak, vagyis mind valamiféle határral rendelkeznek. Minden időtartamnak van végpontja, minden térbeli testnek van felülete, mint ahogy minden távolságnak van térbeli határa. Ezek alapján pedig kimondhatjuk, hogy minden, ami a térhez és az időhöz kötődik lehatároltnak tekinthető.
Guenon szerint a modern matematika legnagyobb tévedése az, hogy a végtelent is ilyen lehatárolt mennyiségnek tekinti, ami a térhez és az időhöz kötődik, pedig Leibniz infinitezimálisának tulajdonságaira hivatkozva megállapítja, hogy az valójában határtalan és túl van a téren és az időn. Leibniz infinitezimálisa köztudottan a végtelenül kicsi fogalmával írható körül, amihez minden mennyiség csak közelíthet, de sohasem válhat egyenlővé vele, hiszen ha egy adott hosszúságú rudat elkezdünk egymás után mindig, folyamatosan felezni akkor akár meddig felezzük, a rúd sohasem válik végtelenül kicsi hosszúságúvá, mert ahhoz végtelenül sok időre lenne szükség. Tehát a végtelenül kicsihez, az infinitezimálishoz csak közelíteni lehet. Elérni viszont soha nem lehet. Ebből következően minden mennyiség, amely a végtelenül kicsihez közelít, az mindig, folyamatosan és határtalanul, a végtelenségig meghaladja önmagát, és ebből ered a végtelen határtalansága, ami azt jelenti, hogy a végtelen nem mennyiség, hanem határtalanság, ami túl van minden érzékelhető térbeli és időbeli formán, vagy másként téren és időn túli, metafizikai objektum.
Innen ered a metafizikai tradíció elnevezés, ami arra utal, hogy az általunk ismert emberi történelmet megelőző világot, vagy létállapotot, amit a metafizikai tradicionalisták aranykornak neveznek ez a minden mennyiséget meghaladó határtalanság, vagyis a teljes szabadság jellemezte. A metafizikai itt azt jelenti, hogy minden érzékelhető mennyiségi formán, tehát téren és időn túli, a tradíció pedig azt, hogy őskori, a látható emberi történelem előtti, azon kívüli. A metafizikai tradícionalisták ezt az aranykori létállapotot szembeállítják a modern korral, amit történelmi mozgás, vagyis a folyamatos fejlődés és haladás jellemez, legyen az technikai fejlődés, politikai forradalmak és változások stb.
F. A. Hayek: A végzetes önhittség, a szocializmus tévedései című könyvében arról ír, hogy az emberi civilizációban az emberek mindennapi viselkedését kontrolláló szabályokat, mint például a becsületesség, vagy a szerződések betartásának normáit előíró szabályokat a civilizáció tagjai tanulás és utánzás útján adják át generációról generációra mindig a következő nemzedéknek. Ezek az írott és íratlan normák és szabályok pedig a civilizált gazdálkodás alapjait képezik, hiszen például a szerződések betartásának normái nélkül nem lenne modern kapitalista gazdaság.
Ezeket a szabályokat, amelyek fenntartják a modern gazdaságot, mi nyilvánvalóan nem szeretjük, mert korlátoznak minket. Nem örülünk olyan szabályoknak, mint például, hogy a piacon elénk táruló ízletes almákat nem vehetjük csak úgy el az alma ellenértékének kifizetése nélkül, ezért Hayek szerint ezeket a szabályokat semmiképpen sem mi választottuk az evolúció során, hanem inkább ők választottak minket.
Ezek a szabályok Hayek szerint úgy szolgálják a kapitalista gazdaság fennmaradását és fejlődését, hogy segítik az egyént a gazdasági rendszerbe való beilleszkedésben. Ahol munkások, vállalkozók stb., lesznek, hiszen a kapitalista gazdasági rendszer csak azokat fogadja be tagjai közé, akik például a becsületesség normáit betartják, és így a gazdasági rendszerbe beilleszkedve mindig olyan más egyének szükségleteit szolgálják ki, akiket egyébként nem is ismernek, mint ahogy például egy autót összeszerelő gyári munkás nem ismeri azt az egyént, aki az általa összeszerelt autót meg fogja vásárolni. Ez a modern gazdaság munkamegosztásának lényege.
Így pedig azáltal, hogy ezek a szabályok és normák az egyént beillesztik a kapitalista gazdasági rendszerbe, lehetővé teszik a piacon jelen lévő információ megfelelő rendben való szétosztását és felhasználását az egyének között, amelyek a tudomány és a technika fejlődésével egyre halmozódnak a társadalomban, és amelyeket éppen ezért egyetlen egyén soha nem tudna felhalmozni, megtanulni, és ezáltal felhasználni. Így ez a rengeteg információ csak úgy válhat felhasználhatóvá és hasznosíthatóvá a társadalomban, ha a társadalmi tömeg egyes egyénei a szabályok segítségével beilleszkednek a gazdasági rendszerbe. Majd megtanulnak egy bizonyos töredéket ebből az információhalmazból. Mint például az autószerelést, vagy a jogászkodást, és a többi egyénnel, akik a társadalmi információhalmazból más-más információdarabkát szakítottak ki, együttműködve hasznosítják a társadalmi információ egészét a gazdasági rendszerben, vagy más szóval termelnek, gazdálkodnak a gazdaság más-más szektorában.
A sok társadalmi információ sem akkor nem lenne felhasználható, ha egyetlen egyén akarná az egészet megtanulni, hogy aztán diktátorként az egész társadalmat átfogóan irányítsa. Mivel az egyének információ felvevő és feldolgozó képessége véges, sem akkor, ha nem lennének a társadalomban írott és íratlan normák, szabályok, amelyek elősegítik az embereknek a gazdasági rendszerbe való beilleszkedését, hogy így a társadalmi információtömegből egy-egy részt kiszakítva, és megtanulva együtt tudjanak működni a többi egyénnel a társadalmi információ feldolgozásában, és hasznosításában, vagy más szóval a termelésben, a gazdálkodásban.
Mindebből kifolyólag a totalitárius szocialista rendszerek azért veszélyesek Hayek szerint, mert az egész társadalom irányítását egyetlen egyén kezébe akarják tenni, a diktátoréba, aki nem tudja felhalmozni és megtanulni a társadalomban jelen lévő összes információt, és ezért intézkedései törvényszerűen tévedésekhez, társadalmi problémákhoz, majd végeredményben a társadalmi fejlődés megakadásához vezetnek. Ugyanis Hayek elméletét az evolúciós fejlődés kontextusába helyezi.
Mivel Hayek szerint azáltal, hogy a társadalomban jelen lévő írott és íratlan szabályok és normák elősegítik a az egyéneknek a gazdasági rendszerbe való beilleszkedését, és ezáltal a társadalmi információ megfelelő rendben való szétosztását és allokálását, egyben elősegítik a kapitalista gazdasági rendszer megfelelő működését, a tudomány és a technika fejlődését, ahol a tudomány és a technika aztán újabb társadalmi és gazdasági információk elterjedését, újabb ipari vagy szolgáltatási szektorok megszületését segítik elő. Egyszóval elősegítik a gazdasági rendszer fejlődését, ami aztán újabb írott és íratlan normák és szabályok, így: jogszabályok, udvariassági szabályok stb., megszületését teszik szükségessé. Hogy az egyének megint be tudjanak illeszkedni ebbe az újfajta gazdasági rendszerbe, hogy aztán megint újabb szintre fejlődjön a gazdaság. Tehát a társadalmi normák és a gazdasági rendszer dialektikusan egymást erősítve fejlesztik egymást, és ezzel együtt a gazdaságot és a társadalmat, és Hayek szerint ez a fejlődés és az evolúció alapja.
A szocializmus pedig azáltal, hogy az egész társadalom irányítását és fejlesztését egyetlen egyén kezébe akarja letenni, aki nem tudja felhalmozni és feldolgozni a társadalomban jelen lévő információkat, valójában megakasztja a társadalom fejlődését, mert lehetetlenné teszi a társadalmi információ megfelelő rendben való elosztását és allokálását. Mivel pedig a gazdaság és a társadalom fejlődésének a motorját a társadalom írott és íratlan szabályai alkotják, az egyéneknek kötelességük alkalmazkodni ezekhez a szabályokhoz, hogy a társadalom fejlődése biztosítva legyen. Meg kell jegyezni még, hogy mivel Hayek elméletében a társadalmi információt sok egyén között kell szétosztani, akik annak csak egy-egy szeletkéjét sajátíthatják el más-más emberi képességeket és adottságokat alapul véve, ebben az elméletben a fejlődés sokféle képességekkel és adottságokkal rendelkező egyéneket kíván, magyarán a társadalom sokszínűségét kívánja, amihez már csak egy lépés kell, hogy elvezessen az etnikai sokszínűségre épülő társadalom, vagyis a multikulturalizmus elméletéhez. A következő részben azt kell elemeznünk, hogy hogyan függ össze Hayek gazdaságfilozófiai tanítása az osztrák eszmetörténettel.
Nyíri Kristóf: Az osztrák emberkép: Konzervatív elmélet Hofbauertól Hayekig című írásában az osztrák eszmetörténetet és politikai tradíciót elemzi, és rámutat, hogy az osztrák liberális politikai tradícióra nagy hatással volt az egykori Habsburg birodalom soknemzetiségű volta, ami mindenféle forradalmi átalakulással szembefordította őket. Az osztrák szellemiség másik forrása a katolicizmus a szerző szerint, amely erős konzervatívizmust, a haladással a progresszivítással való szembehelyezkedést, és tekintélyelvet oltott az osztrákokba, és a katolicizmus nemzetek feletti, a nemzetek egységbe kovácsolását elérni kívánó hagyományaival még inkább elérte, hogy egy ilyen kulturálisan heterogén, a történelem feszültségzónájában elhelyezkedő ország minden hirtelen, forradalmi változást, amely a nemzetek feletti egyensúly lehetséges megbontását irányozza előre, halálos fenyegetésként éljen meg.
Az osztrák konzervatívizmus legfontosabb ellenfelének a francia felvilágosodás eszméit vallja, amely racionalizmusával az egyéni individuális észt tartja az igazság, a hamisság, illetve a jó és a rossz legfőbb mércéjének, a gondolkodás és az egyéni életvezetés szabadságát az egyének elidegeníthetetlen jogának tekinti, a gazdaság területén pedig a vállalkozás szabadságát tartja mérvadónak, ami a közérdek tekintetében olykor korlátozhatónak tart. Az osztrák konzervatív felfogás ezzel ellentétben a hagyománynak a tekintélyét fogadja el jog és erkölcs végső bírájaként, az egyéni ítéletek érvényesítésének szabadjára engedését, és a társadalomnak az egyének elvont eszméi által való átalakítását, pedig elítéli és veszélyesnek tartja a fennálló társadalmi rendre nézve.
Ugyanakkor a szabad vállalkozást, mint az individuális ész termékét korántsem veti el teljesen, mivel a társadalom és a gazdasági élet elvont eszmék, így: kommunizmus, fasizmus stb., által való szabályozását is az egyéni individuális ész termékének, és egyben legveszélyesebb termékének tartja, mivel egy emberi egyén: a diktátor individuumából ered, továbbá mesterséges, művi és racionalisztikus, és a spontán-természetes gazdasági folyamatok egyedül helyénvaló voltát tartja érvényesnek.
A minden egyes elemet magában foglaló osztrák konzervatív antropológia öt nemzedéken keresztül változik át kiérlelt elméletté. Az első állomás az 1909-ben szentté avatott Klemens Maria Hofbauer osztrák jezsuita szerzetes volt, aki a katolikus valláson belüli racionalisztikus tendenciák ellen lépett fel, és a jezsuita elvek érvényre juttatása érdekében azt hirdette a felvilágosodás eszméivel szemben, hogy az ember elégtelen, korlátozott és esendő lény, aki magára hagyva, önnön értelmére és érzületére bízva, nem tudja megtalálni a helyes utat, és ezért a felsőbb tekintély iránti feltétlen engedelmességet hirdette.
A jezsuitizmus az engedelmességet tartja fontosnak az intellektuális vizsgálódással szemben, és így merőben antiintellektuális irányzat, ahogy Hofbauer sem törekedett hittételeinek filozófiai érvekkel való alátámasztására, hiszen ha argumentálni akart akkor az egyház évezredes kontinuitására hivatkozott, mint az isteni eredet legfényesebb bizonyítékára. „Legyetek alázatosak !” mondta sokszor, mert különben soha nem fogják áthatni az embereket a hit misztériumai.
A második nemzedékhez Hofbauer köre tartozik közöttük Friedrich Schlegel, aki erősen kárhoztatta kora modern politikai elméleteit és intézményeit, de azok ellentéteként nem más politikai elméleteket jelölt meg, hanem bizonyos szerves társadalmi berendezkedéseket, amelyek összegződését végül az európai középkorban látta meg. Az európai középkorhoz való visszatérést hirdette, mint szerves és organikus társadalmi rendhez.
Metternich gondolatai távol álltak Schlegel romantikus katolicizmusától. Az ő vallásfelfogása a hűvös gyakorlatiasságból fakadt. A tekintélyelvű katolikus vallást a forradalom elleni legjobb biztosítékként fogta fel. Nem hitigazságai miatt, hanem társadalomképe miatt részesíti előnyben a protestantizmussal szemben. A forradalmi tendenciák lényegét egyedül abban látta megvalósulni a protestantizmustól a felvilágosodásig, hogy mindenben törjön előre az individualizmus, mindenki legyen a „saját dogmájának pápája”, és egyedül saját magát kormányozza, saját maga bírálja erkölcseinek, cselekedeteinek helyességét minden külső tekintély nélkül. Ez a forradalom és a protestantizmus lényege Metternich szerint, és ez abszurd és destruktív, amivel csak a katolicizmus tekintélyelvűsége veheti fel a harcot.
Metternich reformelképzelései ezzel összefüggésben szemben állnak minden forradalmisággal, és tulajdonképpen nem egy előre kigondolt eszmény, vagy politikai rendszer, mint például: szocializmus, vagy kommunizmus megvalósításában a „valódi javak” irányába történő konkrét előrelépéseket értette, ahol valódi javak alatt a „rendből fakadó szabadságot”, „a törvény előtti egyenlőséget” és az „erkölcsi és anyagi nyugalom nélkül elképzelhetetlen jólétet értette”. Véleménye szerint a szabadság, mint fogalom csak a rend fogalmára épülhet. Rend nélkül a szabadság diktatúrához vezet.
Nincs előre gyártott recept arra nézve, hogy milyen a jó alkotmány. Hiszen jó alkotmány csak az alkotmányt megalkotó nép erkölcsi jelleméből és sajátosságaiból eredhet. Minden népnek a saját magának legmegfelelőbb alkotmányt kell megalkotnia, és ez természetszerűleg soha nem történhet ugrásszerűen, és forradalmi módon, hanem mindig csak fokozatosan. A hofbaueri és a metternichi eszményekből, vagyis az ész mindenhatóságába vetett hit tagadásából és a gyakorlati ész fölényének hitvallásából alakult ki Széchenyi István romantikus-vallásos emberképe, amit méltán nevezhetünk haladó konzervativizmusnak, ahol az angolszász szabadpiaci gondolkodás összekapcsolódik a keresztény erkölcsi tökéletesedés eszméjével. Metternich nyomán Széchenyi hitt abban, hogy a nemzeti szellem szent, és azt nem lehet ugrásszerűen, forradalmi úton megváltoztatni, és ennyiben konzervatív volt. Viszont haladó volt annyiban, hogy hit a nemezti szellem fokozatos, lassú reformok útján való fejlesztésében és tökéletesítésében. A nemzeti szellem nála is egyfajta szerves, organikus felépítmény volt, mint Schlegel-nél az idealizált középkor, amihez nem lehet forradalmi úton hozzányúlni, lassú fokozatos reformokkal viszont igen.
Az osztrák konzervatív gondolkodás harmadik nemzedéke Eötvös József, Dessewfy Aurél stb. ugyanezeket a hagyományokat folytatta, kiállást a szerves, organikus társadalomképért az előretervezett politikai elméletekkel szemben. Fellépést az államhatalom központosító törekvéseivel szemben, mert azok egy egyén individuális döntési mechanizmusai alá rendelik a közösséget, az egyéni individuális ész külső tekintély nélkül pedig elvetendő stb.
A következő generációhoz tartozott Carl Menger osztrák liberális közgazdász, aki a társadalom történeti intézményeit nem az individuális észből, hanem a társadalom kollektív tudattalan tradícióiból származtatja, ahol Burke angol politikai gondolkodó egyik művére hivatkozik, amiben kimutatta, hogy hazája Nagy-Britannia történeti intézményeit nem a brit törvényhozás munkájának, vagy a nemzeti közakaratnak, hanem a történelem spontán, reflektálatlan folyamatainak köszönheti.
Ez már megelőlegezi Hayeknek azt a tételét, hogy a társadalomban meglévő írott és íratlan normákat és szabályokat, amelyek a gazdasági fejlődést irányítják nem az emberek választották maguknak tudatos tervező munkával, hanem amaz választotta az embereket, illetve a társadalmat. Továbbá Menger elmélete visszaköszön az pszichoanalízis megteremtőjének, az osztrák pszichiáternek, Freudnak a nézeteiben is, aki szerint az ember nem maga uralja a saját érzelmeit és viselkedését, hanem a tudatalattijából spontán feltörő elfojtások határozzák meg, hogy adott pillanatban hogyan viselkedik. Tehát ahogy a társadalomban nem a vezető határozza meg az alája tartozó társadalom fejlődésének sajátosságait, hanem annak spontán reakciói, úgy az embernél sem a személyiség magvát alkotó tudat irányítja a viselkedést, hanem a tudattalanból feltörő spontán reakciók.
Így jutunk el végül Hayek elméletéhez aki Menger után azt vallotta, hogy a társadalomban az emberek tudatos tervezőmunkáját megkerülve jönnek létre azok az írott és íratlan szabályok és normák, amelyek a gazdaság fejlődését irányítják, és az embereknek kötelességük alávetni magukat ezeknek a normáknak, hogy a társadalom fejlődése biztosítva legyen. Megint egy kis kitérőt kell tennünk, és elemeznünk kell Hayek elméletének kapcsolatát a leibnizi filozófiával. Mi jellemzi valójában a Leibnizi filozófiát? Leibniz filozófiájának egyik forrása egy reneszánsz kori német filozófus volt Nicolaus Cusanus, aki Istent különféle geometriai idomokhoz, mint például körhöz hasonlította, ahhoz hogy megértsük a Leibnizi filozófia lényegét először is a kör matematikai tulajdonságaiban kell elmélyednünk.
Először is forma kérdését kell megválaszolnunk ehhez pedig egy másik tudományhoz: a geometriához és a matematikához kell hozzányúlnunk, amelyek olyan térbeli objektumokkal foglalkoznak, mint a pont a vonal, vagy a test, illetve a halmazok. A halmazelmélet tudományának mai állása szerint két halmaz elemeinek száma egyenlő, ha elemeiket egyértelműen meg tudjuk feleltetni egymásnak. Ez a halmazelmélet szerint igaz mind a véges, mind pedig a végtelen halmazokra. Csak azt kell bizonyítani, hogy ha két végtelen halmaz elemeit egymáshoz rendeljük az egy-egy egyértelmű leképezés. Így például könnyen bebizonyítható, hogy az a leképezés, amelynek során a természetes számokat kétszeresükhöz (vagy éppen minden természetes számot a feléhez) rendelünk, egy-egy egyértelmű leképezés:
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
6 → 12
7 → 14
8 → 16
és így tovább a végtelenségig. Eszerint tehát éppen annyi páros szám van, mint amennyi természetes szám. Vagyis a természetes számok halmaza egyenlő számosságú egyik részhalmazával. Ugyanezzel a módszerrel könnyen bebizonyítható az is, hogy a természetes számok halmaza egyenlő számosságú a racionális számok halmazával. Kiszámítható, hogy melyik természetes számnak melyik racionális szám felel meg:
2 → 1/1
3 → 1/2
4 → 2/1
5 → 1/3
6 → 3/1
7 → 1/4
8 → 2/3
9 → 3/2
10 → 4/1
és így tovább a végtelenségig. Cantor bizonyította be a matematikatudomány mai állása szerint, hogy a valós számok nagyobb számosságúak mint a természetes számok. Ezt a következő gondalatmenettel tette meg: „Vegyük a 0 és 1 közötti valós számokat, tizedesjegyekkel kifejezve (például: 0,47 936 421…) úgy, hogy a tizedesvessző után minden számnak végtelen sok számjegye van. Ha vége van a tizedesjegyeknek, akkor nullákkal folytatjuk. Tegyük fel, hogy a valós számokat sorba lehet állítani, és így kölcsönösen egyértelműen meg lehet feleltetni a természetes számokkal. Ekkor tehát minden valós számot ebben a formában lehetne leírni.
0, A1 A2 A3 A4 …
0, B1 B2 B3 B4 …
0, C1 C2 C3 C4 …
Most próbáljunk meg új számot létrehozni Az első számjegy más lesz, mint A1, a második számjegy más lesz, mint B2, a harmadik számjegy más lesz, mint C3 és így tovább. Így egy új, 0 és 1 közötti valós számhoz jutottunk, de oly módon, hogy az különbözik a teljesnek feltételezett valós számok listájának minden egyes tagjától. Tehát ellentmondáshoz jutottunk. Mindebből az következik, hogy lehetetlen felsorolni a valós számokat. Ebből a gondolatmenetből Cantor bizonyítottnak látta, hogy a valós számok nagyobb számosságúak a természetes számoknál. A természetes számok számosságát elnevezte megszámlálhatóan végtelennek, az annál nagyobb valós számok számosságát pedig megszámlálhatatlanul végtelennek.3
A pontra a matematikusok azt mondják, hogy az nem 0 méretű, hanem végtelenül kicsi. Ez érdekes gondolat, de meg is lehet cáfolni. A következőkben leírandó számoknál a (...) mindig a számjegyek végtelen ismétlődését jelentik. Pl. 1,999... azt jelent, hogy a 9-es végtelen sokáig folytatódik a tizedes jel után.
Tehát akkor vegyünk egy ilyen végtelen hosszú valós számot:
„1,9999999...
Szorozzuk meg 10-zel, az eredmény:
19,9999999....
Mivel a 9-esek a végtelenbe folytatódnak ezért a 10-zel való szorzás után is a végtelenbe fognak folytatódni.
Akkor ebből a számból vonjuk ki az eredeti számot.
Vagy ha úgy tetszik a szám 10-szereséből kivonjuk a szám 1-szeresét ezzel megkapjuk a 9-szeresét:
19,9999999.... - 1,99999999... = 18
A tizedes vessző utáni 9-esek mindkét számnál a végtelenbe folytatódnak, tehát egymásból kivonva őket 0 lesz a tizedes vessző után, tehát az eredmény a kivonás után 18.
Most a 10-szeres számból vontuk ki az egyszeres számot, tehát maradt a 9-szeres számunk. Ami nem más, mint a 18.
18/9=2
Most akkor mi is történt?
Igen, jól láthatjuk az 1, 9999.... = 2.
Bármennyire is két különböző számnak tűnik, ami az egyenlőségjel két oldalán látunk a két szám matematikailag igazolva egyenlő.
Sőt továbbmegyek.
Mivel 1,999... = 2
Ha ezt a két számot kivonom egymásból akkor a józan ész szerint 0-t kellene kapnom.
Ezzel szemben az eredmény -0,00000.....1 lesz
Vagyis egy számot önmagából kivonva negatív eredményt kapok. Igaz, hogy végtelen kicsi negatív, de negatív.
Furcsa ugye?”
Ez azt sugallja, hogy létezik is olyan, hogy végtelenül kicsi, meg nem is. Azonban van itt még egy probléma is. Ha egy vonalat végtelen sokáig darabolunk, akkor pont lesz belőle, vagyis: „végtelenül kicsi”. De teljesen mindegy, hogy egy húsz centiméteres, vagy egy tíz, vagy akárhány centiméteres vonalat darabolunk, azt is végtelenszer kell darabolnunk, hogy pont legyen belőle. Viszont, ha pontból, vagyis végtelenül kicsikből akarunk vonalat csinálni nyilván akkor is végtelenül sokáig kell egymás mellé raknunk a pontokat, hiszen azok végtelenül kicsik, ha ezt megtesszük, akkor hány centiméteres lesz konkrétan a vonal? 10 vagy 20? Illetve, ha 10 centiméteres vonalat darabolunk, akkor 10, ha húsz centimétereset, akkor 20? Ez lehetetlen, mert a pont mérete mindenképpen egyforma: végtelenül kicsi, és az összerakás lépéseinek száma mindenképpen végtelen marad.
Másképp megfogalmazva: itt éppen az a paradoxon, hogy a pontot, mint végtelenül kicsit, nem lehet lefordítani a véges méretű vonalak mérhető mennyiségeire, mégis létezik, és ha ilyen pontokból vonalat akarunk összerakni végtelen lépésben, akkor mégis valamilyen konkrét, mérhető mennyiségnek kell kijönnie, amelyek egymástól különbözőek lehetnek, annak ellenére, hogy a pontokból való összerakás lépéseinek száma mindig végtelen. Ez az én olvasatomban csak úgy lehetséges, hogy a végtelenül kicsiknek, a pontoknak, amelyeknek egyforma méretűeknek kellene lenniük, mégis különböző méretűek, vagyis végtelenül sok méretben léteznek végtelenül kicsik. Vagyis, a végtelenül kicsiket valahogy mégis le lehet fordítani a véges méretekre. Vagyis a kérdés az, hogy mi határozza meg a pontoknál azt, hogy ha azokból véges méretű vonalat akarunk összerakni, akkor azok a vonalak milyen méretűek lesznek.
Tehát mind a második paradoxon, amit felvetettem azt sugallja, hogy a végtelenül kicsi vagy nem létezik, vagy többfajta méretben is létezhet egyszerre. Az első paradoxon pedig inkább azt, hogy egyáltalán nem létezik, de azért ott is felvethető, egyszerre lehet 0 is, és -0,00000.....1 is. Ha pedig ez igaz, akkor lehet akár 0,00000.....111111... is, vagy még több egyest vagy más számot is hozzáadhatunk, a végtelenségig, pontosabban a végtelen közepéig, ameddig szintén végtelen út vezet. Ugye milyen furcsa, ha a végtelentől indulva elkezdjük a 0-kat behelyettesíteni 0-nál nagyobb számokkal, a számok akkor sem fogják elérni sohasem, a 0,0-át, és lényegében mindig ugyanolyan távol maradnak 0,0-tól, mint -0,00000.....1 esetében, vagyis végtelen távolra, akárcsak, ha 0,0-tól indítanánk a számok behelyettesítését a végtelen felé. Tehát ugyanúgy végtelenül kicsi marad a szám, mégis nőni fog az értéke.
A második paradoxon szerintem feloldható. Talán lehet, hogy két fajta végtelenül kicsi létezik. Megszámlálhatóan végtelenül kicsi, és megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi. A megszámlálhatóan végtelenül kicsi az 1/∞. A megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi az pedig a példában szereplő -0,00000.....1, hiszen az a legkisebb valós szám, és a valós számok halmazáról Georg Cantor megállapította, hogy megszámlálhatatlanul végtelen. Tehát a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsinek talán éppen azért változhat a mérete, lehet egyszerre nagyobb is meg kisebb is, mert megszámlálhatatlanul kicsi, tehát ahogy a nevében is benne van, nem meghatározható egyértelműen a mérete. Ez is egy lehetőség.
Tehát a kérdés az, hogy a pontok, amelyekből a vonalak felépülnek megszámlálhatóan, vagy megszámlálhatatlanul végtelenül kicsik.
Ezek szerint viszont léteznek végtelenül kicsi számok is, és ez tulajdonképpen az első paradoxont is feloldja, hiszen ha a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi több értéket is felvehet, akkor 0-t is felvehet. A megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi esetében, hogy ezt el tudjuk képzelni érdemes szemügyre venni a megszámlálhatatlanság jellemzőit. Egy indiai matematikus Ranganathan ezt úgy fogalmazta meg, hogy a valós számok folytonosan, kontinuusan nyúlnak végig a számvonalon, elválaszthatatlanul összefolyva egymással. Vagy más szóval: nem létezik két olyan – egymáshoz mégoly közel álló – valós szám, amely között ne volna meghatározható további végtelen számú valós szám.
Ha ezt halljuk, és megerőltetjük vizuális képességeinket, agyunkban egy olyan képzet alakulhat ki, mintha belelátnánk egy természetes szám belsejébe, és ott, ahogy egyre mélyebben nézünk bele a természetes számba, azt látnánk, hogy a valós számok folyamatosan, egymás között szaporodnak. Igen, a megszámlálhatatlan végtelenség, valójában a megszámlálható végtelenség folyamatos önosztódása, ami azt jelenti, hogy a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi mérete a folyamatos önosztódással egyenes arányban csökken a megszámlálhatatlanul végtelenül kicsi méretétől lefelé. Ez talán így van a végtelenül kicsik összességének fizikai megnyilvánulásának esetében is. A végtelenül nagy méretű vonal valószínűleg végtelenül nagy méretű végtelenül kicsiket, vagyis megszámlálhatóan végtelenül kicsiket tartalmaz, ha pedig a vonal kisebb, akkor vele egyenes arányban a pontok mérete is kisebb, amelyek így már a megszámlálhatatlanul kicsi kategóriájába tartoznak. Ez is érdekes lehetőség, hogy talán a valós számokat nem egységes egészként kell elképzelni, hanem olyan objektumként, amely rugalmasan és folyamatosan teremtődik. A megszámlálhatatlan végtelenség talán olyan, mint a lét folyamatos betöltése, soha nem töltődhet be teljesen, ezért mindig tovább osztódik. Vagy talán egyszerre folyamatosan teremtődő, és statikusan egységes. Milyenek azok a végtelenül kicsi számok?
A végtelenül kicsi számokat úgy képzelhetjük el, mint a valós számok felét. Mintha a valós számok tizedesvessző után kezdődő részének végtelen sorát kettévágnánk, és a tizedesvessző utáni rész azon részéből, amelynél a tizedesvessző utáni rész végtelenedik pontja felől növekednek a számok, az egyesek vagy a kettesek, most teljesen mindegy, mert valós számokról van szó, kapnánk egy új végtelen számsort, amely az eredeti végtelen számsor közepéig tart, hiszen, ha tovább tartana, akkor már nem lenne végtelenül kicsi. Az eredeti végtelen számsor közepe után, pedig csak 0-ák lehetnek az eredeti számsoron 0,0-ig. A végtelenül kicsi számok tehát olyan valós számok, amelyeknél a tizedesvessző utáni számsoron a 0 feletti számok csak a végtelentől a számsor közepéig tartana, utána pedig 0 vannak 0,0-ig, és a számsor közepétől számítva mindkét irányba szintén végtelen a számsor.
Fritjof Capra: A fizika taója című könyvében a keleti vallások és a modern fizika kapcsolatáról ír. Erre már sokan utaltak a modern fizika művelői közül, de részleteiben még senki sem tárta fel. A keleti vallásokra (hinduizmus, buddhizmus, taoizmus) a panteisztikus szemlélet a jellemző, ahol a világ teljes egységet képez a személytelen Istenséggel, vagy ősszubsztanciával, és a tárgyi világ összes jelensége: a tér az idő, vagy az anyag csupán ennek a személytelen Istenségnek a különféle megnyilvánulása.
A keleti misztikus esetében a megvilágosodás pedig semmi mást nem jelent, mint hogy a jelenségek mögött meglássa az egységet, vagyis hogy rájöjjön arra, hogy valójában minden egy. Ez a szerző szerint egybevág a modern kvantummechanika eredményeivel, ahol a részecskék, és az általuk generált mezők egyáltalán nem választhatók el egymástól, mint ahogy a relativitáselméletben sem választható el egymástól a tér és az idő.
A modern fizika szemlélete szerint tehát a tárgyi világ objektumai teljes egységet képeznek, hasonlóan a keleti miszticizmushoz, de ellentétben a klasszikus fizika nézeteivel, ahol az anyag tovább nem osztható, gömbszerű atomokból áll. Hasonlóan egybevág a keleti vallások szemléletével a kvantummechanika bizonytalansági elve is.
E szerint a testeket alkotó részecskék helye és állapota, sőt egyáltalán léte nem állapítható meg egyértelműen, hanem csak valószínűsíthető, hogy a tér melyik helyén, és milyen állapotban van. Sőt, tulajdonképpen egyszerre lehet is valahol meg nem is, illetve létezhet is meg nem is. A keleti miszticizmus pontosan ilyen paradoxonokban gondolkodik. A valóság mélyrétegeiről olyan paradox kijelentések olvashatóak a taoista írásokban, mint például, hogy van is, nincs is, itt is van és ott is.
Érdekes az a gondolata is a szerzőnek, hogy a klasszikus fizika és általában a nyugati szemlélet erősen geometrikus jellegű, vagyis térben gondolkodik. Ezzel ellentétben a keleti szemlélet szerint a tér csak az emberi gondolkodás terméke, amely nem látja meg a tárgyi világ egymástól elkülönült jelenségei mögött az egységet.
Ez erősen egybeesik a modern relativitáselmélet szemléletével, ahol a tér nem létezik az anyagtól és az energiától különálló módon, hanem csak azoknak egyfajta relációjaként tartható számon. A hinduizmusban kevésbé, viszont a buddhizmusban és a taoizmusban hangsúlyozottan jelen van az állandó mozgás és változás gondolata, mivel a taoizmus a világ jelenségeit alkotó ősszubsztanciát, a taót dinamikusnak képzeli el. A szerző szerint a modern kvantummechanika szemléletére is hatványozottan jellemző az állandó mozgás-változás jelensége az atomi szinteken.
Sorolhatnám még az analógiákat, amiket a szerző felsorol a keleti vallások és a modern fizika között, de aki elolvassa a könyvet, az úgyis megismeri őket.
Érdemes összevetni Capra-nak a modern fizika és a keleti vallások kapcsolatáról leírt gondolatait azzal, amit én írtam le a modern matematika alapját képező halmazelméletről, amit Cantor alkotott meg. Mint ahogy leírtam az indiai matematikus: Ranganathan úgy fogalmazta meg a valós számok lényegét, hogy a valós számok folytonosan, kontinuusan nyúlnak végig a számvonalon, elválaszthatatlanul összefolyva egymással. Ez egyértelmű megfelelést mutat a keleti vallások panteisztikus szemléletével, ahol a tárgyi világ különálló létezői lényegében mind egységet képeznek a személytelen ősszubsztanciával, amit keleten brahmannak, vagy taónak neveznek.
A valós számok tehát olyan konstrukciók, amelyeknek szerkezete a keleti filozófiák tanításaival állnak analógiában, amelyeket pedig Capra a kvantummechanikával hozott kapcsolatba. Fent részletesen leírtam, hogy egy valós szám egyszerre lehet 0 is, és -0,00000.....1 is. Ez pedig szintén a Capra által leírt taoista paradoxonokkal mutat rokonságot, ahol a valóság mélyrétegeiben lejátszódó folyamatok olykor lehetnek egyszerre létezők és nem létezők is, és ezek a paradoxonok a kvantummechanika jelenségeivel is erős rokonságot mutatnak. Továbbá az a tény, hogy a valós számok egyszerre létezhetnek is, és nem is, egyértelműen dinamikus jellegükre utal, ami a keleti vallásokban, mint például a taoizmusban a lét alapját képező személytelen ősszubsztancia sajátossága.
A modern matematika alapját képező Georg Cantor által kidolgozott halmazelmélet tehát éppúgy a keleti filozófiák tanításaival mutat rokonságot, mint a modern fizika. Ebből pedig az következik, hogy a modern matematika is éppúgy a keleti vallások nyugati leképezése, mint a modern fizika.
Telcs Máté László: Térmetszetek című cikkében a fraktálok felfedezése előtt kidolgozta a tört dimenziós terek fogalmát, bár nem ugyanazt értette rajta, mint Mandelbrot. A teret Telcs olyan objektumként gondolja el, amely semmilyen irányban nincs határolva, tehát nincs felülete. Így térnek tekinthető a vonal, amely egydimenziós, és sem előrefelé, sem hátrafelé nincs határa. A sík, amelynek előre, hátra, felfelé, lefelé, illetve a kör 360 fokának egyik irányába sincs határa. Továbbá a test, amely háromdimenziós, és a három dimenzió egyik irányában sincsen határa. A vonalat, a síkot, és a testet külön-külön térelemeknek hívja, így tehát a tér olyan térelemnek tekinthető az ő értelmezésében, amelynek az általa birtokolt irányok közül egyik felé sincs felülete, határa.
Két tér metszése alatt lényegében azt a dimenziószámot érti, amelyet a kétfajta tér találkozásakor közös pontjaik alkotnak. Ha például egy vonalat egy sík felületének irányába tájolunk a háromdimenziós térben, akkor az a pont át fog hatolni a sík felületén, és találkozásuk egy pontot, vagyis nulldimenziós teret fog alkotni. A vonal és a sík metszése tehát a pont. Ugyanígy, ha két egymással párhuzamos sík közül az egyiket 90 fokkal elforgatjuk a háromdimenziós térben, akkor az elforgatott sík oldalával metszeni fogja a másik sík felületét, és találkozásuk egy vonalat: egydimenziós teret fog alkotni. Ha pedig vonal halad át a háromdimenziós téren, akkor közös részük értelemszerűen vonal lesz.
Két egyenes csak akkor metszi egymást, ha egy síkban fekszenek. Az egyenes és a pont csak akkor metszik egymást, ha egy vonalon fekszenek. Két pont nem metszi egymást csak akkor, ha mind a kettő egy harmadik pontban fekszik stb. Telcs ebből kifolyólag megkülönbözteti a maximális és a minimális metszőteret. A minimális metszőtér az a legalacsonyabb dimenziószámú tér, ahol a két tér metszése még létrejöhet. A maximális metszőtér pedig az a legmagasabb dimenziószámú tér, ahol a két tér metszése már létrejön. A metszést (X)-el jelöli a szerző.
Két tér metszési eredményét olyan térnek tekinthetjük, melynek dimenziószáma a metszésben résztvevő terek dimenziószámának összege kivonva abból a maximális metszőterüknek dimenziószámát. Ha a metszőtér dimenziószámát a képlet elé írt q-val jelöljük, akkor képletünket a következőképpen írhatjuk fel:
q; Dm X Dn = Dm + n – q
PÉLDÁK:
Pont és pont:
0; D0 X D0 = D0 + 0 = D0
A metszet pont.
Sík és sík:
3; D2 X D2 = D2 + 2 – 3 = D1
A metszet egyenes.
Sík és pont:
2; D2 X D0 = D0 + 2 – 2 = D0
A metszet pont.
Sík és egyenes:
3; D2 X D1 = D2 + 1 – 3 = D0
A metszet pont.
Egyenes és egyenes:
2; D1 X D1 = D1 + 1 – 2 = D0
A metszet pont.
Sík és test:
3; D2 X D3 = D2 + 3 – 3 = D2
A metszet sík.
Egyenes és pont
1; D1 X D0 = D1 + 0 – 1 = D0
A metszet pont.
A minimális metszőtérnek magában kell foglalnia az egymást metsző két teret egész terjedelmükben, így dimenziószáma egyiknél sem lehet alacsonyabb. Ennek megfelelően egy vonal nem foglalhat magában egy síkot vagy egy testet, így ezeknek nem lehet metszőtere sem. Egy sík azonban magában foglalhat egy egyenest és egy síkot is, így ezeknek már lehet metszőtere. Vonal és sík maximális metszőtere a háromdimenziós tér, mert ha a vonalat a háromdimenziós térben a sík felülete felé fordítjuk, akkor már metszik egymást. Minimális metszőtere a sík, mert egy sík magában foglalhat teljes terjedelmében egy másik síkot, és egy vonalat is, ha azok párhuzamos irányúak vele, de háromdimenziós teret már nem.
Ha egy egyenes és egy sík síkban metszik egymást, vagyis ugyanabban a síkban fekszenek, akkor metszésük egyenes lesz, mert a sík az egyenest teljes terjedelmében magába foglalja.
2; D1 X D2 = D1 + 2 – 2 = D1
Ha egy sík és egy másik sík minimális metszőterükben: a síkban metszik egymást, akkor metszőterük a sík lesz, mert ha két sík egy síkban fekszik, akkor kölcsönösen magukba foglalják egymás pontjait.
2; D2 X D2 = D2 + 2 – 2 = D2
A maximális metszőtérben lefektetett tétel tehát a minimális metszőtérben is igaz. A minimális metszőtér dimenziószáma az egymást metsző két tér közül a magasabb dimenziószámú tér dimenziójának felel meg. A minimális metszőtérben létrejött metszet dimenziószáma az egymást metsző két tér közül az alacsonyabb dimenziószámú tér dimenziójának felel meg. Ha a magasabb dimenziószámú teret Dm-el, az alacsonyabb dimenziószámú teret pedig Dn-el jelöljük, akkor a minimális metszőtér (m) lesz. Képletünk pedig:
m; Dm X Dn = Dm + n – m = Dn
Ha egy egyenest egy ponttal ketté metszünk, két félegyenest kapunk, amely, amelyek egymással ellentétes irányban tekinthetők csak végtelennek. Tehát itt törtdimenziós tereket kapunk, amelyek esetünkben 0,5 dimenziós tereknek tekinthetőek. A két féldimenziós tér maximális metszőtere az egydimenziós egyenes lesz, és csak egy közös nulldimenziós pontjuk lesz, ahol ketté metszettük őket, és találkoznak egymással. Ez megfelel a már lefektetett tételünknek, és a képletnek.
1; D0,5 X D0,5 = D0,5 + 0,5 – 1 = D0
A két féldimenziós tér minimális metszőterének a félegyenest tekinthetjük és a két félegyenes metszetét úgy kapjuk meg, hogy az egyik félegyenest beleforgatjuk a másik félegyenes pontjaiba, így a két félegyenes közös félegyenesben fog feküdni, és metszetük a félegyenes lesz. Ez is megfelel a képletnek.
0,5; D0,5 X D0,5 = D0,5 + 0,5 – 0,5 = D0,5
Ha az egydimenziós teret, tehát az egyenest rá merőlegesen meghosszabbítjuk egyik irányban a végtelenbe, akkor egy félsíkot kapunk, ami több mint az egydimenziós egyenes, de kevesebb, mint a kétdimenziós sík, tehát 1,5 dimenziós teret kapunk, amit egy egydimenziós egyenes határol el. Ha ez a félsík két egyenes metszőtereként van jelen, akkor ez a két egyenes párhuzamos egymással, mert párhuzamos a félsík elhatároló vonalával, hiszen ha ez nem így lenne, akkor a két egyenes átmetszené az elhatároló vonalat, és a kétdimenziós sík metszőterében lenne jelen.
Két félsík metszése maximális metszőtérben, azaz a háromdimenziós térben a pont, hiszen ha párhuzamosak egymással a kétdimenziós térben, akkor közös részük az egyenes lesz, ha viszont az egyiket elforgatjuk a háromdimenziós térben, akkor már csak egy pontban fognak érintkezni.
3; D1,5 X D1,5 = D1,5 + 1,5 – 3 = D0
Ennek megfelelően kétdimenziós metszőtérben az egyenes lesz a kettő metszete, ahogy minimális metszőtérben, azaz 1,5 dimenziós térben a félsík lesz a kettő metszőtere. Mindebből a féltér, vagyis a 2,5 dimenziós tér metszőterei és metszetei már kikövetkeztethetőek.
A gömbfelület nem más, mint azoknak a pontoknak az összessége, amelyek egy álló ponttól egyforma távolságra vannak. Attól függően, hogy milyen térben vesszük fel ezt a távolságot, megkülönböztethetünk 0, 1, 2 és 3 dimenziós gömbfelületet. Egy egyenesen kijelölt középponttól mérve csak két pont vehető fel ettől a középponttól egyenlő távolságra (jobbra és balra). Ez a két pont képezi az egydimenziós gömbfelületet. Ehhez hasonló módon képezhető a kétdimenziós körkerület, amely kétdimenziós gömbfelületnek tekinthető, vagy a háromdimenziós gömbfelület. Ha pedig a középpont, és a felületi pontok távolságát nullára csökkentjük, akkor megkapjuk a nulldimenziós gömbfelületet.
Ha ez a félsík két egyenes metszőtereként van jelen, akkor ez a két egyenes párhuzamos egymással, mert párhuzamos a félsík elhatároló vonalával, hiszen ha ez nem így lenne, akkor, akkor a két egyenes átmetszené az elhatároló vonalat, és a kétdimenziós sík metszőterében lenne jelen. A Bólyai-Lobacsevszkij tétel értelmében, miszerint a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást, a két párhuzamos egyenes metszete két pont lesz a végtelen két szélső pontján, vagy előbbi definíciónk értelmében egy egydimenziós gömbfelület, vagy ha úgy tetszik egydimenziós tér. A képlet azonban ennek ellent mond.
1,5; D1 X D1 = D1 + 1 – 1,5 = D0,5
Ha 2,5 dimenziós térre alkalmazzuk ezt a képletet, akkor is a tételünknek ellentmondó eredményre jutunk. A metszőtér ugyanis nem 2 dimenziós tér, vagy gömbfelület, hanem 1,5 dimenziós tér lesz. Ez az ellentmondás a szerző szerint csak látszólagos. A paradoxont úgy oldja fel, hogy szerinte az egydimenziós gömbfelület, amely két egyenes metszésének tekinthető a 1,5 dimenziós térben több mint a nulldimenziós tér, mert egyenest alkot. Viszont kevesebb, mint az egydimenziós tér, mert a végtelenben mégis csak vannak végpontjai az abszolút végtelen egyenessel szemben, tehát mégis másfajta egyenest alkot. Így itt ténylegesen egy 0,5 dimenziós térrel van dolgunk, amely esetünkben nem félegyenes, hanem egy egydimenziós gömbfelület.
Ugyanígy az kétdimenziós gömbfelület, amely két sík metszésének tekinthető a 2,5 dimenziós térben több mint az egydimenziós tér, mert egyenest alkot. Viszont kevesebb, mint a kétdimenziós tér, mert a végtelenben mégis csak vannak végpontjai az abszolút végtelen síkkal szemben, tehát mégis másfajta síkot alkot. Így itt ténylegesen egy 1,5 dimenziós térrel van dolgunk, amely esetünkben nem félsík, hanem egy kétdimenziós gömbfelület. Így képletünk:
m + 0,5; Dm X Dm = Dm + m – (m + 0,5) = Dm – 0,5
Itt azonban m + 0,5 nem adott dimenziószámú teret, hanem m dimenziószámú gömbfelületet jelent. Mindebből pedig az következik, hogy:
3,5; D3 X D2 = D6 – 3,5 = D2,5
Ez pedig 3 dimenziós gömbfelületet jelent. Tehát ha a mi háromdimenziós terünkön kívül lenne még egy háromdimenziós tér, és az a mi háromdimenziós terünket a 3,5 dimenziós metszőtérben metszené, akkor egy végtelenül nagy sugarú gömbfelület jönne létre.
A szerző utolsó megjegyzése szerint pedig ilyen metszetnek léteznie kell. Hiszen terünk minden irányban határtalan, vagyis háromdimenziós végtelensugarú gömbnek tekinthető, ami csak két háromdimenziós tér metszeteként jöhet létre a 3,5 dimenziós térben. Ahogy pedig kép pont vonalat, két vonal síkot, két sík pedig teret alkot, két háromdimenziós térnek a négydimenziós teret kell alkotnia, így tehát léteznie kell a negyedik dimenziónak, aminek pedig ötdimenziós teret kell alkotnia a 4,5 dimenziós metszőtérben és így tovább.
A cikk célja tehát végeredményben a négydimenziós, és az annál magasabb dimenziószámú terek létezésének bizonyítása volt. Ez a végcél nem sikerült, ugyanis a cikk végén elkövetett egy logikai hibát. Ahogy fent olvashattuk annál a résznél, ahol a végtelensugarú egydimenziós gömbfelületet két egymással párhuzamos egyenes metszőtereként értelmezi a 1,5 dimenziós térben, megkülönböztette egymástól a végtelen sugarú egydimenziós gömbfelületet, és az abszolút végtelen egydimenziós egyenest. Abban a részben pedig, ahol a negyedik dimenzió létét igyekszik bizonyítani, megfeledkezik erről a megkülönböztetésről, és azt mondja, hogy mivel a mi háromdimenziós terünk mindenfelé végtelen, és határtalan, mindenképpen egy háromdimenziós gömbfelületet kell alkotnia. Pedig az ő értelmezésében a végtelensugarú háromdimenziós gömb, és az abszolút végtelen háromdimenziós tér is végtelent jelent, csak éppen egymástól különböző végteleneket, akkor pedig fel kell tennünk a kérdést, hogy a végtelen tér miért éppen egy végtelensugarú háromdimenziós gömböt, és miért nem egy abszolút végtelen háromdimenziós teret alkot.
A célját tehát nem érte el a dolgozat, azonban tett egy nagyon fontos felfedezést, megkülönböztetett egymástól két fajta végtelent, akárcsak Georg Cantor, és az egyiket a körhöz, a másikat pedig az egyeneshez kötötte. Ahhoz, hogy innen tovább tudjunk lépni meg kell vizsgálnunk ezt a két fajta végtelent. A körhöz kapcsolódó végtelent fogjuk először megvizsgálni, ehhez pedig meg kell értenünk, hogy mi is az a Bolyai-Lobacsevszkij féle nemeuklidészi geometria, amely alapján Telcs a körhöz kötődő végtelent elhatárolta az abszolút végtelentől, ahogy azt fent olvashattuk.
A Bolyai féle geometria alaptétele, hogy a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást. Ezt a tételt egy épeszű ember, ha meghallaná, bizonyosan őrültségnek tartaná, vagy olyan mögöttes értelmet gondolna bele, amit ő sohasem érthetne meg, ezért nem is foglalkozna vele többet. Pedig ezt szó szerint kell érteni. Ahhoz, hogy megértsük, hogy hogyan lehet ez az őrültségnek hangzó állítás igaz, ismerkedjük meg először a függvényekkel. A függvényekről nyilván mindenki tanult már az iskolában. A függvény lényegében egy egyértelmű hozzárendelés a matematikában, ahol egy konstans (állandó) értékhez egy változó értéket rendelünk hozzá valamilyen matematikai művelettel, mint például összeadás, vagy kivonás, és ennek értelmében, minden esetben, ha a változó értéke megváltozik, és ha a függvényben definiált műveletet elvégezzük, akkor a kapott eredmény, vagyis a függvény kimenete is megváltozik. Így például definiálhatjuk a következő függvényt:
f(x) = x + y2
Tehát (x) a konstans érték (y) pedig változó, ami azért változik, mert folyamatosan négyzetre emeljük, és minden esetben, amikor négyzetre emeljük, és elvégezzük a függvényben definiált műveletet, vagyis hozzáadjuk az x-hez, a függvény kimenete változik. Például legyen (x = 3) és (y = 2) Ebben az esetben (3 + 2 a négyzeten = (3 + 4) = 7), a következő menetben (3 + 4 a négyzeten = (3 + 16) = 19), és így tovább. Ezekből a változó függvénykimenetekből aztán érdekes grafikonokat rajzolnak a matematikusok a koordinátarendszerben, amelyek néha különös tulajdonságokkal bírnak. Ilyen például a hiperbola. Hogy a hiperbola milyen függvény eredményeként áll elő az most témánk szempontjából nem érdekes. A lényeg az, hogy egy olyan görbéről van szó, amelynek van egy jobb szára, ami a hiperbola alját elérve elgörbül, és irányt vált, ahogy az ábrán is láthatjuk, majd így lesz egy bal szára, ami felfelé folytatódik.
A hiperbolának a legfontosabb tulajdonsága az, hogy mind a két szára felfelé irányulva folyamatosan közeledik ahhoz az állapothoz, hogy kiegyenesedjen, egyenessé váljon, de sohasem érheti el ezt az állapotot, tehát lényegében csak a végtelenben válnak egyenessé. Egyes matematikusok elgondolkodtak azon, hogy ha létezik egy olyan görbe, amelynek szárai folyamatosan közelednek ahhoz állapothoz, hogy egyenessé váljanak, de azt sohasem érhetik el, és így csak a végtelenben válnak egyenessé, akkor miért ne lehetne az egyenes olyan objektum, ami ennek a fordítottját hajtja végre, vagyis sohasem tér le az útjáról, nem válik görbévé, csak a végtelenben. Ezt bizonyította be Bolyai János, hogy az egyenes olyan objektum, ami a hiperbola tükörképe, és a végtelenben görbévé válik, elpattan eredeti útjától, és a vele párhuzamos egyenest metszi.
Ennek a résznek nem az volt a célja, hogy Bolyai bizonyítását részletes bemutassam, csak annak a szemléltetése, hogy hogyan lehet az, hogy a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást. Mit kell észrevennünk a hiperbola, és vele együtt a végtelen egyenes tulajdonságaiban? Egyértelműen a dinamikus jelleget. A hiperbola szárai, mint ahogy láthatjuk folyamatosan és megszakítás nélkül, vagyis dinamikusan közelítenek ahhoz az állapothoz, hogy a végtelenben egyenessé váljanak, ha pedig az egyenes a hiperbola tükörképe, akkor a végtelen egyenes is dinamikusan közelít ahhoz az állapothoz, hogy a végtelenben görbévé váljon és metssze a vele párhuzamos egyenest. Így a pont ahol a két egyenes metszi egymást dinamikusnak tekinthető. Most pedig emlékezzünk vissza, hogy a cikk elején a Cantor által definiált két végtelen közül melyik végtelent ruháztuk fel dinamikus jelleggel a keleti vallásokra hivatkozva. Egyértelműen a megszámlálhatatlanul végtelent. Tehát a megszámlálhatatlanul végtelen a két egymással párhuzamos, végtelen nagyságú térelem metszéseként létrejövő körhöz, vagy gömbhöz köthető. Míg a megszámlálhatóan végtelen az abszolút végtelen térelemekhez köthető, mint az egyenes a sík, vagy a tér.
Érdekes, hogy Cantor éppen a megszámlálhatatlanul végtelenről állapította meg, hogy az nagyobb, mint a megszámlálhatóan végtelen. Az eddig leírtakból pedig az világlik ki, hogy a megszámlálhatatlanul végtelen két végtelen térelem metszéséből alakul ki, vagyis vannak végpontjai, míg a megszámlálhatóan végtelen abszolút végtelennek tekinthető, és nincsenek végpontjai, vagyis a megszámlálhatóan végtelen a nagyobb. Ez csak a csalóka látszat. Az a tény, hogy a megszámlálhatatlanul végtelennek vannak végpontjai, a végtelen természetéből adódóan nem azt reprezentálja, hogy a megszámlálhatatlanul végtelen a kisebb, hanem, hogy annak van formája, míg a megszámlálhatóan végtelennek nincs.
Ahhoz ugyanis, hogy a pont dinamikus legyen formába ágyazottnak kell lennie, hiszen csak így vehet fel egyszerre két egymással ellentétes állapotot, ami a kvantummechanikának, és a keleti vallások valóságértelmezésének is a sajátossága. Ha megnézzük a kör kerületét, akkor láthatjuk, hogy ugyanúgy pontokból áll, mint bármelyik egyenes vagy görbe, és ha a középpontból sugarakat húzunk a kör kerületének pontjaihoz, akkor minden sugár más irányba fog mutatni. Tehát a kör kerületét alkotó minden pont más irányú, vagy ha úgy tetszik állapotú. Mivel pedig ezek a pontok összefüggnek, hiszen a körvonal egységet alkot, a kör kerületének egy adott pontja más állapotú a tőle jobbra lévő pont szempontjából, és megint más állapotú a tőle balra lévő pont szempontjából, másként a pont állapota a két állapot szuperpozícióját alkotja, vagyis egyszerre magában foglalja mind a két állapotot. Tehát ahhoz hogy a kör pontjai dinamikusak jelleggel bírjanak, a körnek formával kellett rendelkeznie, minden végpontjának más állapotúnak kellett lennie.
Ezzel ellentétben az egyenesnek, amely a megszámlálhatóan végtelenhez, vagy másként az abszolút végtelenhez köthető, ha két dimenzióba emeljük, akkor négyzetet kapunk, és a négyzet minden oldala egyenes, vagyis minden oldalának pontjai azonos állapotúak, és így lényegében nincs formája. Ez a tulajdonsága hívja életre azt a jelenséget, hogy végtelen nagyságban úgy tűnik nincsenek végpontjai, és nem az, hogy nagyobb, mint a megszámlálhatatlanul végtelen. Nem véletlen talán, hogy a reneszánsz korának egyik legismertebb európai panteista filozófusa: Nicolaus Cusanus, Istent, akit ő a keleti vallásokhoz hasonlóan személytelen ősszubsztanciaként, vagy egyként gondolt el a körhöz, illetve a gömbhöz hasonlította. Míg Aquinói Szent Tamás, akinek teológiája élesen szemben állt a panteizmussal a végtelenről azt állította, hogy nem lehet formája.
A fent levezetett gondolatmenetből a számunkra legfontosabb gondolat az, hogy a forma kvantumjelenség. A forma lényegében a test felszínének alakja, és az, hogy egy test felszínének van alakja abban mutatkozik meg, hogy a test felszínének minden pontja meghatározott koordinátákkal rendelkezik, és ezek a koordináták minden szomszédos pont szempontjából más értéket vesznek fel, az adott pont helyzete pedig ezeknek az értékeknek a szuperpozícióját veszi fel, ahogy a kvantumrészecskék állapota is két energiaállapot szuperpozíciójának tekinthető, vagyis egyszerre vannak mind a két állapotban.
Mindez érdekes dolgokat mond el számunkra a PÍ-ről, ami egyenlő 3, 14-el. A PÍ, mint tudjuk, a kör kerületének, és átmérőjének hányadosa. Mi pedig megállapítottuk, hogy a kör a megszámlálhatatlanul végtelenhez, az egyenes pedig a megszámlálhatóan végtelenhez köthető. Ezek szerint a megszámlálhatatlanul végtelen 3, 14-szer nagyobb lenne, mint a megszámlálhatóan végtelen? Ez nyilvánvalóan a végtelenben annak sajátos természete miatt nem így van, ez csak egy a végtelenből a végesbe vetített mennyiség. Amint láthattuk a kör matematikai tulajdonságai a megszámlálhatatlanul végtelen számokhoz kötődnek, amelyeket valamiféle spontán önfelülmúlás, vagy önmeghaladás jellemez, akárcsak Leibniz infinitezimálisát. Ez a spontán önfelülmúlás és önműködés jelenik meg Menger és Hayek gazdasági nézeteiben is, akik szerint a gazdasági rendszer spontán termeli ki saját erkölcsi és politikai intézményeit, de Freud tudatalattija is ezen az elven működik, hiszen abból is spontán törnek elő az elfojtott élmények, hogy uralmuk alá vegyék a tudatot és neurózist okozzanak. Az osztrák közgazdasági gondolkodás tehát alapvetően leibnizi alapokon nyugszik.
A mi szempontunkból pedig a leglényegesebb a leibnizi alapokon nyugvó hayeki gazdaságelméletben a fent említett multikulturalizmus. Eszerint a gazdaságnak több egymástól eltérő képességű, kultúrájú és ezekből következően eltérő etnikumú egyénnek a munkáját kell összekapcsolnia. Ennek korunkban az egyik legfőbb színtere a számítástechnika és azon belül az internet, amelyet a modern globalizáció legfőbb alapelemének és a világ egymástól eltérő kultúrájú lakosainak legfőbb találkozási terének tartanak. Illetve aminek egyik tudományos alapja a hálózatok elmélete, hiszen maga is egy hálózat, és mint ilyen analógiába hozható a gráfelmélettel, amely a matematika azon ágát képviseli, ami azt elemzi, hogy hogyan és hányféleképpen lehet hálózatszerűen összekötni egymással különféle térbeli objektumokat.
A gráfelmélet tehát, mint a különféle térbeli objektumok, esetünkben emberek, összeköttetéseinek elemzésével foglalkozó matematikai tudomány a multikulturalizmuson, mint egymástól eltérő kultúrájú személyek térbeli és gazdasági összekapcsolásának eszméjén és ezen keresztül a számítástechnika és a hayeki gazdaságfilozófia kapcsán egyértelmű kapcsolatban áll a leibnizi filozófiával.
A következő kérdés, hogy miféle kapcsolatban áll a leibnizi filozófia a káoszelmélettel? A káoszelmélet olyan egyszerű nem lineáris dinamikai rendszereket tárgyal, amelyeknek a viselkedése az őket meghatározó determinisztikus tényezők megléte ellenére nem jelezhető előre megfelelően. Ilyen az időjárás, vagy a gazdasági folyamatok, vagy bizonyos turbulens folyadékáramlások stb. Ezek a folyamatok általában a kezdőfeltételekre nagyon érzékenyek, ami azt jelenti, hogy a kezdőfeltételek kismértékű megváltozása nagy hatással van az adott folyamat jövőbeni fejlődésére. Így például jól ismert a káoszelmélet irodalmában a pillangóeffektus, amikor a pillangó szárnycsapása Amerikában akár egy vihart is előidézhet a Francia Alpokban.
A kezdő feltételekre való ilyesfajta érzékenység, ahol a kezdő feltételekben való kismértékű változás nagymértékű eltérést eredményez a folyamatok további menetében mondanom sem kell nyilvánvaló analógiába hozható a leibnizi filozófiában a folyamatok spontán önfelülmúlásának jelenségével, amit a hayeki gazdaságfilozófia kapcsán is elemeztünk. A leibnizi filozófiával kapcsolatba hozható transzcendens szám, vagyis a PI számjegyeinek az elemzése szintén kapcsolatba hozható a káoszelmélet tudományával.
"A káoszelmélet nagy eredménye azonban annak kimutatása, hogy egyszerű, néhány állapotjelzővel leírható determinisztikus rendszerek is mutathatnak összetett, MEGJÓSOLHATATLAN viselkedést. Determinisztikus voltuk ellenére a kaotikus rendszerek állapotjelzői elsősorban STATISZTIKUS módszerekkel írhatóak le."
„Pl. nem tudhatjuk, jósolhatjuk meg a pi 1000. vagy 1000000. számjegyét, de azt tudjuk, hogy a számjegyek kb 1/10-de lesz 0, 1, 2, stb.”
„Előző vagyok. A pi 1000000 tizedesjegyre:
100359 db-"5"
100230 db-"3"
100230 db-"4"
100106 db-"9"
100026 db-"2"
99985 db-"8"
99959 db-"0"
99800 db-"7"
99758 db-"1"
99548 db-"6"-os számjegyet tartalmaz.”
Tehát a káoszelmélet kapcsolatban áll a leibnizi filozófiával, a leibnizi filozófia pedig a gráfelmélettel, ezen keresztül pedig a káoszelmélet is kapcsolatban áll a gráfelmélettel A káoszelmélet tudománya egyértelműen alkalmazható a modern társadalomban spontán létrejövő gazdasági és társadalmi folyamatok elemzésére és kiszámítására. Ezek a tárgyai a hayeki gazdaságfilozófiának is. A gráfelmélet pedig a modern társadalomban, és az interneten spontán létrejövő gazdasági és társadalmi folyamatok folytán előálló hálózatos kapcsolatokat reprezentálja, illetve azokat elemzi, amelyek a hayeki gazdaságfilozófiából előálló multikulturális gondolatnak is az alapját képezik.
Kell még beszélnünk a káoszelmélet egy sajátos tárgyáról is, ez pedig a fraktálgeometria. A fraktálok fogalmát a természetben jelen lévő formákra alkalmazzák, mert azok általában szabálytalan formák. A szabálytalan formák úgy kapcsolódnak össze a káoszelmélet tudományával, hogy mivel az a kevésbé előre jelezhető jelenségekkel foglalkozik, az előre jelezhetetlenség mindig összefüggésben van a szabálytalansággal, egész egyszerűen azért, mert a káosszal kapcsolatos jelenségek esetében nem tudunk előre lefektetni olyan szabályokat, amelyek alapján előre megmondható lehetne a folyamat végkimenetele.
A fraktáloknak, vagyis a szabálytalan formáknak van egy sajátos tulajdonságuk, mégpedig az, hogy a forma nyomvonala végtelen hosszúságú, annak ellenére, hogy véges nagyságú síkot, vagy térrészt fog közre. A fraktálokat, ahol végtelen nagyságú sík vagy vonal fog közre egy véges nagyságú térrészt vagy síkot más néven tört dimenziós tereknek is nevezzük. A szabálytalan formák felülete azért végtelen nagyságú, mert a szabálytalanság bármilyen kis méreteknél is megvalósulhat, ezért a szabálytalan formák hosszúsága megmérhetetlen. Vegyük példaként az európai kontinens partvonalát, amely tudvalévőleg szabálytalan alakzat.
Ha meg akarjuk mérni, hogy milyen hosszú az európai kontinens partvonala, akkor először húzhatunk egy szabályos alakú vonalat Európa köré a térképen, és azt megmérhetjük, de ezzel semmiképpen nem kapunk pontos adatot, hiszen a pontos adathoz külön meg kellene mérnünk minden Európa partvonalából kiálló szikla kerületét is, hiszen a kiálló sziklák kerülete hozzáadódik Európa partvonalának a hosszúságához. Azonban még így sem kapnánk 100 %-ig pontos adatot, hiszen a kiálló sziklák is szabálytalan alakúak, és így lehetnek bennük megkövesedett csigák kagylók, amelyeknek a formái szintén kiállnak a sziklákból, és így ezeknek a kiálló kagyló és csigaalakzatoknak a kerületét is meg kellene mérni a pontos adathoz, és így tovább a végtelenségig. A pontos adatot így soha nem kapnánk meg, mert az csak végtelen nagyságú lehet.
A fraktálok szemléltetésére különféle mesterséges alakzatokat találtak ki a matematikusok, mint amilyen például a Helge von Koch svéd matematikus által kitalált alakzat, „melynek szerkezeti alapja egy egységnyi oldalú háromszög. A geometriai transzformáció során mindig ugyanazt tesszük a síkidommal: minden oldalára egy egyharmad oldalhosszúságú háromszöget helyezünk, az ábrán látható módon. Ezt elméletileg a végtelenségig ismételhetjük. A végeredmény egy olyan síkidom lesz, amelynek kerülete végtelen, ám területe nem haladja meg a kezdő háromszög köré írható kör területét. Így egy végtelen vonal véges térrészben van jelen. Ez pedig – akárhonnan is nézzük – az euklideszi matematika keretei között képtelenség.”
Ezek a tulajdonságok a kétdimenziós fraktálokra vonatkoznak, de nemrég fedezték fel az úgynevezett háromdimenziós fraktálokat is, amelyek nem mások, mint a kétdimenziós fraktálok térbeli megfelelői. Ha a kétdimenziós fraktálok a társadalomban és a fizikában előre nem jelezhető folyamatokkal állnak kapcsolatban a káoszelmélet kapcsán, akkor mit reprezentálhatnak a háromdimenziós fraktálok példánknál maradva mondjuk a társadalom területén?
A káoszelmélet hagyományos formája mind mondtuk azt elemzi, hogy megközelítőleg milyen utat járhatnak be azok a társadalmi folyamatok, amelyeknek végkimenetele nem jelezhető teljesen előre. Mint például a közvélemény alakulása egy parlamenti választás esetében. Azonban nyilvánvaló, hogy egy ilyen társadalmi folyamat, még ha végkimenetele nem is jelezhető előre teljes mértékben, végkifejlete végeredményben csak egyfajta lehet. Vagy az egyik párt győz, vagy a másik, ha a parlamenti választások példájánál maradunk. Hugh Everett amerikai kvantumfizikus sok világ elméletében viszont a fizikai és társadalmi folyamatoknak több kimenetele is lehet, és a történelmi folyamatok végkimenetelei mind egy külön univerzumot, külön világot képeznek.
Például létezik olyan másik univerzum a mi univerzumunkon kívül ahol Napóleon nem vesztette el az oroszországi hadjáratot, Hitler nem vesztette el a második világháborút, vagy éppen csak annyi a különbség, hogy ezt a cikket én most nem írom meg. Everett szerint ezekben a párhuzamos világokban a mi univerzumunkban történt események minden lehetséges variációja megtörténik, és ahány variációja csak lehetséges a mi univerzumunkban történt eseményeknek annyi párhuzamos univerzum létezik. Ezeknek a párhuzamos univerzumoknak a száma pedig, ha a mi univerzumunk véges méretű, akkor véges, mert csak végesen sok esemény variációinak kell megtörténni, ha pedig a mi univerzumunk mérete végtelen, akkor a párhuzamos univerzumok száma is végtelen, mert végtelenül sok esemény összes variációjához rendelhetünk egy külön univerzumot.
Ha térbeli analógiákat akarunk rendelni a mi univerzumunk előre nem jelezhető, de csak egy irányba mutató eseményeihez, és ezeknek az összes variációit felmutató párhuzamos univerzumoknak a konglomerátumához, akkor azt is mondhatjuk, hogy a multiuniverzum elmélet nem más, mint a mi univerzumunk egy irányba mutató eseményeinek az egyel több dimenzióssá transzformálása. Mivel itt lényegében a mi univerzumunk egy irányba tartó eseményei végtelen sok irányba ágaznak szét, és ha például a tér egydimenziós megfelelőjét, vagyis a vonalat két dimenziós síkká transzformáljuk akkor is az történik, hogy az egydimenziós vonal egy irányba tartó kiterjedése a síkban végtelenül sok irányba ágazik szét.
Erre az analógiára pedig már felépíthetjük azt a tételt, hogy ha a mi egyedüli univerzumunknak az előre nem jelezhető, de egy irányba tartó eseményeit a kétdimenziós fraktálok reprezentálják, akkor ezeknek többdimenziós megfelelőjét, vagyis a párhuzamos univerzumokban megtörténő események összességét a háromdimenziós fraktálok reprezentálják, mint az előre nem jelezhető események minden variációinak megjelenítőjét.
A következő kérdés az, hogy ha az egyedüli univerzumban megtörténő előre nem jelezhető, de egy irányba mutató spontán kialakuló események által létrejövő hálózatos kapcsolatokat a hagyományos gráfok reprezentálják, akkor milyen gráf reprezentálja a párhuzamos univerzumokban létrejövő események összességéből előálló hálózatos kapcsolatokat? Nyilvánvalóan a hiperbolikus fagráf. A fagráf lényegében a fa struktúra reprezentációja ahol kezdeti elágazásból mindig új elágazások nőnek, majd ezekből is új elágazások egészen a végtelenségig. Egy ilyen struktúrában hosszabb távon nyilván a fagráf minden részéből el lehet jutni annak minden más részébe. Tehát a végtelen fa struktúra olyan gráf, amely a hagyományos gráfok minden lehetséges megnyilvánulási formáját magában foglalja, hiszen minden összeköttetésben van benne mindennel, közelebbről pedig ez azt jelenti, hogy egy univerzumban lehetséges események által generált hálózatos kapcsolatok összességét magában foglalja. A hiperbolikus fagráf pedig olyan fagráf, ahol egy pontból kinövő több, vagy akár végtelenül sok ilyen fa struktúra elágazásai is összekapcsolódnak gráfszerűen egymásba hatolva, ahogy azt a lenti kép is mutatja, amely egy valódi hiperbolikus fagráf rajza.
Ez pedig azt jelenti, hogy az egyes univerzumokban lehetséges események által generált hálózati kapcsolatok mind egybekapcsolódnak a többi univerzumban az ott lehetséges események által ugyanígy generált hálózati kapcsolatokkal. Vagyis, ha a hiperbolikus fagráf egyes külön fa struktúráit a párhuzamos univerzumok egyes egyedeinek egyedüli eseményeit magában foglaló összességhez rendeljük, akkor mondhatjuk, hogy a hiperbolikus fagráf fa struktúráinak az egybekapcsolódó összessége a párhuzamos univerzumok egyedeiben megtörténő események összességéből előálló hálózatos kapcsolatokat reprezentálja, hiszen itt az egyes fa struktúrák, mint az egyes univerzumokban megtörténő események összessége gráfszerűen összekapcsolódik a többi univerzumban megtörténő események összességével, amelyek egymás variációinak tekinthetőek.
Ha pedig a hiperbolikus fagráf kapcsolatba hozható a multiuniverzum elmélettel az pedig a háromdimenziós fraktálokkal, akkor a háromdimenziós fraktálok és a hiperbolikus fagráfok is egyértelmű kapcsolatban állnak egymással, és mondhatjuk, hogy a háromdimenziós fraktálok és a hiperbolikus fagráfok egymás reprezentánsai. A következő és egyben utolsó kérdés, hogy ha a háromdimenziós fraktáloknak a hiperbolikus fagráfok feleltethetőek meg, akkor milyen gráfok feleltethetőek meg a négydimenziós fraktáloknak, vagy az annál többdimenziós fraktáloknak? Létezik e egyáltalán olyan gráf, ami megfeleltethető a négydimenziós fraktáloknak, vagy az annál többdimenziós fraktáloknak? Véleményem szerint nem, mert az Everett által kidolgozott párhuzamos világok elméletében, ha minden a mi univerzumunkban történt esemény variációja megtörtént, akkor elméletileg nem történhet több esemény. Ezt persze a matematikusok dolga eldönteni, én nem vagyok matematikus, de ennek az eldöntése véleményem szerint magyarázatot adhatna arra a kérdésre, amely régóta foglalkoztatja a matematikusokat és a filozófusokat, vagyis hogy miért háromdimenziós a tér.
Pjotr Gyemjanovics Uszpenszkij a háromnál magasabb térdimenziók mibenlétét az idő fogalmával hozza kapcsolatba. Aminek szemléltetésére tegyük fel, hogy mi a kétdimenziós lények vagyunk, és egy kétdimenziós síkban élünk, amely a háromdimenziós térben lebeg. A háromdimenziós térből pedig alulról áthatol ezen a síkon egy tojás éppen a kétdimenziós szemeink előtti sík térrészben. Ekkor mi, mint kétdimenziós lények csak egy folyamatosan változó nagyságú kört fogunk látni, amely először növekvő méretű, majd mérete folyamatosan csökken, majd ahogy a tojás felfelé haladva elhagyja a kétdimenziós sík terünket, az egész kör eltűnik előlünk. Tehát ekkor nem az egész tojást fogjuk látni, hanem csak felületének folyamatosan változó kétdimenziós alakját, és a változás, mint olyan az idővel hozható kapcsolatban, ami a szerző szerint azt jelenti, hogy a magasabb térdimenziók behatolása az alacsonyabb dimenziószámú terekbe mindig időbeli folyamatokkal hozhatóak kapcsolatba.
Uszpenszkij szerint mi emberek, mint háromdimenziós lények is folyamatos változást tapasztalunk háromdimenziós világunk tárgyain, amit esetlegesen úgy is értelmezhetünk, mint a négydimenziós térben lévő tárgyak folyamatos behatolását az általunk tapasztalt háromdimenziós világba, ezért a negyedik térdimenziót ő az idővel hozta kapcsolatba Einsteinhez hasonlóan, csak kicsit más értelmezésben. Ha pedig ezt a gondolatot igaznak fogadjuk el az érdekes következtetésekre ad alkalmat.
A végtelen fogalmából kikövetkeztethetjük, hogy sem a végtelenül nagy háromdimenziós térnek, sem pedig a végtelenül kicsi nulldimenziós pontnak nincs felülete. A végtelenül nagy háromdimenziós térnek azért nincs, mert minden irányban minden létezőt betölt, ezért nem határolhatja semmi sem. A nulldimenziós pontnak pedig azért, mert nincs mérhető kiterjedése, hanem ő maga minden kiterjedésnek a határa, mint például az első kiterjedésnek: az egydimenziós vonalnak két végpontján, mint pont.
Ha viszont a négydimenziós tér a háromdimenziós térben tapasztalható időbeni történésekkel hozható kapcsolatba, akkor a négydimenziós térnek szükségképpen kell, hogy legyen térbeli felülete. Mivel minden időbeni történésnek kell, hogy legyen kezdő és végpontja. Így felmerül a kérdés, hogy értelmezhető e egyáltalán a negyedik, vagy annál magasabb térdimenziókban a végtelen olyan értelemben, mint a háromdimenziós térben, hiszen ha a négydimenziós térnek mindenképpen kell, hogy legyen felülete, akkor olyan értelemben nem lehet végtelen, mint a háromdimenziós tér. A négydimenziós tér végtelenségének valamiféle köztes létmódot kell képviselnie az abszolút végtelen és a véges között. Ennek szemléltetésére képzeljünk el egy emeletes tortát, ami fejjel lefelé van állítva, és így részeit folyamatosan növekvő felületű és térfogatú hengerek alkotják. Továbbá képzeljük el, hogy ennek a tortának a nagysága alulról felfelé haladva a végtelen felé tart. Tehát a részeit alkotó hengerek felülete és térfogata folyamatosan növekszik a végtelenségig.
Ekkor ennek az emeletes tortának a térfogata nyilvánvalóan abszolút végtelen lesz, hiszen az a végtelen felé haladva előbb-utóbb mindent be fog tölteni. A felülete is a végtelen felé fog kovergálni, viszont az mégsem lehet abszolút végtelen, mert egy végtelen térfogatú testnek nem lehet felülete. Tehát ennek a tortának a felületnövekedése valahol az abszolút végtelen és a véges közötti köztes létmódban meg fog állni. Azonban itt felvetődik a kérdés, hogy hogyan definiálhatjuk matematikailag ezt a véges és végtelen közötti köztes létmódban lévő számot, hogyan ragadhatjuk meg ezt valaha matematikailag? Erre a kérdésre, csak a jövő matematikája adhat választ. Az viszont valószínű, hogy a négydimenziós, és az annál magasabb térdimenziós terek végtelenjének a természetét ez a szám jellemzi.
Ez pedig alátámasztja azt, amit fent a hiperbolikus fagráfokkal kapcsolatban leírtam, hogy a negyedik térdimenzióhoz nem létezik újfajta fagráf vagy fraktálmintázat, mert a hiperbolikus fagráfokban, a multiuniverzum elméletre vetítve, az időbeli és térbeli lehetőségek végtelenjének minden elágazása megvalósul és jelen van, és teljes mértékben kimeríti a végtelent. A negyedik térdimenzióban pedig, az elmélet szerint, ezt a végtelent nem lehet tovább kombinálni és növelni. Mint ahogy nem is lehet, hiszen a negyedik térdimenzióban az abszolút végtelen olyan értelemben, mint a háromdimenziós térben nincs jelen. Arra a kérdésre, hogy miért háromdimenziós a tér, talán annak vizsgálatával kellene keresnünk a választ, hogy miért nincs jelen a negyedik, vagy az annál magasabb térdimenziókban az abszolút végtelen. Ennek megválaszolása a matematika jövő feladata lesz. Tehát a háromnál több dimenziós terek egyszerre végesek és végtelenek, ami megfeleltethető a cikk elején leírt végtelen háromdimenziós tér szerkezetének, ahol a végtelen tér két végtelenbe nyúló iránya is egyszerre véges és végtelen. Viszont ezzel még mindig nem tértünk ki arra, hogy milyen térbeli rendszernek feleltethetőek meg a Fibonacci, és a magasabb rendű Fibonacci számok. Ennek megismeréséhez ki kell még térnünk a komplex, az irracionális, a transzcendens és a robbantott számokra is.
Mindenki tanulta az iskolában a negatív és pozitív számok közötti alapműveleteket. Ha negatív számot szorzunk vagy osztunk pozitív számmal negatív számot kapunk eredményük Tehát -2 * +2 = -4. A hatványozás azt jelenti, hogy egy bizonyos számot valahányszor megszorzunk önmagával, például 4 * 4-re azt mondjuk, hogy az a 4-es szám második hatványa, mert kétszer szoroztuk meg önmagával a négyet. A gyökvonás ennek az ellentéte. Egy adott számból fejtjük vissza vele azt a számot, amit ha önmagával megszoroznánk, megkapnánk azt az adott számot. 16 négyzetgyöke például 4, mert 4-et kell megszorozni önmagával, hogy tizenhatot kapjunk.
Mivel pedig a hatványozás törvényei szerint egy számot csak önmagával megszorozva lehet hatványozni a matematikusokat zavarba ejtette az a kérdés, hogy mennyi lehet -1 négyzetgyöke, hiszen mint ahogy fent leírtuk a -1-et szorzatként csak úgy kaphatjuk meg, hogy -1-et és +1-et szorozzuk össze, amelyek egymástól eltérő számok. Ezt a paradoxont pedig csak úgy oldhatjuk fel, ha azt mondjuk, hogy -1 négyzetgyöke nem egy bizonyos szám, hanem egyszerre +1 is és -1 is. Ezeket a számokat nevezték el a matematikusok képzetes, vagy imaginárius számoknak vagy komplex számoknak, amelyek egy negatív szám négyzetgyökei, tehát egyszerre negatívok is és pozitívok is,
Az irracionális számok a mai matematika fogalomhasználata szerint olyan végtelenül hosszú tizedes törtek, amelyeknek a számjegyeiben nincs ismétlődés. Például 0,090909... esetében a 0 és a 9 a végtelenségig ismétlődik, de például a Pí számjegyei esetében 3,14159.. a számjegyek sohasem ismétlődnek. Tehát a Pí irracionális számnak tekinthető. Azonban van még egy tulajdonsága is az irracionális számoknak mégpedig, hogy felírhatóak egy másodfokú egyenlet megoldásaiként. A kettőnek a négyzetgyöke: sqrt(2) például irracionális, de felírható egy egyenlet, az x^2 = 2 megoldásaként. A transzcendens számok viszont olyan irracionális számok, amelyek nem írhatóak fel végesen hosszú egyenlet megoldásaiként.
A nem transzcendens irracionális számok tehát bizonyos egész számok gyökeiként állnak elő, ahol a gyökvonás eredményeként nem egy újabb egész számot kapunk, hanem egy végtelen, nem szakaszos tizedestörtet. A komplex számok példáján már láthattuk, hogy a hatványozás esetén, vagyis két egyenlő nagyságú szám összeszorzásakor lényegében a kvantummechanikai valóság létszintjein jelen lévő objektumok tulajdonságaihoz hasonló új számot hozunk létre, ahol az új számban a már összeszorzott két szám egymást áthatva és egymást kioltva vibrál, akárcsak a kvantummechanikai valóságban a lét és a nemlét. Ha pedig gyököt vonunk az így keletkezett számból, akkor a már összeszorzott két szám elválik egymástól, és a kvantumvibráció, ahol a két szám egymást folyamatosan áthatotta és kioltotta megszűnik. Az irracionális számoknál az a jelenség, hogy a gyökvonás nem egész számot, hanem egy végtelen, nem szakaszos tizedes törtet ad ki azt jelenti, hogy az irracionális szám számjegyei folyamatosan kitöltik az egyre kisebb számértékeket fémjelző tizedes jegyeket. A tizedeken, századokon és ezredeken keresztül pedig egészen a végtelenségig egy végtelenül kicsi érték körül ingadozva közelítenek ehhez a végtelenül kicsi értékhez. sqrt(2) = 1,41421 35623 irracionális számmal szemléltetve valahogy így:
Marcus du Sautoy brit matematikus a prímeket a fent leírt kvantummechanikával kapcsolta össze, a kvantummechanikához kötődő prímszámokból gyökvonással képzett irracionális számok pedig tovább kvantumosodnak, hiszen az atomi szintek kvantumvibrációihoz hasonló ingadozásaik a végtelenbe nyúlnak, amikor egy végtelenül kicsi érték körül ingadozva tartanak a végtelen, pontosabban a végtelenül kicsi felé. Tehát itt tulajdonképpen a kvantumos prímszámok tovább kvantumosodásáról van szó. A transzcendens számok pedig mintha végleg elszakadnának a természetes számoktól, amiatt, hogy nem értelmezhetőek egy természetes szám négyzetgyökeként, és a természetes számokat is túlhaladva a megszámlálhatatlanul végtelenbe nyúlnak. Hiszen a különféle számtípusok közül egyedül a transzcendens számokból van megszámlálhatatlanul végtelen sok, mert mint a természetes számokból, mind pedig az irracionális számokból megszámlálhatóan végtelenül sok van. Ahogy pedig a fentiekből az kiderül a megszámlálhatatlanul végtelent a körhöz, a kört pedig a Pí-hez kötöttük, és érdekes módon maga a Pí is transzcendens szám, ahogy azt a matematikusok már bebizonyították.
A robbantott számokat az úgynevezett Euler -féle számokkal állítják elő, amelynek első néhány szánjegye 2,71828182845904523536. Az Euler -féle számok természetét pedig jól mutatja egyik megtalálójának a skót Napiernek a munkássága, akinek a munkája annak a mozgásnak a közelítő leírásából származik, amikor valaki egy d hosszúságú úton halad úgy, hogy sebességének mérőszáma minden pillanatban megegyezik a hátralevő út hosszával. Itt tehát a személy sebessége és a célig hátralévő út kölcsönösen akadályozzák egymást, hogy a személy elérje a célját. Ha a sebesség növekszik, akkor a hátralévő út megtartja hosszát, hogy megakadályozza a sebesség növekedésének kiteljesedését, ha a hátralévő út csökken, akkor a vele párhuzamosan a sebesség is elkezd csökkenni, hogy megakadályozza a hátralévő út teljes elfogyását, és ahogy a két változó egymást akadályozza, az a végtelenbe konvergál, a személy mindig csak közelítheti, de soha nem érheti el az áhított célt.
Vajon melyik fent már említett számcsoport tulajdonságaira emlékeztet ez a jelenség? Nyilvánvalóan az irracionális számokéra, amiről fent már leírtuk, hogy egy végtelenül kicsi érték körül ingadozva közelítenek ehhez a végtelenül kicsi értékhez, ahol az irracionális szám végtelenbe nyúló tizedes törtjeinek számjegyei egymást gátolva, hol jobbról, hol balról közelítik ezt a végtelenül kicsi értéket, de soha nem érhetik el. Ezt fejezi ki az Euler -féle szám képlete is:
Ahol az (1 + 1 / n) képletben az (n) növekedésével párhuzamosan az eredmény nyilvánvalóan mindig csökken, viszont ha az egészet (n) hatványra emeljük, akkor az az eredmény növekedését fogja előidézni, és így a függvényben a végeredmény csökkenése és növekedése folyamatosan gátolják egymást a végtelenségig. Az Euler -féle szám tulajdonságai tehát lényegében másolják az irracionális számok tulajdonságait. Van azonban még egy tulajdonsága az Euler -féle számnak, mégpedig hogy transzcendens. Tehát az Euler -féle szám nemcsak, hogy az irracionális számok mintájára közelíti, de el is éri a transzcendens számok végtelenül kicsi értékét. Így az Euler -féle szám lényegében az irracionális számok és a transzcendens számok szintézisének tekinthető, ahol az irracionális számok meghatározott érték körüli végtelen ingadozását a transzcendens számok önmagukat mindig felülmúló automatizmusa hatja át, vagy akár szét is robbantja a robbantott számok mintájára, ami azt jelenti, hogy mivel az irracionális, vagy természetes számot az önmagát felülmúló transzcendens számok hatják át, az a transzcendens számok hatására túlhaladja önmagát. Ez lényegében a robbantott számok filozófiájának a lényege. A robbantott számokkal egy Dr. Szalay István nevű magyar egyetemi tanár foglalkozik a szegedi egyetemen, és azért fontos a tudomány számára, mert olyan háromdimenziós térbeli alakzatokat hozhatunk létre velük, amelyek szó szerint kinyúlnak a háromdimenziós térből a negyedik dimenzióba, vagyis a fent már említett módon túlhaladják önmagukat, amit jól mutat a következő ábra is:
A robbantott számok tehát mintegy kinyúlnak a háromdimenziós térből, mert egyfajta önmagukat meghaladó, önmagukon túlnyúló jelleget hordoznak magukban, így egyértelműen a háromnál több dimenziós tereknek feleltethetőek meg, amelyek mint ahogy azt leírtuk egyszerre végesek és végtelenek, akárcsak az általunk ismert háromdimenziós tér végtelen megjelenési formájának végtelenbe nyúló két iránya, amit akkor kapunk, ha azt a közepén elvágjuk. Aki pedig dolgozott már Fibonacci számokkal, vagy magasabb rendű Fibonacci számokkal az tudhatja, hogy a robbantott számokhoz hasonlóan ezeknek is egyfajta kirobbanó, a végtelenen is túlnyúló jelleget tulajdoníthatunk, hiszen az egymást követő számok folyamatos egymáshoz adódása kirobbanóan magas számértékeket eredményez, és ez a sorozat is, mint minden sorozat a végtelenbe nyúlik. Így a Fibonacci számok is kapcsolatba hozhatóan a robbantott számok példáján keresztül a háromnál több dimenziós terekkel, amelyek pedig a háromdimenziós tér két végtelenbe nyúló irányával. A végtelen háromdimenziós térről pedig megállapítottuk, hogy az nem más, mint az égbetörő gótikus katedrálisok, vagyis a középkori építészet ősmintája, ahogyan azt is, hogy a Fibonacci számok felfűzhetőek egy végtelen családfára, amelyek pedig a természeti táj élő rendszerének térbeli szerkezetét mintázzák, és ezzel bezárult a kör.
A középkori építészet ősmintáját szolgáló végtelen háromdimenziós tér szerkezetében mintegy jelen van a háromnál több dimenziós terek szerkezete, hiszen ha középen elvágjuk, akkor a két végtelenbe nyúló iránya egyszerre véges és végtelen akárcsak a négy vagy annál többdimenziós tér szerkezete. A Fibonacci és a magasabb rendű Fibonacci számok pedig akárcsak a robbantott számok kinyúlnak a háromdimenziós térből a négydimenziós térbe, és felfűzhetők egy végtelen családfára, ami meg a természeti táj térszerkezetének az ősmintája. Így mind a természeti táj, mind pedig a középkori építészet térbeli ősmintái a háromnál több dimenziós terek szerkezetét hordozzák magukban, és így már egyértelmű, hogy miért tudnak organikusan egymásra épülni.
Felhasznált irodalom:
Wikipédia: Fibonacci-számok https://hu.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-sz%C3%A1mok
Németh László nyugalmazott vízügyi mérnök Hidrológia és genealógia: vízrendszerek és családfarendszerek összehasonlító vizsgálata című előadása
Turay Alfréd: - Kozmológiai antropológia – A katolikus hittudományi főiskolák jegyzetei, Magánkiadás, Szeged, 1987. http://mek.oszk.hu/08700/08794/html/index.htm
Aquinói Szent Tamás: A világ örökkévalóságáról, Jószöveg Műhely Kiadó, 1998.
Cullmann, Oscar: Krisztus és az idő - Az őskeresztény idő- és történelemszemlélet, Hermeneutikai Kutatóközpont, 2000.
John D. Barrow: 100 alapvető dolog a matematikáról és a művészetről amiről nem tudjuk, hogy nem tudjuk Akkord Kiadó Kft., 2014.
Maurice Maeterlinck: A tér élete, Révai Irodalmi Intézet, Budapest.
Giczi András Béla: Az osztályozás és a káoszelmélet, Könyvtári Figyelő, 50. évfolyam, 2004. 1. szám.
Egyetemes Guiness Enciklopédia. Pannon Könyvkiadó, 1992. 68-69. o
Az avantgard és a végtelenedik dimenzió című cikk fórumhozzászólásai http://tárogatóhangján.hu/plugins/forum/forum_viewtopic.php?454
Fritjof Capra: A fizika taója, TERICUM KIADÓ KFT., 1998. 101-147. o
Ungváry Rudolf–Orbán Éva: OSZTÁLYOZÁS ÉS INFORMÁCIÓKERESÉS Kommentált szöveggyûjtemény Elsõ kötet: Az osztályozás és elmélete, Országos Széchényi Könyvtár, Budapest, 2001. http://mek.oszk.hu/01600/01683/pdf/01683-1.pdf 123. o
Telcs Máté László: Térmetszetek (A tér fogalmának bővítése tört dimenziókkal s egyuttal némely geometria fogalom új definitiója), Szeged, 1921. 3-11. o
Péter Rózsa: Játék a végtelennel, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 209-219. o
Nicolaus Cusanus: A tudós tudatlanság, Kairosz Kiadó. 15-17. o
Nyíri Kristóf: Az osztrák emberkép: Konzervatív elmélet Hofbauertól Hayekig In: Nyíri Kristóf: Európa szélén, Budapest, 1986.
F. A. Hayek: A végzetes önhittség, a szocializmus tévedései
F. A. Hayek: A végzetes önhittség (A szocializmus tévedései), Tankönyvkiadó, 1992.
Káprázatos matematikai alakzatokat fedeztek fel http://www.origo.hu/tudomany/20100103-mandelbulb-matematika-a-mandelbrot-halmaz-terbeli-megfeleloje.html
Wikipédia: Hugh Everett https://hu.wikipedia.org/wiki/Hugh_Everett
Gyakori kérdések: Van valami összefüggés a pi és a káoszelmélet között? http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomanyok__4871590-van-valami-osszefugges-a-pi-es-a-kaoszelmelet-kozott
László Németh, László Szalay: Coincidences in numbers of graph vertices corresponding to regular planar hyperbolic mosaics Annales Mathematicae et Informaticae 43 (2014) pp. 113–121 http://ami.ektf.hu
Rene Guenon: The metaphysical principles of the Infinitessimal Calculus, Sophia Perennis. https://arcaneknowledgeofthedeep.files.wordpress.com/2014/02/guenonmetaphysicalprinciplesinfinitesimalcalculus.pdf
Dr. Konkoly-Gyuró Éva ,,Táj, szakralitás, zarándoklás" című előadása
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése