Techno realizmus: Pick & Multiply: Ein gewinnbringendes Lotteriespiel, das auf probabilistischen Multiplikatorsystemen basiert

Pick & Multiply: Ein gewinnbringendes Lotteriespiel, das auf probabilistischen Multiplikatorsystemen basiert

(Ferenc Lengyel)

(Oktober, 2024)

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.10095.65442

Abstrakt:

Mit diesem Patent wird "Pick & Multiply" eingeführt, ein neuartiges lotteriebasiertes Glücksspiel, das den Spielern fesselnde und aufregende Erlebnisse bietet und gleichzeitig die Rentabilität von Glücksspielbetreibern wie der ungarischen staatlichen Glücksspielgesellschaft sicherstellt. Dieses Spiel kombiniert Elemente der traditionellen Lotteriemechanik mit einem einzigartigen probabilistischen Multiplikatorsystem und erhöht die Spannung der Spieler, indem es variable Auszahlungsskalen ermöglicht. Das Spiel besteht darin, dass die Spieler vier Zahlen aus einem Pool von 50 auswählen, gefolgt von einer Ziehung von vier Gewinnzahlen und der Hinzufügung eines zufälligen Multiplikators (von 1 bis 5) zum Jackpot-Preis.

Diese Erfindung nutzt die mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie und Erwartungswertberechnungen, um eine Auszahlungsstruktur zu schaffen, die signifikante Gewinnchancen mit einem bedienerfreundlichen Ertragsmodell in Einklang bringt. Es beschreibt die detaillierte Wahrscheinlichkeit verschiedener Gewinnkombinationen und enthält ein zufälliges Multiplikatorsystem, um das Engagement der Spieler zu erhöhen. Die Rentabilität des Spieldesigns wird zusätzlich durch präzise Erwartungswertberechnungen und Ticketpreisstrategien sichergestellt. Das Patent befasst sich auch mit potenziellen Varianten des Spiels, einschließlich Änderungen am Zahlenpool, den Multiplikatoren und der Häufigkeit der Ziehungen, um die Marktflexibilität zu gewährleisten.

Dieses Dokument enthält detaillierte Formeln, mathematische Modelle und Simulations-Frameworks, die für die Spieloptimierung erforderlich sind, sowie visuelle Hilfsmittel wie Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramme und Auszahlungsstrukturdiagramme. Es richtet sich sowohl an Fachleute in der Glücksspielbranche als auch an interessierte Laien und bietet sowohl technische Tiefe als auch praktische Einblicke.

Inhaltsverzeichnis:

Einleitung 1.1. Hintergrund von Lotteriespielen1.2. Marktpotenzial für Lotterieinnovationen1.3. Ziele von "Pick & Multiply"
Spieldesign 2.1. Mechanismus zur Spielerauswahl2.2. Zufällige Ziehungsmechaniken2.3. Übersicht über das Multiplikatorsystem
Mathematische Grundlagen 3.1. Gesamtzahl der Kombinationen für die Spielerauswahl3.2. Wahrscheinlichkeitsberechnungen für übereinstimmende Zahlen3.3. Multiplikator-Wahrscheinlichkeitsverteilung
Auszahlungsstruktur 4.1. Gestaltung der Preisverteilung4.2. Beziehung zwischen Spielwahrscheinlichkeit und Gewinnhöhe4.3. Auswirkungen von Multiplikatoren auf Auszahlungen
Ergebnisrechnung 5.1. Berechnung des Erwartungswerts für Jackpot-Preise5.2. Berechnung des Erwartungswerts für Teilübereinstimmungen5.3. Abwägung des Ticketpreises mit den erwarteten Auszahlungen
Simulationen und Optimierung 6.1. Simulation von Spielergewinnen6.2. Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten für die Rentabilität6.3. Feinabstimmung der Ticketpreise auf die Marktbedingungen
Spielvarianten 7.1. Ändern des Nummernpools7.2. Alternative Multiplikatorsysteme7.3. Häufigkeit von Ziehungen und Spielzyklen
Visuelle Hilfsmittel und grafische Darstellungen 8.1. Wahrscheinlichkeitsverteilungs-Diagramme8.2. Diagramme zur Auszahlungsstruktur8.3. Visualisierungen von Erwartungswertkurven
Details zur Implementierung 9.1. Algorithmus für die Zahlenziehung und Gewinnverteilung9.2. Code für Simulation und Spielanalyse9.3. Integration in bestehende Lotteriesysteme
Schlußfolgerung 10.1. Zusammenfassung von Spieldesign und Rentabilität10.2. Zukünftige Anwendungen und Markterweiterung
Referenzen und Bibliographie

Jeder dieser Abschnitte dient als detaillierter Leitfaden im Patentdokument und erläutert die zugrunde liegenden Mechanismen, mathematischen Modelle und technischen Aspekte des Spiels. Die Balance zwischen theoretischer Tiefe und praktischer Umsetzung wird sicherstellen, dass das Patent sowohl eine technische Blaupause als auch eine fesselnde Lektüre für Branchenprofis ist.

1. Einleitung

Die Lotteriebranche ist seit langem ein Eckpfeiler sowohl der Unterhaltung als auch der Umsatzgenerierung in verschiedenen globalen Märkten. Moderne Lotteriespiele basieren auf probabilistischen Mechanismen, die die Begeisterung für die Spieler mit der Rentabilität für die Betreiber in Einklang bringen. In diesem Abschnitt wird das Konzept der "Pick & Multiply"-Lotterie vorgestellt, indem es in die breitere Geschichte der Lotteriespiele eingeordnet wird.

1.1. Hintergrund von Lotteriespielen

Lotterien sind eine der ältesten Formen des organisierten Glücksspiels, die bis in die alten Zivilisationen zurückreicht. Frühe Lotterien wurden als eine Form der Staatseinnahmen und der bürgerlichen Finanzierung genutzt, z. B. zur Finanzierung großer öffentlicher Projekte wie dem Bau der Chinesischen Mauer oder römischen öffentlichen Gebäuden. Im Laufe der Jahrhunderte entwickelten sich Lotterien zu staatlich kontrollierten Spielsystemen, die in erster Linie für wohltätige Zwecke, die Infrastruktur und schließlich als eine Form der Unterhaltung genutzt wurden.

Das Grundprinzip der Lotteriespiele ist weitgehend unverändert geblieben: Die Spieler kaufen Lose und wählen Zahlen aus, in der Hoffnung, eine zufällig gezogene Reihe von Gewinnzahlen zu treffen. Die Höhe der Preise ist direkt proportional zur Schwierigkeit, die gezogenen Zahlen zu treffen. Während die frühen Lotterien grundlegende Systeme der Zahlenziehung beinhalteten, sind die heutigen Lotteriesysteme komplexer und beinhalten verschiedene mathematische Werkzeuge, um Fairness, Transparenz und Spannung zu gewährleisten.

Schlüsselelemente moderner Lotteriespiele:

Zahlenauswahl: Die Spieler wählen Zahlen aus einem definierten Bereich, der je nach Spieldesign typischerweise von 1 bis 50, 1 bis 60 oder anderen Limits reicht. Je größer der Bereich, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, alle Gewinnzahlen richtig zu erraten.
Zufällige Ziehung: Ein zufälliges Auswahlverfahren bestimmt die Gewinnzahlen, entweder durch mechanische Kugelmaschinen oder digitale Zufallszahlengeneratoren (RNGs), um unverzerrte Ergebnisse zu gewährleisten.
Preisstruktur: Moderne Lotterien sind mit gestaffelten Preisstrukturen konzipiert, bei denen weniger richtige Zahlen immer noch kleinere Belohnungen bringen, während eine vollständige Übereinstimmung zu einem Jackpot führt. Dies gewährleistet ein kontinuierliches Engagement der Spieler.
Aufteilung der Einnahmen: Lotterien widmen in der Regel einen Prozentsatz der Einnahmen dem öffentlichen Wohlergehen, was die Attraktivität des Lotteriesystems für die breite Öffentlichkeit erhöht. So finanzieren staatliche Lotterien häufig Bildungs-, Gesundheits- und öffentliche Infrastrukturprojekte.

Mathematische Grundlagen in Lotteriespielen

Der Erfolg von Lotteriespielen hängt weitgehend davon ab, dass sie probabilistische und kombinatorische Mathematik verwenden, um Risiko und Ertrag auszugleichen. Die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen wird mithilfe der Kombinatorik berechnet, die die Anzahl der Möglichkeiten bestimmt, wie Spieler Zahlen aus einem bestimmten Pool auswählen können. Dies beeinflusst sowohl die Preisstruktur als auch die Ticketpreise und ermöglicht eine langfristige Rentabilität.

Betrachten wir ein gängiges Lotteriemodell, bei dem die Spieler 6 Zahlen aus einem Pool von 49 auswählen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen ergibt sich aus dem Binomialkoeffizienten:

(496)=49×48×47×46×45×446×5×4×3×2×1=13.983.816\binom{49}{6} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13.983.816(649)=6×5×4×3×2×149×48×47×46×45×44=13.983.816

Diese Formel erklärt, warum die Chancen, den Jackpot zu gewinnen, extrem niedrig sind (etwa 1 zu 14 Millionen), was es rechtfertigt, eine große Auszahlung für ein komplettes Spiel anzubieten. In ähnlicher Weise werden Wahrscheinlichkeiten für Teilübereinstimmungen berechnet (z. B. 5, 4 oder 3 richtige Zahlen), was zu kleineren Preisen führt.

1.1.1 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie in der Lotterieplanung

Das Verständnis der Kombinatorik ist entscheidend für die Gestaltung von Lotterien. Im Wesentlichen wird die Kombinatorik verwendet, um die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse zu berechnen, wenn die Spieler eine Reihe von Zahlen auswählen. Für einen Spieler, der KKK-Zahlen aus einem Pool von nnn auswählt, ergibt sich die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, wie folgt:

(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}(kn)=k! (n−k)!n!

Wo:

nnn ist die Gesamtzahl der verfügbaren Zahlen (z. B. 50 in "Pick & Multiply"),
kkk ist die Anzahl der Zahlen, die der Spieler auswählt (z. B. 4 Zahlen in "Pick & Multiply"),
!!! bezeichnet die Fakultät, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zur Zahl ist.

Bei "Pick & Multiply" wählt der Spieler beispielsweise 4 Zahlen aus einem Pool von 50 aus, so dass die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen beträgt:

(504)=50×49×48×474×3×2×1=230.300\binom{50}{4} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 230,300(450)=4×3×2×150×49×48×47=230,300

Dies bildet die Grundlage für Wahrscheinlichkeitsberechnungen für einen Gewinn, bei denen die Chancen, alle 4 Zahlen zu treffen, 1230.300\frac{1}{230.300}230.3001 betragen.

Die Rolle des Erwartungswerts im Spieldesign

Ein Schlüsselkonzept bei Lotteriespielen ist der Erwartungswert (EV), der die durchschnittliche Auszahlung pro Los darstellt, wenn das Spiel viele Male wiederholt wird. Der Erwartungswert wird wie folgt berechnet:

EV=∑iP(i)×Preis(i)EV = \sum_{i} P(i) \times \text{Preis}(i)EV=i∑P(i)×Preis(i)

Dabei ist P(i)P(i)P(i) die Wahrscheinlichkeit, Ergebnis iii zu gewinnen, und Preis(i)\text{Preis}(i)Preis(i) ist die Auszahlung für Ergebnis iii. Um die Rentabilität zu gewährleisten, muss der Ticketpreis höher angesetzt werden als der EV des Spiels.

1.1.2 Die Entwicklung der Lotteriespiele

Im Laufe der Zeit haben sich Lotteriespiele weiterentwickelt und enthalten komplexere Funktionen wie Bonusbälle, progressive Jackpots und Multiplikatormechanismen. Jede dieser Funktionen sorgt für zusätzliche Spannung, indem sie die Anzahl der potenziellen Gewinnkombinationen oder die Höhe der Auszahlungen erhöht.

Die Einführung von Multiplikatoren, wie beim Spiel "Pick & Multiply", ist eine moderne Innovation, die sich als sehr effektiv erwiesen hat. Ein Multiplikatorsystem erhöht die Auszahlungen, während die Wahrscheinlichkeiten für höhere Multiplikatoren niedrig bleiben. Dies erhöht die Variabilität des Spielerlebnisses und sorgt dafür, dass sich jedes Spiel einzigartig anfühlt.

Historische Beispiele von Lotterien

La Lotería Nacional (Spanien) ist eines der ältesten Lotteriesysteme der Welt und stammt aus dem 18. Jahrhundert. Sie ist auch heute noch eine staatliche Lotterie.
Die Powerball-Lotterie (USA) ist eine der größten Lotterien in mehreren Bundesstaaten mit Preispools von Hunderten von Millionen Dollar. Powerball verfügt über Bonusmultiplikatoren, die Elemente des Spiels "Pick & Multiply" inspiriert haben.

1.1.3. Technologische Fortschritte bei Lotteriesystemen

Mit dem Aufkommen digitaler Zufallszahlengeneratoren (RNGs) sorgen Lotterien nun dafür, dass die Ziehungsprozesse völlig transparent und sicher sind. RNGs nutzen Pseudozufallsalgorithmen, die jedes Mal eine neue Zahlenfolge generieren und so für Fairness sorgen. Die Blockchain-Technologie wurde auch erforscht, um die Transparenz in Lotteriesystemen zu erhöhen, indem jede Ziehung und jedes Ergebnis in einem dezentralen, unveränderlichen Hauptbuch aufgezeichnet wird.

Die Zukunft des Lotteriespiels liegt darin, diese technologischen Fortschritte mit innovativen Spielmechaniken zu verbinden, wie z.B. dem multiplikatorbasierten Modell, das in "Pick & Multiply" verwendet wird. Dieses Spiel nutzt sowohl die Fairness traditioneller Lotterien als auch die Spannung, die durch neue probabilistische Mechaniken erzeugt wird.

Dieser Abschnitt vermittelt ein fundiertes Verständnis der Geschichte der Lotteriespiele, der Prinzipien und der Frage, wie "Pick & Multiply" in die Entwicklung dieser Spiele passt. Zukünftige Kapitel werden sich mit der Mechanik und Mathematik des Spiels befassen und auf diesem Hintergrund aufbauen.

1. Einleitung

1.2. Marktpotenzial für Lotterieinnovationen

Lotteriespiele haben sich im Laufe der Jahre erheblich weiterentwickelt, angetrieben durch technologische Fortschritte, sich ändernde Spielerpräferenzen und die Notwendigkeit für die Betreiber, die Rentabilität in einem zunehmend wettbewerbsintensiven Markt aufrechtzuerhalten. In diesem Abschnitt wird das Marktpotenzial für Innovationen wie "Pick & Multiply" untersucht, wobei sowohl die Nachfrageseite (Akteure) als auch die Angebotsseite (Betreiber und regulatorische Rahmenbedingungen) im Vordergrund stehen.

1.2.1. Der globale Lotteriemarkt

Der globale Lotteriemarkt ist eine Multi-Milliarden-Dollar-Industrie. Im Jahr 2022 überstiegen die weltweiten Lotterieumsätze 300 Milliarden US-Dollar, wobei ein erheblicher Teil dieser Einnahmen aus staatlichen Lotterien stammte. Die anhaltende Beliebtheit von Lotteriespielen ist auf ihre Einfachheit, breite Zugänglichkeit und das Potenzial für große Auszahlungen zurückzuführen. Darüber hinaus werden Lotterien als eine sozial akzeptable Form des Glücksspiels wahrgenommen, die im Vergleich zu anderen Glücksspielformaten wie Casinos oder Sportwetten oft als eine Form der Unterhaltung mit minimalem Risiko angesehen wird.

Marktaufschlüsselung nach Regionen

Nordamerika: Mit großen Lotteriebetreibern wie Powerball und Mega Millions stellt Nordamerika einen großen Anteil am globalen Lotteriemarkt dar. Jüngste Trends zeigen ein wachsendes Interesse an Innovationen wie multiplikatorbasierten Spielen und progressiven Jackpots.
Europa: In europäischen Ländern wie Großbritannien, Italien und Spanien gibt es staatliche Lotterien, die erheblich zum Gemeinwohl beitragen. Innovationen im Bereich des mobilen Lotteriespiels und der digitalen Plattformen haben hier ein erhebliches Wachstum erlebt.
Asien-Pazifik: China und Japan sind wichtige Märkte in Asien, da ihre staatlichen Lotterien zur Finanzierung von Infrastrukturprojekten genutzt werden. Die Nachfrage nach mobilfreundlichen Lotterieoptionen steigt, und der Markt zeigt Interesse an Spielen, die den Zufall mit zusätzlichen Funktionen wie Multiplikatoren und Bonusziehungen kombinieren.

Abbildung 1.1: Regionale Aufteilung des globalen Lotteriemarktes

csharp

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Fügen Sie ein Tortendiagramm oder Balkendiagramm ein, das die Verteilung der Lotterieeinnahmen nach Regionen zeigt und die größten Märkte und ihre jeweiligen Anteile im Jahr 2022 hervorhebt.

1.2.2. Markttreiber für Lotterieinnovationen

In einem gesättigten Markt müssen Lotteriebetreiber ständig innovativ sein, um Spieler zu binden und neue Teilnehmer zu gewinnen. Mehrere Faktoren treiben den Bedarf an neuen Spieldesigns voran, wie z. B. "Pick & Multiply".

1.2.2.1. Spielerbindung und -bindung

Die größte Herausforderung für Lotteriebetreiber besteht darin, die Spieler im Laufe der Zeit bei der Stange zu halten. Traditionelle Lotteriespiele sind zwar beliebt, können sich aber wiederholen, was zu einer Ermüdung der Spieler führt. Spiele, die neue Mechaniken einführen, wie z. B. Multiplikatorsysteme, erhöhen die Spannung und Variabilität der Ergebnisse. Dies fördert das wiederholte Spielen, da sich jede Ziehung anders anfühlt als die letzte.

1.2.2.2. Digitaler Wandel

Das Aufkommen mobiler Apps und digitaler Plattformen für Lotteriespiele hat die Spielerbasis dramatisch erweitert. Online-Plattformen ermöglichen eine schnellere und häufigere Teilnahme an Spielen und ermöglichen es den Betreibern, komplexe Funktionen wie dynamische Multiplikatoren und Echtzeit-Preisaktualisierungen einzuführen. "Pick & Multiply" kann so konzipiert werden, dass es sich nahtlos in digitale Plattformen integrieren lässt und sofortige Ergebnisse, Animationen und verbesserte Benutzererlebnisse bietet.

Abbildung 1.2: Wachstum der Nutzer mobiler Lotterien (2015–2023)

VBNet

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Fügen Sie ein Liniendiagramm ein, das das Wachstum der Nutzer mobiler Lotterien weltweit von 2015 bis 2023 zeigt. Hervorzuheben ist die rasante Zunahme des mobilen Spielens in Schlüsselregionen wie Nordamerika und Europa.

1.2.2.3. Regulatorische Flexibilität

Lotterieinnovationen müssen mit den lokalen Glücksspielvorschriften übereinstimmen, aber es gibt eine erhebliche Flexibilität bei der Strukturierung von Lotterien, insbesondere wenn sie das öffentliche Wohl unterstützen sollen. Multiplikatorbasierte Spiele wie "Pick & Multiply" können regulatorische Anforderungen erfüllen, indem sie Transparenz und Fairness bei ihren zufälligen Ziehungsprozessen gewährleisten und gleichzeitig neuartige Mechanismen bieten, die Spieler anziehen, ohne die regulatorischen Ziele zu untergraben.

Tabelle 1.1: Regulatorische Überlegungen für multiplikatorbasierte Lotteriespiele in den wichtigsten Märkten

Region	Regulierungsbehörde	Zulässige Funktionen	Besondere Anforderungen
Nordamerika	Staatliche Lotteriekommissionen	Multiplikatoren, Bonusziehungen	Transparenz in RNG-Prozessen, gemeinnützige Zuweisung
Europa	Nationale Lotteriebehörden	Multiplikatorsysteme, Sofortgewinne	Soziale Verantwortung und Altersüberprüfung
Asien-Pazifik	Staatliche Lotterien	Digitale Multiplikator-Mechanismen	Integration in die Systeme der öffentlichen Wohlfahrt

1.2.3. Rentabilität durch Innovation

Innovationen im Lotteriedesign binden nicht nur die Spieler ein, sondern steigern auch die Rentabilität der Betreiber. Die Rentabilität von "Pick & Multiply" kann durch Erwartungswertberechnungen und langfristige Umsatzprognosen analysiert werden.

1.2.3.1. Rentabilität durch höhere Ticketverkäufe

Die Einführung innovativer Funktionen wie des zufälligen Multiplikatorsystems fördert höhere Teilnahmequoten. Die Spieler werden von der Möglichkeit angezogen, einen multiplizierten Jackpot zu gewinnen, auch wenn ihre Chancen, den Basispreis zu gewinnen, gleich bleiben. Durch die Festlegung angemessener Ticketpreise und die Sicherstellung, dass die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten sorgfältig verwaltet werden, können die Betreiber ihre Einnahmen steigern und gleichzeitig die Rentabilität aufrechterhalten.

Der Erwartungswert (EV) eines Tickets in "Pick & Multiply" kann wie folgt berechnet werden:

EV=∑i=1kP(i)×Preis(i)×E(Multiplikator)EV = \sum_{i=1}^{k} P(i) \times \text{Preis}(i) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator})EV=i=1∑kP(i)×Preis(i)×E(Multiplikator)

Wo:

P(i)P(i)P(i) ist die Wahrscheinlichkeit jeder Gewinnklasse (z. B. 4 richtige Zahlen, 3 richtige Zahlen),
Preis(i)\text{Preis}(i)Preis(i) ist die Auszahlung für diese Stufe,
E(Multiplikator)\mathbb{E}(\text{Multiplikator})E(Multiplikator) ist der Erwartungswert des Multiplikators (berechnet aus der Verteilung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten).

Abbildung 1.3: Wahrscheinlichkeitsverteilung von Multiplikatoren in "Pick & Multiply"

SQL

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Fügen Sie ein Balkendiagramm ein, das die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Multiplikatoren (1x, 2x, 3x, 4x, 5x) mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten anzeigt (z. B. 0,40 für 1x, 0,30 für 2x usw.).

1.2.3.2. Langfristige Wirtschaftlichkeitsanalyse

Eine Simulation der Rentabilität des Spiels im Zeitverlauf kann mit einer Monte-Carlo-Methode durchgeführt werden, die auf der Grundlage der definierten Wahrscheinlichkeiten mehrere Szenarien von Spielergebnissen generiert. Durch die Simulation einer großen Anzahl von Ziehungen können wir den durchschnittlichen Umsatz pro Spielzyklus berechnen, wobei sowohl die Ticketverkäufe als auch die Auszahlungen berücksichtigt werden.

In Wolfram Language kann dies mit dem folgenden Code erreicht werden, um 100.000 Ziehungen zu simulieren:

Wolfram

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(* Definieren Sie die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und die Auszahlungsstruktur *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

Auszahlungen = {100000, 10000, 1000}; (* Jeweils 4, 3, 2 Richtige *)

(* Funktion zur Simulation eines einzelnen Spiels *)

simulateGame[] := Modul[{matchNumbers, Preis, Multiplikator},

matchNumbers = RandomInteger[{1, 3}]; (* Simulieren, wie viele Zahlen übereinstimmen *)

Preis = Auszahlungen[[matchNumbers]];

multiplier = RandomChoice[multiplierProbabilities -> Multiplikatoren];

Preis * Multiplikator

];

(* Simulieren Sie 100.000 Ziehungen und berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn *)

simulationen = Tabelle[simulateGame[], {100000}];

averageProfit = Mittelwert[Simulationen]

Diese Simulation ermöglicht es den Betreibern, die durchschnittliche Auszahlung pro Spiel zu schätzen und die Ticketpreise entsprechend anzupassen.

1.2.4. Schlussfolgerung: Nutzung der Marktchance

Die Lotteriebranche ist reif für Innovationen. Funktionen wie Multiplikatorsysteme können traditionelle Spiele in ansprechendere und profitablere Erlebnisse verwandeln. "Pick & Multiply" zielt sowohl auf die Begeisterung der Spieler als auch auf die Rentabilität der Betreiber ab, indem Spielmechanik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Technologieintegration sorgfältig aufeinander abgestimmt werden.

In diesem Abschnitt wird das enorme Marktpotenzial für Lotterieinnovationen wie "Pick & Multiply" dargelegt und die Relevanz in einer dynamischen und profitablen Spiellandschaft untermauert.

1. Einleitung

1.3. Ziele von "Pick & Multiply"

Das Hauptziel des Lotteriespiels "Pick & Multiply" ist es, traditionelle Lotterieelemente mit innovativen Multiplikatormechanismen zu kombinieren, um ein dynamisches und fesselndes Erlebnis für die Spieler zu schaffen und gleichzeitig Rentabilität und Skalierbarkeit für die Betreiber zu gewährleisten. In diesem Abschnitt skizzieren wir die spezifischen Ziele sowohl aus der Perspektive des Spielers als auch aus der Sicht des Betreibers.

1.3.1. Spielerzentrierte Ziele

Das Design von "Pick & Multiply" basiert auf der Maximierung des Spielerengagements und der Zufriedenheit durch die Einführung von Variabilität bei den potenziellen Belohnungen. Das Spiel zielt darauf ab, eine breite Spielerbasis zu gewinnen, darunter sowohl gelegentliche Lotterieteilnehmer als auch regelmäßige Spieler, die nach Spannung und Belohnungsmöglichkeiten suchen. Zu den wichtigsten zielen, die auf die Spieler ausgerichtet sind, gehören:

1.3.1.1. Steigern Sie die Spannung der Spieler

Traditionelle Lotteriespiele können eintönig werden, da die Spieler oft mit hohen Chancen konfrontiert sind, bedeutende Preise zu gewinnen. "Pick & Multiply" versucht, dies zu beheben, indem es eine zufällige Multiplikatorfunktion einführt, die die Spannung mit jeder Ziehung verstärkt. Nachdem ein Spieler 4 Zahlen ausgewählt hat, wird nicht nur festgestellt, ob die Zahlen richtig sind, sondern auch ein zufälliger Multiplikator (zwischen 1x und 5x) zum potenziellen Preis hinzugefügt.

Die Variabilität des Multiplikators erhöht die potenzielle Auszahlung und das emotionale Engagement des Spielers, da jede Multiplikator-Ziehung eine zusätzliche Ebene der Vorfreude einführt.

1.3.1.2. Erhöhen Sie die Gewinnchancen

Ein weiteres Ziel ist es, sicherzustellen, dass die Spieler das Gefühl haben, dass sie auf verschiedenen Ebenen eine faire Chance auf einen Gewinn haben. Das Spieldesign beinhaltet kleinere Preise für teilweise übereinstimmende Zahlen, die mit dem Zufallsmultiplikator multipliziert werden können. Diese gestaffelte Preisstruktur ermöglicht es mehr Spielern, seltener niedrigere Preise zu gewinnen, was dazu beiträgt, das Interesse der Spieler aufrechtzuerhalten und eine wiederholte Teilnahme zu fördern.

Die Wahrscheinlichkeiten, verschiedene Gewinnklassen zu gewinnen, können mit dem folgenden mathematischen Modell angepasst werden:

P(Gewinnstufe)=(n−km)(nk)P(\text{Gewinnstufe}) = \frac{\binom{n-k}{m}}{\binom{n}{k}}P(Gewinnstufe)=(kn)(mn−k)

Wo:

nnn ist die Gesamtzahl der verfügbaren Nummern (in diesem Fall 50),
kkk ist die Anzahl der gezogenen Zahlen (4 in "Pick & Multiply"),
mmm ist die Anzahl der übereinstimmenden Zahlen,
(nk)\binom{n}{k}(kn) stellt die Anzahl der Möglichkeiten dar, KKK-Elemente aus einem Satz von NNN auszuwählen.

Dies stellt sicher, dass die Chancen auf kleinere Auszahlungen günstig genug sind, um die Spieler bei der Stange zu halten, während die Gesamtstruktur die Spannung durch seltene, aber größere Gewinne unterstützt.

1.3.1.3. Für Transparenz und Fairness sorgen

In der aktuellen Gaming-Umgebung ist Transparenz entscheidend, um Vertrauen bei den Spielern aufzubauen. Die Zufallsmultiplikator-Funktion in "Pick & Multiply" ist so konzipiert, dass sie auf einer fairen und transparenten Basis mit Hilfe von Zufallszahlengeneratoren (RNGs) funktioniert. Um Fairness zu gewährleisten, werden die Wahrscheinlichkeiten, die jedem Multiplikator zugewiesen sind, im Voraus offengelegt, wobei höhere Multiplikatoren seltener sind als niedrigere. Dies spiegelt sich in der folgenden Verteilung der Multiplikatoren wider:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\mal \\ \end{Fälle}P(Multiplikator)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Diese Struktur sorgt für Fairness und stärkt das Vertrauen der Spieler in die Integrität des Spiels.

1.3.2. Bedienerzentrierte Ziele

Aus Sicht des Betreibers ist "Pick & Multiply" darauf ausgelegt, eine langfristige Rentabilität zu gewährleisten und gleichzeitig ein verantwortungsvolles und nachhaltiges Spielmodell beizubehalten. Die Ziele für die Betreiber konzentrieren sich auf die Generierung von Einnahmen, die Skalierbarkeit von Spielen und die Einhaltung lokaler regulatorischer Rahmenbedingungen.

1.3.2.1. Rentabilität sicherstellen

Der Erfolg eines Lotteriespiels hängt stark von seiner Fähigkeit ab, nachhaltige Einnahmen zu generieren und gleichzeitig attraktive Preise anzubieten. Der Erwartungswert (EV) des Spiels, der sich aus den Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse und der Preisstruktur ergibt, muss niedriger sein als der Lospreis, um die Rentabilität des Betreibers zu gewährleisten. Der EV für jede Ziehung in "Pick & Multiply" wird wie folgt berechnet:

EV=∑i=1kP(i)×Preis(i)×E(Multiplikator)EV = \sum_{i=1}^{k} P(i) \times \text{Preis}(i) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator})EV=i=1∑kP(i)×Preis(i)×E(Multiplikator)

Wo:

P(i)P(i)P(i) steht für die Wahrscheinlichkeit jeder Gewinnklasse (4, 3, 2 richtige Zahlen),
Preis(i)\text{Preis}(i)Preis(i) ist die Auszahlung für diese Stufe,
E(Multiplikator)\mathbb{E}(\text{Multiplikator})E(Multiplikator) ist der erwartete Wert des Multiplikators.

Unter Berücksichtigung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten:

E(Multiplikator)=1×0,40+2×0,30+3×0,15+4×0,10+5×0,05=2,15\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = 1 \mal 0,40 + 2 \mal 0,30 + 3 \mal 0,15 + 4 \mal 0,10 + 5 \mal 0,05 = 2,15E(Multiplikator)=1×0,40+2×0,30+3×0,15+4×0,10+5×0,05=2,15

Der durchschnittliche Multiplikator, der auf jeden Preis angewendet wird, beträgt 2,15 und wird in die erwartete Gesamtauszahlung für das Spiel eingerechnet. Der Ticketpreis kann dann etwas höher als die erwartete Auszahlung angesetzt werden, um die Rentabilität zu gewährleisten. Wenn der EV der Auszahlung beispielsweise 150 HUF beträgt, würde ein Ticketpreis von 300 HUF eine langfristige Rentabilität garantieren.

1.3.2.2. Wiederholtes Spielen fördern

Um die Bindung der Spieler über einen längeren Zeitraum aufrechtzuerhalten, enthält "Pick & Multiply" mehrere Funktionen, die zur wiederholten Teilnahme anregen. Die Variabilität, die durch das Multiplikatorsystem eingeführt wird, sorgt dafür, dass jede Ziehung spannend bleibt, da die Spieler sich der endgültigen Auszahlung nie sicher sind, bis sowohl die Gewinnzahlen als auch der Multiplikator aufgedeckt werden. Darüber hinaus ermutigt die Möglichkeit, kleinere Preise mit Teilübereinstimmungen zu gewinnen, die Spieler, ihr Glück in den folgenden Runden weiter zu versuchen.

1.3.2.3. Skalierbarkeit über Märkte hinweg ermöglichen

Ein weiteres wichtiges Ziel ist die Skalierbarkeit von "Pick & Multiply" über verschiedene Märkte hinweg. Das Design des Spiels ermöglicht eine einfache Anpassung an die lokalen Vorschriften und Spielerpräferenzen. So können beispielsweise der Zahlenpool (50 Zahlen) und der Bereich der Multiplikatoren (1x bis 5x) geändert werden, um regionalen Präferenzen oder regulatorischen Einschränkungen gerecht zu werden.

Das Spiel kann auch an verschiedene Ticketpreise und Preisstrukturen angepasst werden, um den Anforderungen verschiedener Märkte gerecht zu werden. Zum Beispiel könnte in Märkten mit hohen Einsätzen der Multiplikatorbereich erweitert werden (z. B. 1x bis 10x), während in konservativeren Märkten die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten angepasst werden könnten, um kleinere, aber häufigere Auszahlungen anzubieten.

1.3.3. Innovation im Design von Lotteriespielen

Die Einführung eines Multiplikatorsystems in "Pick & Multiply" stellt eine wesentliche Neuerung in der Gestaltung von Lotteriespielen dar. Diese Funktion baut auf der traditionellen Lotteriemechanik auf, indem sie eine neue Dimension der Spannung hinzufügt, ohne die Komplexität des Spiels für die Spieler zu erhöhen. Aus gestalterischer Sicht führt der Multiplikator Folgendes ein:

Erhöhte Variabilität der Ergebnisse: Durch das Hinzufügen eines dynamischen Elements zur Preisstruktur fühlt sich das Spiel in jeder Spielsitzung frisch und fesselnd an.
Strategisches Rentabilitätsmanagement: Die Betreiber können die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Multiplikatoren anpassen, um die erwartete Auszahlung und die Rentabilitätsmargen des Spiels effektiv zu verwalten.

1.3.3.1. Entwurf des Multiplikatorsystems

Um die Innovation des Multiplikatorsystems zu veranschaulichen, betrachten Sie die folgende Wahrscheinlichkeitsmatrix für Gewinnauszahlungen, bei der der Gewinn für 4 übereinstimmende Zahlen 100.000 HUF, 3 Zahlen 10.000 HUF und 2 Zahlen 1.000 HUF beträgt:

MatchBase-Preis (HUF)MultiplikatorAuszahlung (HUF)4 Zahlen100,0005×500.0003 Zahlen10.0003×30.0002 Zahlen1.0002×2.000\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Match} & \text{Basispreis (HUF)} & \text{Multiplikator} & \text{Auszahlung (HUF)} \\ \hline 4 \text{ Zahlen} & 100.000 & 5\times & 500.000 \\ 3 \text{ Zahlen} & 10.000 & 3\times & 30.000 \\ 2 \text{ Zahlen} & 1.000 & 2\times & 2.000 \\ \hline \end{array}Match4 Zahlen3 Zahlen2 ZahlenGrundpreis (HUF)100.00010.0001.000Multiplikator5×3×2×Auszahlung (HUF)500.00030.0002.000

Das Multiplikatorsystem kann so eingestellt werden, dass es die Auszahlung für verschiedene Gewinnstufen variiert und das Betreiberrisiko verwaltet, um sicherzustellen, dass hohe Auszahlungen selten bleiben, während das Interesse der Spieler erhalten bleibt.

Abbildung 1.4: Flussdiagramm der multiplikatorbasierten Preisberechnung

css

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Fügen Sie ein Flussdiagramm ein, das die Schritte von der Zahlenauswahl bis zur Preisauszahlung veranschaulicht, einschließlich der zufälligen Ziehung und des Multiplikatoranwendungsprozesses.

Dieser Abschnitt legt die Kernziele von "Pick & Multiply" fest und bietet einen detaillierten Rahmen für das Design, die Rentabilität und die Spielerbindung. Der nächste Abschnitt befasst sich mit dem Spieldesign selbst und erklärt, wie der Spieler mit dem System interagiert und welche Mechanismen hinter der Zahlenauswahl und der Ziehungsprozesse stehen.

2. Spieldesign

2.1. Mechanismus zur Spielerauswahl

Der Spielerauswahlmechanismus ist eine der wichtigsten Komponenten eines jeden Lotteriespiels und bestimmt sowohl das Engagement der Spieler als auch die mathematischen Grundlagen des Spiels. Bei "Pick & Multiply" ist der Auswahlmechanismus intuitiv gestaltet, um eine einfache Teilnahme zu gewährleisten und gleichzeitig reichhaltige wahrscheinlichkeitsbasierte Ergebnisse zu ermöglichen.

2.1.1. Grundlegende Nummernauswahl

Bei "Pick & Multiply" müssen die Spieler vier Zahlen aus einem Pool von 50 Zahlen auswählen. Das einfache Format, bei dem vier Zahlen ausgewählt werden, ermöglicht es den Spielern, sich schnell mit dem Spiel zu beschäftigen und gleichzeitig die Spielregeln für Anfänger leicht verständlich zu machen.

Der Auswahlprozess lässt sich wie folgt beschreiben:

Pool of Numbers: Der Spieler wählt vier verschiedene Zahlen aus einem Satz von 50 (nummeriert von 1 bis 50).
Zufälligkeit der Auswahl: Der Spieler kann diese Zahlen entweder manuell auswählen oder eine automatische "Quick Pick"-Option verwenden, bei der das System zufällig vier Zahlen für den Spieler generiert.

Mathematisch ergibt sich die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen, die ein Spieler wählen kann, aus dem Binomialkoeffizienten:

(504)=50!4! (50−4)!=50×49×48×474×3×2×1=230.300\binom{50}{4} = \frac{50!}{4! (50-4)!} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 230,300(450)=4! (50−4)!50!=4×3×2×150×49×48×47=230.300

Dies bedeutet, dass ein Spieler 230.300 verschiedene Möglichkeiten hat, vier Zahlen aus einem Pool von 50 auszuwählen. Diese große Anzahl möglicher Kombinationen sorgt dafür, dass das Spiel herausfordernd bleibt und dass bedeutende Preise (z. B. alle vier Zahlen übereinstimmen) selten genug bleiben, um aufregende Belohnungen zu bieten.

2.1.1.1. Beispiel für die Spielerauswahl

Angenommen, ein Spieler wählt die Zahlen 7, 14, 23 und 42. Das Spiel vergleicht dann die vom Spieler ausgewählten Zahlen mit den in der Lotterie gezogenen Zahlen. Je nachdem, wie viele Zahlen übereinstimmen, gewinnt der Spieler entweder einen Preis oder macht ohne Gewinn weiter.

2.1.2. Verbesserung des Spielerlebnisses mit "Quick Pick"

Die "Quick Pick" -Funktion ist besonders wichtig für Gelegenheitsspieler, die es vorziehen, ihre Zahlen nicht manuell auszuwählen. Diese automatische Auswahlfunktion verwendet einen Zufallszahlengenerator (RNG), um schnell und fair vier verschiedene Zahlen aus dem Pool von 50 zu generieren. Der RNG wird gesetzt, um sicherzustellen, dass die Zahlen ohne vorhersehbare Muster gezogen werden, um die Fairness aller Ziehungen zu wahren.

2.1.2.1. Zufallszahlengenerator (RNG) für "Quick Pick"

Der RNG-Algorithmus kann in der Wolfram Language wie folgt implementiert werden:

Wolfram

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(* Quick Pick RNG zur Auswahl von vier verschiedenen Zahlen von 1 bis 50 *)

quickPick[] := RandomSample[Bereich[1, 50], 4]

(* Beispielausgabe von Quick Pick *)

quickPick[]

Diese Funktion wählt nach dem Zufallsprinzip vier Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 50 aus. Die RandomSample-Funktion stellt sicher, dass dieselbe Zahl nicht mehr als einmal ausgewählt wird, und simuliert die manuelle Auswahl unterschiedlicher Zahlen.

2.1.2.2. Benutzeroberfläche für die schnelle Auswahl der Auswahl

Die Benutzeroberfläche (UI) für Quick Pick sollte einfach gestaltet sein, damit die Spieler ihre Zahlen schnell mit einem einzigen Klick generieren können. Sobald die Zahlen generiert sind, haben die Spieler die Möglichkeit, ihre Auswahl zu bestätigen oder einen anderen zufälligen Satz zu generieren. Diese Flexibilität verbessert die Benutzererfahrung, indem sie sowohl Autonomie als auch Komfort bietet.

2.1.3. Strategische Zahlenauswahl

Während Quick Pick Gelegenheitsspieler anspricht, ziehen es strategische Spieler vor, ihre eigenen Zahlen auf der Grundlage persönlicher Vorlieben, Aberglauben oder Strategien auszuwählen. Während die Ergebnisse in Lotteriespielen von Natur aus zufällig sind, fügt die Freiheit der Spieler, ihre Zahlen auszuwählen, dem Spiel ein psychologisches Element der Kontrolle und Personalisierung hinzu.

Die Spieler wenden oft verschiedene Auswahlstrategien an, wie zum Beispiel:

Auswahl von Geburtstagen oder Jubiläen (Zahlen zwischen 1 und 31),
Fokussierung auf hohe Zahlen (z. B. Zahlen zwischen 40 und 50),
Mit Lieblings- oder "Glückszahlen".

Diese Strategien ändern zwar nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit, aber sie geben den Spielern ein Gefühl des Engagements und der Eigenverantwortung für ihren Auswahlprozess.

2.1.3.1. Strategische Selektion und ihre Auswirkungen auf das Spieldesign

Die Möglichkeit, dass die Spieler ihre Zahlen frei wählen können, stellt sicher, dass jede Ziehung eine große Vielfalt an Spielerauswahlen hervorruft, wodurch eine Häufung um bestimmte Zahlen verhindert wird. Dies ist wichtig, um die Zufälligkeit zu erhalten und eine Vorhersehbarkeit der Spielergebnisse zu vermeiden.

Darüber hinaus kann die statistische Analyse der Spielerauswahl dem Betreiber Erkenntnisse liefern, um das Spielerverhalten besser zu verstehen. Wenn Sie beispielsweise die Häufigkeit der Zahlenauswahl analysieren, können Sie Trends aufzeigen, z. B. dass Spieler Zahlen von 1 bis 31 (was Kalendertagen entspricht) bevorzugen oder Vielfache von 7 auswählen (in einigen Kulturen als Glück angesehen).

2.1.4. Spielbalance und Wahrscheinlichkeitsmanagement

Die Auswahl von vier Zahlen aus einem Pool von 50 wurde sorgfältig ausgewählt, um ein Gleichgewicht zwischen der Zugänglichkeit des Spielers und der Rentabilität des Spiels zu finden. Durch die Begrenzung der Anzahl der ausgewählten Zahlen auf vier bietet "Pick & Multiply" ein Gleichgewicht zwischen relativ häufigen Gewinnen mit niedriger Stufe (z. B. 2 oder 3 richtige Zahlen) und schwieriger zu erzielenden Gewinnen mit hoher Stufe (alle 4 Zahlen übereinstimmen). Dieses Gleichgewicht ist entscheidend, um sowohl das Interesse der Spieler als auch die Rentabilität der Betreiber aufrechtzuerhalten.

2.1.4.1. Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen

Die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedene Zahlen übereinstimmen, wird mit Hilfe der Kombinatorik berechnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Zahlen übereinstimmen, ergibt sich beispielsweise durch:

P(Übereinstimmung 4)=1(504)=1230,300P(\text{Übereinstimmung 4}) = \frac{1}{\binom{50}{4}} = \frac{1}{230,300}P(Übereinstimmung 4)=(450)1=230,3001

In ähnlicher Weise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass drei der vier ausgewählten Zahlen übereinstimmen:

P(Treffer 3)=(43)×(461)(504)=4×46230,300=184230,300≈0,000799P(\text{Treffer 3}) = \frac{\binom{4}{3} \times \binom{46}{1}}{\binom{50}{4}} = \frac{4 \times 46}{230,300} = \frac{184}{230,300} \approx 0,000799P(Treffer 3)=(450)(34)×(146)=230,3004×46=230,300184≈0,000799

Diese Berechnungen zeigen, dass das Spiel so strukturiert ist, dass es häufiger kleinere Gewinne liefert, während die größten Preise selten sind, was sowohl Spannung als auch Nachhaltigkeit schafft.

2.1.4.2. Benutzerfeedback und dynamische Anpassungen

Die Möglichkeit, zu überwachen, wie sich die Spieler an der Nummernauswahl beteiligen, ermöglicht es den Betreibern, dynamische Anpassungen vorzunehmen. Wenn zum Beispiel ein erheblicher Teil der Spieler konsequent die Quick Pick-Option verwendet, könnte der Betreiber Werbefunktionen einführen, die Anreize für die manuelle Auswahl bieten, wie z. B. Boni für die Auswahl bestimmter "heißer" Zahlen.

2.1.5. Integration der Spielerauswahl in digitale Plattformen

Mit der zunehmenden Verlagerung hin zu digitalen Lotterieplattformen kann der Spielerauswahlmechanismus nahtlos in mobile Apps und Websites integriert werden. Das Design der Benutzeroberfläche für mobile Geräte sollte es den Spielern ermöglichen, ihre Zahlen einfach über ein tippbasiertes System auszuwählen, während gleichzeitig die Quick Pick-Funktion als Standard- oder sekundäre Option angeboten wird.

2.1.5.1. Integration der digitalen Lotterie

Die Spieler können ihre bevorzugten Zahlenkombinationen speichern, frühere Auswahlen verfolgen und Statistiken zu vergangenen Spielergebnissen anzeigen, um dem digitalen Erlebnis mehr Tiefe zu verleihen. Darüber hinaus können Betreiber durch die Integration von Cloud-basierten Technologien Spielerpräferenzen und Auswahlmuster speichern, was personalisiertes Marketing und Werbeaktionen ermöglicht.

Wolfram

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(* Cloud-basierter Speicher für die Auswahl der Lieblingsnummern des Spielers *)

favoriteNumbers = {"Spieler1" -> {7, 14, 23, 42}, "Spieler2" -> {3, 15, 28, 37}}

(* Abrufen von Lieblingszahlen für einen Spieler *)

favoriteNumbers["Spieler1"]

Dies ermöglicht es den Spielern, schnell auf ihre vorherige Zahlenauswahl für zukünftige Spiele zuzugreifen, was die Teilnahme schneller und persönlicher macht.

2.1.6. Schlussfolgerung

Der Spielerauswahlmechanismus in "Pick & Multiply" bietet ein zugängliches und fesselndes Erlebnis, das sowohl Gelegenheitsspieler als auch strategische Spieler anspricht. Durch die Kombination von Einfachheit und Flexibilität fördert der Auswahlmechanismus ein breites Spektrum an Spielerverhaltensweisen und bewahrt gleichzeitig die Integrität und Fairness des Spiels. Unabhängig davon, ob die Spieler die Leichtigkeit einer Schnellauswahl oder die Strategie der manuellen Auswahl bevorzugen, ist der Mechanismus so konzipiert, dass er die Teilnahme verbessert und ein konsistentes, angenehmes Erlebnis für alle Spieler gewährleistet.

Abbildung 2.1: Flussdiagramm des Spielerauswahlprozesses

css

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Fügen Sie ein Flussdiagramm ein, das den Weg des Spielers von der Zahlenauswahl bis zur Bestätigung visualisiert, einschließlich manueller Auswahl und Quick-Pick-Optionen.

In diesem Kapitel wurde der Spielerauswahlmechanismus als Kernkomponente des Spiels "Pick & Multiply" ausführlich beschrieben . Der nächste Abschnitt befasst sich mit den Mechanismen der zufälligen Ziehung, die für Fairness und Spannung des Spiels sorgen.

2. Spieldesign

2.2. Mechanik der zufälligen Ziehung

Die zufällige Ziehungsmechanik ist das Rückgrat eines jeden Lotteriesystems, da sie Fairness und Unvorhersehbarkeit bei der Bestimmung der Gewinnergebnisse gewährleistet. Im Spiel "Pick & Multiply" ist die Zufallsziehung so konzipiert, dass sie sicher, transparent und mathematisch fundiert ist, wobei ein robustes Zufallszahlengenerierungssystem (RNG) zum Einsatz kommt. In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie die Mechanismus der zufälligen Ziehung sowohl in physischen als auch in digitalen Implementierungen funktioniert und welche Algorithmen unvoreingenommene Ergebnisse gewährleisten.

2.2.1. Ziehen der Gewinnzahlen

Bei "Pick & Multiply" werden vier Zahlen aus einem Pool von 50 gezogen. Der Zufallsziehungsprozess kann entweder mit einer mechanischen Ziehungsmaschine (in physischen Lotterie-Setups) oder einem digitalen RNG (in Online- oder Hybrid-Lotterien) durchgeführt werden. Beide Methoden haben ihre eigenen Anforderungen, um Fairness zu gewährleisten.

2.2.1.1. Mechanisches Ziehverfahren

In einer physischen Lotterie kann eine traditionelle mechanische Kugelmaschine verwendet werden, um die Gewinnzahlen zu ziehen. Dies beinhaltet:

Eine Maschine mit 50 nummerierten Kugeln, die mit Luft oder mechanischem Rühren gemischt werden.
Die Kugeln werden nacheinander gezogen, bis vier einzigartige Zahlen ausgewählt sind.
Der Prozess wird überwacht und oft live übertragen, um Transparenz zu gewährleisten.

Der Hauptvorteil mechanischer Ziehungen ist ihre greifbare und sichtbare Zufälligkeit, die dazu beiträgt, das Vertrauen der Spieler aufzubauen. Um jedoch Transparenz und Fairness zu wahren, müssen strenge Protokolle eingehalten werden, einschließlich regelmäßiger Tests der Maschinen, um sicherzustellen, dass keine externen Faktoren die Ergebnisse beeinflussen.

2.2.1.2. Digitaler RNG-basierter Ziehungsprozess

Auf digitalen Plattformen werden Zufallszahlengeneratoren (RNGs) verwendet, um die Zahlen zu ziehen. RNGs sind so konzipiert, dass sie wirklich zufällige Ergebnisse generieren und sicherstellen, dass jede Zahl im Pool die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden. Der Prozess ist wie folgt:

Der RNG generiert einen Satz von vier eindeutigen Zahlen zwischen 1 und 50.
Diese Zahlen werden überprüft, um sicherzustellen, dass sie sich innerhalb der Ziehung nicht wiederholen.

Der für RNG verwendete Algorithmus muss zertifiziert und streng getestet werden, um Fairness zu gewährleisten. Im digitalen Kontext bieten RNGs eine höhere Effizienz und ermöglichen schnellere und häufigere Ziehungen.

2.2.1.3. Umsetzung des RNG

Der RNG für die Zufallsziehung kann mit der Wolfram Language implementiert werden, um eine gleichmäßige Verteilung über den gesamten Zahlenpool zu gewährleisten. Hier ist ein Beispiel für den Wolfram Language-Code, der das Ziehen von vier Zahlen aus 50 mit einem RNG simuliert:

Wolfram

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(* Generieren Sie 4 einzigartige Zufallszahlen aus einem Pool von 50 *)

drawWinningNumbers[] := RandomSample[Bereich[1, 50], 4]

(* Beispiel Auslosung *)

winningNumbers = drawWinningNumbers[]

Diese Funktion stellt sicher, dass die Zahlen nach dem Zufallsprinzip gezogen werden, und die Verwendung von RandomSample garantiert, dass keine Zahl mehr als einmal ausgewählt wird. Jede Zahl wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen, um die Fairness der Ziehung zu wahren.

2.2.2. Gewährleistung von Zufälligkeit und Fairness

Um Zufälligkeit und Fairness im Ziehungsprozess zu gewährleisten, wird eine statistische Analyse auf die Ergebnisse der zufälligen Ziehungen im Laufe der Zeit angewendet. Die Betreiber müssen ihre RNG-Systeme oder mechanischen Ziehungsprozesse regelmäßig testen und validieren, um sicherzustellen, dass die gezogenen Zahlen keine Muster oder Verzerrungen aufweisen.

2.2.2.1. Zufälligkeitstests für RNGs

Es gibt mehrere statistische Tests, die verwendet werden, um sicherzustellen, dass RNGs echte Zufallszahlen generieren. Dazu gehören:

Chi-Quadrat-Test: Dieser Test stellt sicher, dass die Häufigkeit jeder gezogenen Zahl gleichmäßig über die Zeit verteilt ist.
Kolmogorov-Smirnov-Test: Dieser Test vergleicht die Verteilung der generierten Zahlen mit einer gleichmäßigen Verteilung, um nach Abweichungen zu suchen.
Runs-Test: Dieser prüft das Vorkommen von Sequenzen oder "Runs" in den generierten Zahlen, um sicherzustellen, dass keine unbeabsichtigten Muster vorhanden sind.

Eine Wolfram Language-Funktion zur Anwendung des Chi-Quadrat-Tests zur Validierung der Zufälligkeit könnte wie folgt aussehen:

Wolfram

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(* Mehrere Ziehungen simulieren, um die Zufälligkeit zu testen *)

simulateDraws[n_] := Tabelle[drawWinningNumbers[], {n}];

(* Alle gezogenen Zahlen glätten und ihre Häufigkeiten zählen *)

testData = Flatten[simulateDraws[10000]];

numberFrequencies = Zählung[TestDaten];

(* Chi-Quadrat-Test durchführen *)

expectedFrequency = 10000 * 4 / 50; (* Erwartete Häufigkeit pro Nummer *)

chiSquareTest = ChiSquareTest[numberFrequencies[[Alle, 2]], ConstantArray[erwartete Frequenz, 50]]

Dieser Code simuliert 10.000 Ziehungen, zählt die Häufigkeit jeder Zahl und wendet einen Chi-Quadrat-Test an, um zu überprüfen, ob die Verteilung mit der erwarteten gleichmäßigen Verteilung übereinstimmt. Ein hoher ppp-Wert im Chi-Quadrat-Test deutet darauf hin, dass der Ziehungsprozess fair und zufällig ist.

2.2.2.2. Transparenz für Spieler

Um das Vertrauen weiter aufzubauen, können die Betreiber detaillierte Informationen über die Funktionsweise des RNG veröffentlichen und die Ergebnisse von Zufallstests den Spielern zur Verfügung stellen. Einige digitale Lotterien ermöglichen es den Spielern sogar, den Ziehungsprozess live zu verfolgen oder frühere Ziehungsdaten zu sehen, was die Transparenz erhöht.

2.2.3. Häufigkeit und Zeitpunkt der Ziehungen

Die Häufigkeit der Ziehungen in "Pick & Multiply" ist flexibel und kann je nach Marktnachfrage angepasst werden. Zu den üblichen Ziehungsplänen gehören:

Tägliche Ziehungen: Beliebt für Spiele, die ein hohes Engagement und eine häufige Beteiligung der Spieler aufrechterhalten möchten.
Wöchentliche Ziehungen: Geeignet für größere Jackpots und Spiele, bei denen die Vorfreude über mehrere Tage steigt.

2.2.3.1. Einfluss der Ziehungshäufigkeit auf das Engagement der Spieler

Die Häufigkeit der Ziehungen hat einen direkten Einfluss auf das Engagement der Spieler und die Rentabilität der Betreiber. Tägliche Ziehungen ziehen tendenziell Gelegenheitsspieler an, während wöchentliche Ziehungen oft diejenigen ansprechen, die größere Jackpots suchen. Das Design des Spiels lässt beide Optionen zu, und die Betreiber können die optimale Frequenz basierend auf dem Spielerverhalten und den Marktpräferenzen auswählen.

2.2.3.2. Planung von Ziehungen mit globaler Beteiligung

In einer digitalen Lotterieumgebung, in der Spieler aus mehreren Zeitzonen teilnehmen können, ist es wichtig, die Ziehungen zu Zeiten zu planen, die die Teilnahme maximieren. Zum Beispiel sind die Hauptabendstunden oder Wochenenden ideal für große Märkte, während automatisierte digitale Plattformen häufige Ziehungen mit minimalem Betriebsaufwand ermöglichen können.

2.2.4. Mechanismus der Multiplikatorziehung

Nachdem die Zahlen gezogen wurden, sorgt "Pick & Multiply" mit der Multiplikatorziehung für zusätzliche Spannung. Dieser Multiplikator wird auf alle gewonnenen Preise angewendet und erhöht die potenzielle Auszahlung für die Spieler. Die Multiplikatorziehung funktioniert wie folgt:

Nachdem die Gewinnzahlen gezogen wurden, wählt das System nach dem Zufallsprinzip einen Multiplikatorwert aus einem vordefinierten Satz (1x bis 5x) aus.
Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Multiplikatorwert sind vordefiniert, wobei höhere Multiplikatoren seltener sind.

Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Multiplikator könnten wie folgt aussehen:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Diese Wahrscheinlichkeiten stellen sicher, dass die Spieler zwar häufig kleinere Multiplikatoren erhalten, das Potenzial für größere Multiplikatoren jedoch ein Element der Unvorhersehbarkeit und Spannung hinzufügt.

2.2.4.1. RNG für die Multiplikatorziehung

Der für die Multiplikatorziehung verwendete RNG kann ähnlich wie der RNG der Zahlenziehung implementiert werden, um sicherzustellen, dass der Multiplikator fair und zufällig ausgewählt wird. Hier ist ein Beispiel für eine Implementierung in Wolfram Language:

Wolfram

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(* Definieren Sie die Multiplikatoren und deren Wahrscheinlichkeiten *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Funktion zum Ziehen eines zufälligen Multiplikators *)

drawMultiplier[] := RandomChoice[multiplierProbabilities -> Multiplikatoren]

(* Beispiel für eine Multiplikator-Ziehung *)

multiplierDraw = drawMultiplier[]

Diese Funktion simuliert die zufällige Ziehung eines Multiplikators, wobei jeder Multiplikator eine vordefinierte Wahrscheinlichkeit hat, ausgewählt zu werden. Die RandomChoice-Funktion stellt sicher, dass die Ziehung den eingestellten Wahrscheinlichkeiten entspricht.

2.2.5. Sicherheit und Einhaltung gesetzlicher Vorschriften

Sowohl die Zahlenziehung als auch die Multiplikatorziehung müssen den gesetzlichen Standards entsprechen, um die Integrität des Spiels zu gewährleisten. Dies beinhaltet:

Zertifizierung der RNG-Algorithmen durch unabhängige Prüflabore,
Regelmäßige Überprüfung des Ziehungsprozesses, um auf Anomalien zu prüfen,
Bereitstellung von Aufzeichnungen über vergangene Ziehungen an Aufsichtsbehörden zur Überprüfung.

Die Betreiber müssen außerdem Verschlüsselung und sichere Server verwenden, um Manipulationen an den digitalen Ziehungsprozessen zu verhindern.

2.2.6. Schlussfolgerung

Die Zufallsziehungsmechanik in "Pick & Multiply" sorgt für Fairness, Spannung und Transparenz. Unabhängig davon, ob es sich um ein physisches oder digitales Ziehungsverfahren handelt, garantiert das Spiel, dass jede Zahl und jeder Multiplikator zufällig ausgewählt wird, sodass alle Teilnehmer die gleichen Gewinnchancen haben. Die Kombination aus traditionellen Zahlenziehungen und einem zusätzlichen Multiplikator verleiht dem Spiel eine neue Dimension, so dass es für die Spieler fesselnd und für die Betreiber profitabel bleibt.

Abbildung 2.2: Flussdiagramm der Zufallszahlen- und Multiplikatorziehung

css

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Fügen Sie ein Flussdiagramm ein, das den Prozess von der Zufallszahlenziehung bis zur Multiplikatorziehung veranschaulicht und zeigt, wie die beiden Phasen kombiniert werden, um das Endergebnis zu bestimmen.

In diesem Abschnitt wurde die Mechanik des zufälligen Ziehens beschrieben, die für "Pick & Multiply" unerlässlich ist. Der nächste Abschnitt befasst sich mit der Übersicht über das Multiplikatorsystem, in der detailliert beschrieben wird, wie Multiplikatoren auf Gewinne angewendet werden und welche Mathematik hinter ihrer Verteilung steht. Möchten Sie mit diesem Kapitel fortfahren oder eines

2. Spieldesign

2.2. Mechanik der zufälligen Ziehung

Die zufällige Ziehungsmechanik eines Lotteriespiels sorgt für Fairness, Transparenz und Unvorhersehbarkeit, die für die Aufrechterhaltung des Vertrauens und des Engagements der Spieler von entscheidender Bedeutung sind. Bei "Pick & Multiply" umfasst die Zufallsziehungsmechanik nicht nur die Auswahl der Gewinnzahlen, sondern auch die zufällige Anwendung eines Multiplikators, um den Gewinnwert zu erhöhen. In diesem Abschnitt werden die Mechanismen beschrieben, die bei der Durchführung der Ziehung, der Sicherstellung der Randomisierung und der Anwendung des Multiplikators zur Bestimmung der endgültigen Auszahlung erforderlich sind.

2.2.1. Der Ziehungsprozess

Bei "Pick & Multiply" besteht der Ziehungsvorgang darin, vier Zahlen aus dem verfügbaren Pool von 50 Zahlen auszuwählen. Diese Zahlen werden nach dem Zufallsprinzip gezogen, und die Zufälligkeit des Prozesses ist wichtig, um Fairness zu gewährleisten und die Integrität des Spiels zu wahren. Zu den Schritten, die an der Ziehung beteiligt sind, gehören:

Zahlenpool: Das Lotteriesystem beginnt mit der Vorbereitung eines Pools von 50 Zahlen (von 1 bis 50).
Zufällige Auswahl: Vier verschiedene Zahlen werden nach dem Zufallsprinzip aus diesem Pool ausgewählt. Dieser Prozess kann entweder mit einer mechanischen Kugelmaschine oder einem digitalen Zufallszahlengenerator (RNG) durchgeführt werden.
Aufzeichnung der Ergebnisse: Die vier gezogenen Zahlen werden aufgezeichnet und mit den Auswahlen der Spieler verglichen, um die Gewinner zu ermitteln.

2.2.1.1. Mechanischer Zugmechanismus

In traditionellen Lotterien wird die Zufallsziehung oft mit mechanischen Systemen durchgeführt, bei denen nummerierte Kugeln in einem transparenten Behälter gemischt werden und dann jeweils eine Kugel gezogen wird. Die mechanische Ziehung ist aufgrund ihrer visuellen Transparenz und physikalischen Zufälligkeit beliebt. Mit dem Aufkommen digitaler Plattformen sind RNG-basierte Systeme jedoch immer häufiger anzutreffen.

Mechanischer Ziehprozess:

Die 50 Kugeln, die jeweils mit einer eindeutigen Nummer beschriftet sind, werden in eine Mischtrommel gelegt.
Die Trommel wird gedreht, um sicherzustellen, dass die Kugeln gründlich gemischt werden.
Vier Kugeln werden nach dem Zufallsprinzip aus der Trommel gezogen, eine nach der anderen, ohne Ersatz.

Die Reihenfolge der gezogenen Zahlen spielt bei "Pick & Multiply" keine Rolle, so dass alle Zahlen zu jedem Zeitpunkt die gleiche Chance haben, gezogen zu werden.

2.2.1.2. Digitale RNG-basierte Ziehung

Bei digitalen Plattformen wird ein Zufallszahlengenerator (RNG) verwendet, um die Gewinnzahlen auszuwählen. RNGs beruhen auf komplexen Algorithmen, um Zahlenfolgen zu erzeugen, die echte Zufälligkeit simulieren. Der Vorteil von RNGs besteht darin, dass sie auf riesige Online-Plattformen skaliert werden können und Tausende von Ziehungen mit dem gleichen Maß an Zuverlässigkeit bewältigen können.

Der RNG-Prozess kann in den folgenden Schritten implementiert werden:

Initialisierung: Der RNG-Algorithmus wird geseedet, in der Regel unter Verwendung einer Quelle mit hoher Entropie, wie z. B. der Systemuhr oder externer physikalischer Phänomene.
Zufallszahlengenerierung: Der RNG wählt vier verschiedene Zahlen aus dem Pool von 50 aus. Diese Zahlen werden ersatzlos gezogen, um sicherzustellen, dass keine Zahl mehr als einmal ausgewählt wird.
Ausgabe: Die ausgewählten Zahlen werden als Gewinnsatz ausgegeben.

In Wolfram Language kann der RNG-Ziehungsprozess wie folgt simuliert werden:

Wolfram

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(* RNG-basierte Zufallsziehung von vier Zahlen von 1 bis 50 *)

drawNumbers[] := RandomSample[Bereich[1, 50], 4]

(* Zufällige Ziehung simulieren *)

drawNumbers[]

Diese Funktion generiert einen Satz von vier eindeutigen Zahlen aus dem Pool von 50. Die Verwendung der RandomSample-Funktion garantiert, dass jede Zahl nur einmal ausgewählt wird, wodurch die Fairness der Ziehung gewährleistet wird.

2.2.2. Zufälligkeit und Fairness bei der Auslosung

Die Gewährleistung von Fairness bei der Ziehung der Lotterie ist entscheidend für das Vertrauen der Spieler. Jede wahrgenommene Voreingenommenheit oder Manipulation kann schnell das Vertrauen in das System untergraben. Aus diesem Grund müssen RNGs und mechanische Ziehungen strengen Tests und Audits unterzogen werden, um sicherzustellen, dass die Zahlen wirklich zufällig und nicht vorhersehbar sind.

Um Fairness zu demonstrieren, führen Betreiber häufig Zufallstests durch und veröffentlichen diese, wie z. B.:

Chi-Quadrat-Test für Gleichverteilung: Dieser Test prüft, ob die im Laufe der Zeit gezogenen Zahlen einer Gleichverteilung folgen, was bedeutet, dass jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden.
Kolmogorov-Smirnov-Test: Dieser statistische Test vergleicht die Verteilung der gezogenen Zahlen mit der erwarteten gleichmäßigen Verteilung, um eine signifikante Abweichung zu erkennen.

Für einen schnellen Test der Fairness mit der Wolfram Language können wir mehrere Ziehungen simulieren und die Häufigkeitsverteilung überprüfen:

Wolfram

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(* Simulieren Sie 10.000 zufällige Ziehungen und zählen Sie die Häufigkeit jeder Zahl *)

drawSimulation = Flatten[Tabelle[drawNumbers[], {10000}]];

frequencyCount = Zählung[drawSimulation];

ListPlot[SortBy[frequencyCount, Last], PlotLabel -> "Häufigkeitsverteilung der gezeichneten Zahlen"]

Dieser Code simuliert 10.000 Ziehungen, zählt dann die Häufigkeit, mit der jede Zahl erscheint, und stellt die Verteilung dar. Das Diagramm sollte eine ungefähr gleichmäßige Verteilung aufweisen, wenn der Ziehungsprozess fair ist.

2.2.3. Anwendung des Multiplikators

Das Besondere an "Pick & Multiply" ist die Hinzufügung eines zufälligen Multiplikators, nachdem die Gewinnzahlen gezogen wurden. Dieser Multiplikator erhöht die Auszahlung für gewinnende Spieler und verleiht dem Spiel eine zusätzliche Ebene der Spannung. Der Multiplikator wird wie folgt angewendet:

Multiplikatorbereich: Die Multiplikatorwerte reichen von 1x bis 5x.
Zufällige Multiplikatorauswahl: Nachdem die Gewinnzahlen gezogen wurden, wird ein Multiplikator nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeiten, die jedem Multiplikator zugewiesen sind, sind wie folgt:

Die Auswahl des Multiplikators kann auch über einen RNG gesteuert werden, um sicherzustellen, dass der Multiplikator fair und unvoreingenommen angewendet wird.

2.2.3.1. RNG für die Auswahl des Multiplikators

Der Auswahlprozess für Multiplikatoren wird in der Wolfram Language mit dem folgenden Code modelliert:

Wolfram

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(* Definieren Sie Multiplikatoren und deren Wahrscheinlichkeiten *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Funktion zur Auswahl eines zufälligen Multiplikators basierend auf Wahrscheinlichkeiten *)

selectMultiplier[] := RandomChoice[multiplierProbabilities -> Multiplikatoren]

(* Beispiel für die Auswahl eines zufälligen Multiplikators *)

auswählenMultiplikator[]

Dieser Code stellt sicher, dass die Multiplikatoren gemäß den definierten Wahrscheinlichkeiten angewendet werden, wobei sowohl die Fairness als auch die Zufälligkeit im Prozess erhalten bleiben.

2.2.4. Visualisierung des Ziehungs- und Multiplikatorprozesses

Um den Spielern zu helfen, die Zufälligkeit und Fairness des Ziehungsprozesses zu verstehen, kann das Spiel eine visuelle Darstellung der Ziehung enthalten, insbesondere in digitalen Formaten. Eine Schritt-für-Schritt-Animation kann zeigen, wie die Zahlen gezogen werden, gefolgt von der zufälligen Auswahl des Multiplikators. Dieses visuelle Feedback verbessert die Transparenz und das Engagement der Spieler.

Abbildung 2.1: Flussdiagramm des Zufallsziehungsprozesses in "Pick & Multiply"

Abschlag

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Fügen Sie ein Flussdiagramm ein, das die Abfolge der Ereignisse anzeigt:

1. Der Spieler wählt Zahlen aus

2. Das System führt eine zufällige Entnahme durch (mechanisch oder RNG)

3. Das System wählt den zufälligen Multiplikator aus

4. Der Preis wird auf der Grundlage der übereinstimmenden Zahlen und des angewendeten Multiplikators berechnet

2.2.5. Schlussfolgerung

Die Zufallsziehungsmechanik von "Pick & Multiply" ist so konzipiert, dass sie Fairness, Spannung und Transparenz gewährleistet. Durch die Verwendung von mechanischen oder RNG-basierten Systemen behält das Spiel seine Integrität bei und bietet gleichzeitig ansprechende Gewinnergebnisse. Die Hinzufügung des Multiplikators nach der Zahlenziehung fügt eine zusätzliche Ebene der Unvorhersehbarkeit hinzu und erhöht die potenzielle Auszahlung für die Spieler, während die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsstruktur des Spiels eingehalten wird.

In diesem Kapitel wurden die Schlüsselelemente des Ziehungsprozesses skizziert, wobei der Schwerpunkt sowohl auf der Auswahl der Zahl als auch auf der Anwendung des Multiplikators lag. Im nächsten Abschnitt wird das Multiplikatorsystem genauer untersucht und detailliert beschrieben, wie es sich auf die gesamte Auszahlungsstruktur und das Spielerlebnis auswirkt.

2. Spieldesign

2.3. Überblick über das Multiplikatorsystem

Das Multiplikatorsystem ist eine zentrale Innovation in "Pick & Multiply", das entwickelt wurde, um die Spannung und das Engagement der Spieler zu erhöhen, indem es den Preisauszahlungen ein Element der Unvorhersehbarkeit hinzufügt. Dieses System ermöglicht es, die Gewinne eines Spielers mit einem Zufallsfaktor zu multiplizieren, was die Variabilität erhöht, ohne die Kernmechanik der Lotterie zu verkomplizieren. In diesem Abschnitt werden die mathematischen Grundlagen des Multiplikatorsystems, seine Wahrscheinlichkeiten und die Art und Weise, wie es sowohl das Spielerlebnis als auch die Rentabilität für die Betreiber verbessert, untersucht.

2.3.1. Zweck des Multiplikatorensystems

Das Multiplikatorsystem dient mehreren Zwecken innerhalb des Spieldesigns:

Verbesserung der Spielerbindung: Durch die Anwendung eines zufälligen Multiplikators auf alle Gewinne sorgt das System für zusätzliche Spannung während des Ziehungsprozesses. Selbst wenn ein Spieler nur wenige Zahlen richtig hat, erhöht die Möglichkeit, seinen Gewinn zu vervielfachen, seine Vorfreude.
Erhöhung der Preisvariabilität: Der Multiplikator führt zu Variabilität in der Preisverteilung, ohne die Komplexität des Kernspiels zu erhöhen, und bietet den Spielern auch bei kleineren Spielen eine höhere potenzielle Auszahlung.
Förderung des Wiederholungsspiels: Der Multiplikator dient als zusätzlicher Anreiz für die Spieler, häufiger teilzunehmen, da selbst ein kleineres Spiel je nach gezogenem Multiplikator zu einer erheblichen Auszahlung führen kann.

2.3.2. Aufbau des Multiplikatorensystems

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" verwendet einen vordefinierten Satz von Multiplikatoren, die von 1x bis 5x reichen. Jeder Multiplikator hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, wodurch sichergestellt wird, dass die größeren Multiplikatoren seltener sind als die kleineren. Das System ist wie folgt aufgebaut:

Dies stellt sicher, dass der 1x-Multiplikator am häufigsten auftritt und einen Basispreis bietet, während der 5x-Multiplikator selten ist und das Potenzial für deutlich größere Auszahlungen schafft.

2.3.2.1. Algorithmus zur Auswahl von Multiplikatoren

Der Multiplikator für jede Ziehung wird mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators (RNG) ausgewählt, der jedem Multiplikator Wahrscheinlichkeiten basierend auf der obigen Verteilung zuweist. Hier ist ein Beispiel, wie die RNG-basierte Auswahl des Multiplikators mit Hilfe der Wolfram Language umgesetzt werden kann:

Wolfram

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(* Definieren Sie die möglichen Multiplikatoren und deren Wahrscheinlichkeiten *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Funktion zur Auswahl eines zufälligen Multiplikators basierend auf Wahrscheinlichkeiten *)

selectMultiplier[] := RandomChoice[multiplierProbabilities -> Multiplikatoren]

(* Beispiel für eine Multiplikator-Ziehung *)

selectedMultiplier = selectMultiplier[]

Diese Funktion wählt nach dem Zufallsprinzip einen Multiplikator basierend auf den zugewiesenen Wahrscheinlichkeiten aus und sorgt so für eine faire Verteilung der Multiplikatoren über mehrere Ziehungen.

2.3.3. Mathematische Auswirkungen des Multiplikatorsystems

Das Multiplikatorsystem ändert die erwartete Auszahlung des Spiels, indem es die potenziellen Gewinne durch einen Zufallsfaktor anpasst. Für jede Preisklasse wird der Erwartungswert (EV) berechnet, indem der Preis für ein bestimmtes Spiel mit dem Erwartungswert des Multiplikators multipliziert wird:

E(Multiplizieren)=∑i=15P(Multiplikatori)×Multiplikatori\mathbb{E}(\text{Multiplizieren}) = \sum_{i=1}^{5} P(\text{Multiplizieren}_i) \times \text{Multiplizieren}_iE(Multiplizieren)=i=1∑5P(Multiplikator)×Multiplikatori

Unter Verwendung der definierten Wahrscheinlichkeiten und Multiplikatoren:

Somit beträgt der durchschnittliche Multiplikator, der auf jeden Preis angewendet wird, 2,15. Dieser Wert ist sowohl für die Preisstrukturierung als auch für die Festlegung der Ticketpreise wichtig, um sicherzustellen, dass der Betreiber seine Rentabilität beibehält und den Spielern attraktive Auszahlungen bietet.

2.3.3.1. Beispiel für die Berechnung der erwarteten Auszahlung

Stellen Sie sich einen Preis von 100.000 HUF vor, wenn Sie alle vier Zahlen richtig tippen. Die erwartete Auszahlung, einschließlich des Multiplikators, beträgt:

Erwartete Auszahlung=100.000×E(Multiplikator)=100.000×2,15=215.000 HUF\text{Erwartete Auszahlung} = 100.000 \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = 100.000 \times 2,15 = 215.000 \, \text{HUF}Erwartete Auszahlung=100.000×E(Multiplikator)=100.000×2,15=215.000HUF

Wenn ein Spieler 10.000 HUF gewinnt, weil er drei Zahlen richtig hat, wäre die erwartete Auszahlung:

Erwartete Auszahlung=10.000×2,15=21.500 HUF\text{Erwartete Auszahlung} = 10.000 \times 2,15 = 21.500 \, \text{HUF}Erwartete Auszahlung=10.000×2,15=21.500HUF

Diese Berechnungen stellen sicher, dass das Spiel profitabel bleibt und den Spielern die Möglichkeit bietet, ihre Gewinne deutlich zu vervielfachen.

2.3.4. Visuelle Darstellung des Multiplikatorsystems

Um den Spielern zu helfen, die Auswirkungen des Multiplikatorsystems zu verstehen, ist es wichtig, klare, ansprechende Visualisierungen bereitzustellen, insbesondere bei digitalen oder mobilen Lotterieplattformen. Eine gängige Darstellung könnte Folgendes umfassen:

Animierte Anzeigen, die zeigen, dass der Multiplikator ausgewählt wird, nachdem die Zahlen gezogen wurden.
Preistabellen , die potenzielle Gewinne basierend auf verschiedenen Multiplikatorergebnissen anzeigen.

Abbildung 2.3: Visuelle Darstellung der Preisauszahlungen mit Multiplikatoren

SQL

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Fügen Sie ein Diagramm ein, das den Basispreis für die Übereinstimmung verschiedener Zahlen (z. B. 4 Zahlen, 3 Zahlen) zeigt und wie sich jeder Gewinn durch die Anwendung verschiedener Multiplikatoren (1x bis 5x) erhöht.

2.3.5. Auswirkungen auf das Spielerlebnis

Das Multiplikatorsystem verbessert das Spielerlebnis erheblich durch:

Steigerung der Vorfreude: Nachdem die Zahlen gezogen wurden, warten die Spieler gespannt auf den Multiplikator, da sie wissen, dass selbst kleine Übereinstimmungen zu deutlich größeren Preisen führen können.
Belohnung kleinerer Gewinne: Spieler, die nur zwei oder drei Zahlen richtig tippen, haben immer noch die Möglichkeit, durch das Multiplikatorsystem bedeutende Auszahlungen zu erhalten, wodurch mehr Spieler bei der Stange bleiben, auch wenn sie den Jackpot nicht knacken.

2.3.5.1. Fallstudie: Wirkung auf die Wiederholungswiedergabe

Die Analyse von Spielen, die Multiplikator-Funktionen enthalten, zeigt einen deutlichen Anstieg der Wiederholungsraten, da die Spieler durch das Potenzial für größere, unerwartete Auszahlungen zurückgezogen werden. Das Multiplikatorsystem sorgt für zusätzliche Spannung, die die Spieler dazu ermutigt, weiter teilzunehmen, auch wenn sie nicht in jeder Runde große Preise gewinnen.

2.3.6. Optimierung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten für die Rentabilität

Der Betreiber kann die Wahrscheinlichkeiten jedes Multiplikators fein abstimmen, um die Zufriedenheit der Spieler und die Rentabilität des Spiels in Einklang zu bringen. Wenn Sie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit des 2-fachen Multiplikators erhöhen und die Wahrscheinlichkeit des 5-fachen Multiplikators verringern, können Sie häufigere, moderate Gewinne erzielen, während größere Auszahlungen selten bleiben.

2.3.6.1. Simulation der Multiplikatorergebnisse

Eine Monte-Carlo-Simulation kann verwendet werden, um verschiedene Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und deren Auswirkungen auf die gesamte Auszahlungsstruktur des Spiels zu testen. Der folgende Code simuliert 100.000 Ziehungen und berechnet die durchschnittliche Auszahlung basierend auf den aktuellen Multiplikatorwahrscheinlichkeiten:

Wolfram

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(* 100.000 Multiplikatoren simulieren *)

multiplierSimulation = Tabelle[selectMultiplier[], {100000}];

(* Berechnen Sie den durchschnittlichen Multiplikator *)

averageMultiplier = Mittelwert[multiplierSimulation]

(* Berechnen Sie die erwartete Auszahlung für einen Preis von 100.000 HUF *)

erwartetAuszahlung = 100000 * durchschnittlichMultiplikator

Durch Anpassen des multiplierProbabilities-Arrays können Betreiber verschiedene Konfigurationen simulieren und bestimmen, welche Kombination von Wahrscheinlichkeiten sowohl die Spielerbindung als auch die Rentabilität maximiert.

2.3.7. Schlussfolgerung

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" ist ein leistungsstarkes Werkzeug, um das Engagement der Spieler zu erhöhen, das gesamte Spielerlebnis zu verbessern und die Rentabilität für die Betreiber zu gewährleisten. Durch die Möglichkeit, die Gewinne nach der Ziehung zu vervielfachen, führt das Spiel eine zusätzliche Ebene der Spannung ein, während gleichzeitig Fairness und Transparenz gewahrt bleiben. Die sorgfältige Abwägung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten stellt sicher, dass das System sowohl für die Spieler lohnend als auch nachhaltig für den Lotteriebetreiber bleibt.

In diesem Kapitel wurde ein Überblick über die Ausgestaltung und Wirkung des Multiplikatorensystems gegeben. Der nächste Abschnitt befasst sich mit den mathematischen Grundlagen des Spiels und konzentriert sich auf die Gesamtzahl der Kombinationen, die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für übereinstimmende Zahlen und die weitere Analyse der Verteilung des Multiplikators.

3. Mathematische Grundlagen

3.1. Gesamtzahl der Kombinationen für die Spielerauswahl

Der Kern eines jeden Lotteriespiels ist die Mathematik der Kombinationen, die die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse in einer bestimmten Ziehung bestimmt. Bei "Pick & Multiply" hat der Spieler die Aufgabe, vier Zahlen aus einem Pool von 50 auszuwählen. Das Verständnis der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen ermöglicht es uns, die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, was wiederum die Auszahlungsstruktur und die Rentabilität des Spiels beeinflusst.

3.1.1. Kombinatorische Formel

Die Gesamtzahl der Kombinationen bei der Spielerauswahl wird anhand der Binomialkoeffizientenformel berechnet. Dieser mathematische Ausdruck wird verwendet, um zu bestimmen, auf wie viele Arten ein Spieler kkk-Zahlen aus einem Pool von nnn-Zahlen auswählen kann, wobei die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Bei "Pick & Multiply" wählt der Spieler vier Zahlen aus einem Pool von 50 Zahlen aus. Die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen ergibt sich aus:

(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}(kn)=k! (n−k)!n!

Wo:

n=50n = 50n=50 (die Gesamtzahl der verfügbaren Zahlen),
k=4k = 4k=4 (die Anzahl der Zahlen, die der Spieler auswählt),
!!! bezeichnet die faktorielle Operation, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zur gegebenen Zahl ist.

Die Gesamtzahl der Kombinationen beträgt also:

(504)=50!4! (50−4)!=50×49×48×474×3×2×1=230.300\binom{50}{4} = \frac{50!}{4! (50 - 4)!} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 230,300(450)=4! (50−4)!50!=4×3×2×150×49×48×47=230.300

Das bedeutet, dass ein Spieler 230.300 verschiedene Möglichkeiten hat, vier verschiedene Zahlen aus dem Pool von 50 auszuwählen. Jede Kombination ist einzigartig und stellt einen möglichen Schein dar, der an der Lotterie teilnehmen kann.

3.1.2. Bedeutung von Kombinationsberechnungen

Das Verständnis der Gesamtzahl der Kombinationen ist aus mehreren Gründen von entscheidender Bedeutung:

Gewinnwahrscheinlichkeit: Je mehr Kombinationen es gibt, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Kombination gezogen wird. Dies stellt sicher, dass die Lotterie herausfordernd bleibt und große Preise selten sind, was für Spannung sorgt und die Spieler motiviert, regelmäßig teilzunehmen.
Preisstrukturierung: Die Anzahl der möglichen Kombinationen beeinflusst die Verteilung der Preise. Spiele mit einer großen Anzahl möglicher Kombinationen können höhere Preise für die Richtige von mehr Zahlen bieten, während bei Teilübereinstimmungen immer noch niedrigere Preise erzielt werden.

3.1.3. Berechnung der Anzahl möglicher Spielerauswahlen mit der Wolfram Language

Der Binomialkoeffizient kann in Wolfram Language mit der Binomialfunktion einfach berechnet werden. Hier ist eine einfache Implementierung:

Wolfram

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(* Berechnen Sie die Gesamtzahl der Kombinationen für die Auswahl von 4 Zahlen aus 50 *)

totalCombinations = Binomial[50, 4]

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

gesamtKombinationen

Dieser Code berechnet die Gesamtzahl der Kombinationen, die 230.300 beträgt, wie zuvor abgeleitet.

Grafische Darstellung von Kombinationen

Um ein klareres Verständnis dafür zu erhalten, wie sich die Anzahl der möglichen Kombinationen mit unterschiedlichen Poolgrößen oder der Anzahl der Auswahlen ändert, können wir den Binomialkoeffizienten für verschiedene Werte von nnn und kkk darstellen.

Wolfram

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(* Visualisieren Sie, wie die Anzahl der Kombinationen mit verschiedenen Poolgrößen wächst *)

Plot3D[Binomial[n, k], {n, 4, 100}, {k, 1, 10},

PlotLabel -> "Gesamtkombinationen als Funktion von n und k",

AxesLabel -> {"n (Poolgröße)", "k (ausgewählte Zahlen)", "Kombinationen"},

ColorFunction -> "Regenbogen"]

Dieses 3D-Diagramm zeigt, wie die Gesamtzahl der Kombinationen zunimmt, wenn die Poolgröße nnn zunimmt und die Anzahl der ausgewählten Zahlen kkk variiert. Das exponentielle Wachstum von Kombinationen mit zunehmender nnn ist offensichtlich und unterstreicht die große Anzahl möglicher Ergebnisse in Spielen wie "Pick & Multiply".

3.1.4. Praktische Auswirkungen auf die Spieler

Für einen Spieler hilft es, die Anzahl der möglichen Kombinationen zu verstehen, um die Erwartungen an seine Gewinnchancen zu steuern. Bei 230.300 möglichen Kombinationen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die genauen Gewinnzahlen auswählt:

P(\text{exakte Übereinstimmung}) = \frac{1}{230,300} \approx 0,00000434 \quad \text{(oder 0,000434%)}

Diese extrem niedrige Wahrscheinlichkeit unterstreicht die Herausforderung, alle vier Zahlen richtig zu tippen, und rechtfertigt die hohen Preise, die für ein solches Ergebnis angeboten werden.

Da "Pick & Multiply" jedoch auch Spieler belohnt, wenn sie weniger als vier Zahlen richtig tippen, ist die Wahrscheinlichkeit, einen kleineren Preis zu gewinnen, höher, was dazu beiträgt, dass die Spieler bei der Stange bleiben.

3.1.5. Beispiel: Unterschiedliche Poolgrößen und ihre Auswirkungen auf Kombinationen

Während "Pick & Multiply" einen Pool von 50 Zahlen verwendet, können die Bediener mit verschiedenen Poolgrößen experimentieren. Die Verwendung eines Pools von 60 Zahlen würde beispielsweise die Gesamtzahl der Kombinationen erheblich erhöhen:

(604)=60×59×58×574×3×2×1=487,635\binom{60}{4} = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 487,635(460)=4×3×2×160×59×58×57=487,635

Dies würde die Anzahl der möglichen Kombinationen fast verdoppeln, was es für die Spieler noch schwieriger macht, alle vier Zahlen zu treffen, und es dem Betreiber ermöglicht, größere Jackpots anzubieten.

Hier ist der Wolfram Language-Code zur Berechnung von Kombinationen für verschiedene Poolgrößen:

Wolfram

Code kopieren

(* Berechnen Sie die Gesamtkombinationen für die Auswahl von 4 Zahlen aus verschiedenen Poolgrößen *)

combinationsForPools = Tabelle[Binomial[n, 4], {n, 40, 70}];

(* Erstellen Sie eine Liste mit Poolgrößen und entsprechenden Kombinationen *)

combinationTable = TableForm[Transpose[{Bereich[40, 70], combinationsForPools}],

TableHeadings -> {Keine, {"Poolgröße (n)", "Kombinationen insgesamt"}}]

(* Zeigt die Kombinationstabelle an *)

combinationTabelle

Dieser Code generiert eine Tabelle, in der die Gesamtzahl der Kombinationen für verschiedene Poolgrößen zwischen 40 und 70 angezeigt wird. Es gibt einen Einblick, wie sich die Änderung der Poolgröße auf die Schwierigkeit des Spiels und das gesamte Spielerlebnis auswirkt.

3.1.6. Schlussfolgerung

Die Gesamtzahl der Kombinationen bei "Pick & Multiply" wird durch die Wahl von vier Zahlen aus einem Pool von 50 Personen bestimmt, was zu 230.300 möglichen Kombinationen führt. Diese grundlegende Berechnung ist entscheidend für die Strukturierung des Spiels, die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten und die Gestaltung eines ansprechenden Preissystems. Es unterstreicht auch die Seltenheit von hochrangigen Gewinnen, was die Aufregung um größere Preise rechtfertigt.

Im nächsten Abschnitt werden wir uns mit Wahrscheinlichkeitsberechnungen für übereinstimmende Zahlen befassen und uns näher damit befassen, wie das mathematische Design des Spiels ein Gleichgewicht zwischen Spielerzufriedenheit und Rentabilität des Betreibers gewährleistet.

3. Mathematische Grundlagen

3.1. Gesamtzahl der Kombinationen für die Spielerauswahl

Bei "Pick & Multiply" wählt der Spieler vier verschiedene Zahlen aus einem Pool von 50 aus. Die Gesamtzahl der Kombinationen für diese Auswahlen ist ein entscheidender Faktor bei der Bestimmung sowohl der Gewinnwahrscheinlichkeit als auch der Struktur des Spiels. In diesem Abschnitt wird die kombinatorische Mathematik untersucht, die die Gesamtzahl der Möglichkeiten definiert, wie ein Spieler seine Zahlen wählen kann, und wie sich diese Kombinationen auf das gesamte Spieldesign auswirken.

3.1.1. Kombinatorische Mathematik für Lotteriespiele

Die Anzahl der möglichen Kombinationen in einem Lotteriespiel wird mit Hilfe der Kombinatorik berechnet – einem Zweig der Mathematik, der sich mit der Auswahl von Elementen aus einer größeren Menge ohne Rücksicht auf die Reihenfolge der Auswahl befasst. Insbesondere wird die Anzahl der Möglichkeiten, kkk-Elemente aus einem Satz von nnn-Elementen auszuwählen, durch den Binomialkoeffizienten angegeben, der auch als "n choose k" bezeichnet wird:

(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}(kn)=k! (n−k)!n!

Wo:

nnn ist die Gesamtzahl der verfügbaren Nummern (in diesem Fall 50),
KKK ist die Anzahl der Zahlen, die der Spieler auswählt (in diesem Fall 4),
!!! bezeichnet die faktorielle Operation, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl ist.

Für "Pick & Multiply" beträgt die Gesamtzahl der Kombinationen:

Das bedeutet, dass ein Spieler 230.300 verschiedene Möglichkeiten hat, vier Zahlen aus dem Pool von 50 auszuwählen. Diese große Anzahl von Kombinationen stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Spieler genau die vier Gewinnzahlen trifft, gering bleibt, was der Schlüssel zur Aufrechterhaltung der Spannung und Rentabilität des Spiels ist.

3.1.2. Erläuterung der Formel

Der Binomialkoeffizient (504)\binom{50}{4}(450) kann in den folgenden Schritten verstanden werden:

Schritt 1: Der Spieler hat 50 Auswahlmöglichkeiten für die erste Zahl.
Schritt 2: Nachdem der Spieler die erste Zahl ausgewählt hat, hat er noch 49 Möglichkeiten für die zweite Zahl.
Schritt 3: Aus den restlichen 48 Zahlen wird die dritte Zahl ausgewählt.
Schritt 4: Aus den restlichen 47 Zahlen wird die vierte und letzte Zahl ausgewählt.

Da die Reihenfolge, in der die Zahlen ausgewählt werden, keine Rolle spielt, dividieren wir durch die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten für vier Zahlen (das ist 4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 14!=4×3×2×1), um eine Überzählung von Kombinationen zu vermeiden, bei denen dieselben Zahlen in unterschiedlicher Reihenfolge erscheinen. Daraus ergibt sich die endgültige Formel für die Gesamtzahl der Kombinationen.

Programmierung der kombinatorischen Berechnung

In Wolfram Language kann die Gesamtzahl der Kombinationen mit der Binomialfunktion wie folgt berechnet werden:

Wolfram

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(* Berechnen Sie die Gesamtzahl der Kombinationen für die Auswahl von 4 Zahlen aus 50 *)

totalCombinations = Binomial[50, 4]

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

gesamtKombinationen

Wenn Sie diesen Code ausführen, wird 230.300 zurückgegeben, was die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen für die Auswahl von vier Zahlen aus 50 bestätigt.

3.1.3. Auswirkungen auf die Gewinnwahrscheinlichkeit

Die Gesamtzahl der Kombinationen wirkt sich direkt auf die Gewinnwahrscheinlichkeit bei "Pick & Multiply" aus. Da es 230.300 mögliche Kombinationen gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau die vier Zahlen auszuwählen, die mit der Ziehung übereinstimmen:

P(Exakte Übereinstimmung)=1230.300≈0.00000434(oder 0.000434%)P(\text{Exakte Übereinstimmung}) = \frac{1}{230.300} \approx 0.00000434 \quad \text{(oder 0.000434\%)}P(Exakte Übereinstimmung)=230.3001≈0.00000434(oder 0.000434%)

Diese geringe Wahrscheinlichkeit sorgt für Aufregung rund um den Gewinn des Hauptpreises, da dies selten, aber erreichbar ist, insbesondere mit der Multiplikatorfunktion, die die Auszahlungen auch bei kleineren Spielen drastisch erhöhen kann.

3.1.4. Visualisierung des kombinatorischen Wachstums

Die Anzahl der Kombinationen wächst exponentiell mit zunehmender Größe des Pools nnn. Um zu visualisieren, wie sich die Gesamtzahl der Kombinationen ändert, wenn die Anzahl der verfügbaren Zahlen zunimmt, können wir den Binomialkoeffizienten (n4)\binom{n}{4}(4n) für verschiedene Werte von nnn zeichnen.

Wolfram

Code kopieren

(* Plotten Sie die Anzahl der Kombinationen für verschiedene Poolgrößen *)

Plot[Binomial[n, 4], {n, 4, 100}, PlotLabel -> "Gesamtkombinationen für die Auswahl von 4 Zahlen",

AxesLabel -> {"Poolgröße (n)", "Kombinationen"}, PlotStyle -> Thick, ColorFunction -> "Regenbogen"]

Dieses Diagramm zeigt, wie die Anzahl der möglichen Kombinationen zunimmt, wenn der Pool der Zahlen wächst. Wenn der Pool beispielsweise auf 60 Zahlen erhöht würde, würde die Gesamtzahl der Kombinationen wie folgt aussehen:

(604)=60×59×58×574×3×2×1=487,635\binom{60}{4} = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 487,635(460)=4×3×2×160×59×58×57=487,635

Dadurch verdoppelt sich die Anzahl der möglichen Kombinationen fast, was es für die Spieler deutlich schwieriger macht, die genaue Gewinnkombination auszuwählen.

3.1.5. Anpassen der Poolgröße für Spielvarianten

Die Änderung der Größe des Pools, aus dem die Spieler Zahlen auswählen, kann ein effektiver Weg sein, um Spielvarianten einzuführen. Zum Beispiel können die Betreiber durch Erhöhen oder Verringern der Poolgröße die Schwierigkeit der Zahlenübereinstimmung steuern und die Preisstruktur entsprechend anpassen.

Hier ist eine Tabelle, die zeigt, wie sich die Gesamtzahl der Kombinationen mit zunehmender Poolgröße ändert, wobei die Anzahl der ausgewählten Zahlen bei 4 bleibt:

Poolgröße (n)	Kombinationen insgesamt
40	91,390
45	148,995
50	230,300
55	344,484
60	487,635

Diese Flexibilität ermöglicht es den Lotteriebetreibern, das Spiel an verschiedene Märkte und Spielerpräferenzen anzupassen und die Gewinnchancen anzupassen, um das Gleichgewicht zwischen Spannung und Rentabilität zu wahren.

Wolfram Language Code zum Generieren einer Kombinationstabelle

Wolfram

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(* Erstellen Sie eine Tabelle mit Gesamtkombinationen, um 4 Zahlen aus verschiedenen Poolgrößen auszuwählen *)

poolSizes = Bereich[40, 60, 5];

Kombinationen = Binomial[#, 4] & /@ poolGrößen;

(* Erstellen Sie eine Tabelle mit den Poolgrößen und den entsprechenden Gesamtkombinationen *)

TableForm[Transpose[{poolSizes, Kombinationen}], TableHeadings -> {None, {"Poolgröße", "Kombinationen insgesamt"}}]

Dieser Code generiert eine Tabelle, die dynamisch zeigt, wie die Anzahl der Kombinationen mit zunehmender Poolgröße zunimmt. Betreiber können dies nutzen, um zu analysieren, wie sich Änderungen in der Poolgröße auf die Gewinnwahrscheinlichkeit auswirken, und das Spiel entsprechend anzupassen.

3.1.6. Theoretische Grundlagen großer kombinatorischer Räume

Lotteriespiele basieren auf dem Konzept großer kombinatorischer Räume, bei denen die Anzahl der möglichen Ergebnisse (oder Kombinationen) so groß ist, dass ein Gewinn zu einer seltenen, aber verlockenden Möglichkeit wird. In "Pick & Multiply" schafft das Spiel mit 230.300 möglichen Kombinationen die Balance zwischen häufigen Gewinnen in den unteren Rängen und der seltenen, aber großen Aufregung, den Jackpot zu knacken.

Im Spieldesign ist das Verhältnis zwischen der Gesamtzahl der Kombinationen und der Auszahlungsstruktur des Spiels entscheidend. Ein Spiel mit zu wenigen Kombinationen kann dazu führen, dass es häufig Gewinner des Hauptpreises gibt, was den wahrgenommenen Wert des Preises verringert. Umgekehrt können zu viele Kombinationen das Spiel entmutigend erschweren und zu Spielerabwanderung führen. "Pick & Multiply" hält dieses Gleichgewicht aufrecht, indem es Teilpreise anbietet, mit der zusätzlichen Spannung des Multiplikators, um einen Anreiz zum Spielen zu schaffen, selbst wenn die Chancen, alle vier Zahlen zu treffen, gering sind.

3.1.7. Schlussfolgerung

Die Gesamtzahl der Kombinationen in "Pick & Multiply" – 230.300 – ist ein grundlegendes Element, das die Gewinnwahrscheinlichkeit, die Gewinnverteilung und die gesamte Spieldynamik beeinflusst. Durch das Verständnis der mathematischen Grundlagen der Kombinatorik können Betreiber Lotteriespiele entwerfen, die sowohl ansprechend als auch profitabel sind. Darüber hinaus bietet die Flexibilität, die Poolgröße anzupassen, die Möglichkeit, Spielvarianten zu erstellen, die auf unterschiedliche Spielerpräferenzen und Marktbedingungen zugeschnitten sind.

Der nächste Abschnitt, 3.2. Wahrscheinlichkeitsberechnungen für übereinstimmende Zahlen wird untersucht, wie sich diese Kombinationen in Gewinnwahrscheinlichkeiten für verschiedene Gewinnklassen, einschließlich Teilübereinstimmungen, umsetzen lassen.

3. Mathematische Grundlagen

3.2. Wahrscheinlichkeitsberechnungen für übereinstimmende Zahlen

Bei "Pick & Multiply" ist das Verständnis der Wahrscheinlichkeit, dass verschiedene Zahlen übereinstimmen, unerlässlich, um die Auszahlungen des Spiels, die Erwartungen der Spieler und die allgemeine Fairness zu strukturieren. In diesem Abschnitt werden die Wahrscheinlichkeitsberechnungen behandelt, die erforderlich sind, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass genau 4, 3, 2 oder 1 Zahlen übereinstimmen, basierend auf der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen. Diese Wahrscheinlichkeiten haben direkten Einfluss auf die Gestaltung der Gewinnstufen und das Rentabilitätsmodell des Spiels.

3.2.1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeit für übereinstimmende Zahlen

Im Spiel wählen die Spieler 4 Zahlen aus einem Pool von 50 Zahlen aus. Die Gewinnzahlen werden nach dem Zufallsprinzip aus demselben Pool gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler einige oder alle gezogenen Zahlen richtig hat, kann mit Hilfe der kombinatorischen Wahrscheinlichkeit berechnet werden.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass mmm-Zahlen aus den gewählten kkk-Zahlen übereinstimmen (wobei nnn die Gesamtgröße des Pools ist), lautet:

P(match m)=(km)×(n−kk−m)(nk)P(\text{match } m) = \frac{\binom{k}{m} \times \binom{n - k}{k - m}}{\binom{n}{k}}P(match m)=(kn)(mk)×(k−mn−k)

Wo:

(km)\binom{k}{m}(mk) ist die Anzahl der Möglichkeiten, mmm passende Zahlen aus der KKK-Auswahl des Spielers auszuwählen,
(n−kk−m)\binom{n - k}{k - m}(k−mn−k) ist die Anzahl der Möglichkeiten, die verbleibenden Zahlen aus den nicht ausgewählten Zahlen auszuwählen,
(nk)\binom{n}{k}(kn) ist die Gesamtzahl der Kombinationen für die Auswahl von KKK-Nummern aus NNN,
n=50n = 50n=50, die Gesamtgröße des Pools,
k=4k = 4k=4, die Anzahl der vom Spieler ausgewählten Zahlen.

Der Binomialkoeffizient (ab)\binom{a}{b}(ba) wird wie folgt berechnet:

(ab)=a!b! (a−b)!\binom{a}{b} = \frac{a!}{b! (a - b)!}(ba)=b! (a−b)!a!

3.2.2. Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Zahlen übereinstimmen

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Zahlen übereinstimmen (d.h. m=4m = 4m=4) ist das seltenste Ergebnis bei "Pick & Multiply". Da es nur eine richtige Kombination aus 4 übereinstimmenden Zahlen gibt, ist diese Wahrscheinlichkeit einfach zu berechnen:

P(Übereinstimmung 4)=(44)×(460)(504)=1×1230,300=1230,300P(\text{Übereinstimmung 4}) = \frac{\binom{4}{4} \times \binom{46}{0}}{\binom{50}{4}} = \frac{1 \times 1}{230,300} = \frac{1}{230,300}P(Übereinstimmung 4)=(450)(44)×(046)=230,3001×1=230,3001

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Zahlen übereinstimmen, beträgt also:

P(Übereinstimmung 4)≈0,00000434oder 0,000434%P(\text{Übereinstimmung 4}) \approx 0,00000434 \quad \text{oder 0,000434\%}P(Übereinstimmung 4)≈0,00000434oder 0,000434%

Diese geringe Wahrscheinlichkeit stellt sicher, dass das Spiel herausfordernd bleibt und dass große Preise selten sind, was die Begeisterung der Spieler über die Möglichkeit, den Jackpot zu gewinnen, aufrechterhält.

Wolfram Language Code für Match 4 Probability

Wolfram

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(* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Zahlen übereinstimmen *)

totalCombinations = Binomial[50, 4];

WahrscheinlichkeitMatch4 = 1 / gesamtKombinationen

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

WahrscheinlichkeitMatch4

3.2.3. Wahrscheinlichkeit, dass 3 Zahlen übereinstimmen

Der nächste Schritt besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau 3 von 4 Zahlen übereinstimmen . In diesem Fall stimmt der Spieler mit 3 Zahlen überein, und 1 Zahl aus der Auswahl des Spielers stimmt nicht überein. Die Formel lautet:

P(Treffer 3)=(43)×(461)(504)=4×46230,300P(\text{Treffer 3}) = \frac{\binom{4}{3} \times \binom{46}{1}}{\binom{50}{4}} = \frac{4 \times 46}{230,300}P(Treffer 3)=(450)(34)×(146)=230,3004×46

Vereinfachend:

P(Übereinstimmung 3)=184230.300≈0.000799oder 0.0799%P(\text{Übereinstimmung 3}) = \frac{184}{230.300} \approx 0.000799 \quad \text{oder 0.0799\%}P(Übereinstimmung 3)=230.300184≈0.000799oder 0.0799%

Diese Wahrscheinlichkeit ist höher als die aller 4 richtigen Zahlen, bleibt aber relativ niedrig, um sicherzustellen, dass die Preise der mittleren Preisklasse immer noch einen Wert haben.

Wolfram Language Code für Match-3-Wahrscheinlichkeit

Wolfram

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(* Berechne die Wahrscheinlichkeit, 3 von 4 Zahlen richtig zu treffen *)

WahrscheinlichkeitMatch3 = (Binomial[4, 3] * Binomial[46, 1]) / gesamtKombinationen

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

WahrscheinlichkeitMatch3

3.2.4. Wahrscheinlichkeit, dass 2 Zahlen übereinstimmen

Wenn er genau 2 Zahlen richtig hat, stimmt der Spieler mit 2 Zahlen überein und verpasst 2. Die Formel lautet:

P(Übereinstimmung 2)=(42)×(462)(504)=6×1,035230,300=6,210230,300P(\text{Übereinstimmung 2}) = \frac{\binom{4}{2} \times \binom{46}{2}}{\binom{50}{4}} = \frac{6 \times 1,035}{230,300} = \frac{6,210}{230,300}P(Übereinstimmung 2)=(450)(24)×(246)=230,3006×1,035=230,3006,210

Vereinfachend:

P(Übereinstimmung 2)≈0,02696 oder 2,696 %P(\text{Übereinstimmung 2}) \approx 0,02696 \quad \text{oder 2,696\%}P(Übereinstimmung 2)≈0,02696 oder 2,696 %

Diese höhere Wahrscheinlichkeit deutet darauf hin, dass die Spieler mit größerer Wahrscheinlichkeit kleinere Preise gewinnen, die durch das Multiplikatorsystem weiter gesteigert werden können.

Wolfram Language Code für Match 2 Probability

Wolfram

Code kopieren

(* Berechne die Wahrscheinlichkeit, 2 von 4 Zahlen richtig zu treffen *)

WahrscheinlichkeitMatch2 = (Binomial[4, 2] * Binomial[46, 2]) / gesamtKombinationen

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

WahrscheinlichkeitMatch2

3.2.5. Wahrscheinlichkeit, dass 1 Zahl übereinstimmt

Die Wahrscheinlichkeit, genau 1 Zahl zu finden (und 3 zu fehlen), beträgt:

P(Übereinstimmung 1)=(41)×(463)(504)=4×15,180230,300P(\text{Übereinstimmung 1}) = \frac{\binom{4}{1} \times \binom{46}{3}}{\binom{50}{4}} = \frac{4 \times 15,180}{230,300}P(Übereinstimmung 1)=(450)(14)×(346)=230,3004×15,180

Vereinfachend:

P(Übereinstimmung 1)≈0,2634 oder 26,34 %P(\text{Übereinstimmung 1}) \approx 0,2634 \quad \text{oder 26,34 \ %}P(Übereinstimmung 1)≈0,2634 oder 26,34 %

Diese relativ hohe Wahrscheinlichkeit erklärt, warum die Übereinstimmung mit nur einer Zahl in der Regel nicht mit einem signifikanten Gewinn oder Multiplikator verbunden ist.

Wolfram Language Code für Match 1 Probability

Wolfram

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(* Berechne die Wahrscheinlichkeit, 1 von 4 Zahlen richtig zu treffen *)

WahrscheinlichkeitMatch1 = (Binomial[4, 1] * Binomial[46, 3]) / gesamtKombinationen

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

WahrscheinlichkeitMatch1

3.2.6. Wahrscheinlichkeit, dass 0 Zahlen übereinstimmen

Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der 4 Zahlen übereinstimmt, gegeben durch:

P(Übereinstimmung 0)=(40)×(464)(504)=1×194,580230,300P(\text{Übereinstimmung 0}) = \frac{\binom{4}{0} \times \binom{46}{4}}{\binom{50}{4}} = \frac{1 \times 194,580}{230,300}P(Übereinstimmung 0)=(450)(04)×(446)=230,3001×194,580

Vereinfachend:

P(Übereinstimmung 0)≈0,8447 oder 84,47 %P(\text{Übereinstimmung 0}) \approx 0,8447 \quad \text{oder 84,47 \ %}P (Übereinstimmung 0)≈0,8447 oder 84,47 %

Diese hohe Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass die meisten Spieler keine Zahlen richtig tippen, was typisch für Lotteriespiele ist, bei denen das Gewinnen schwierig, aber verlockend gestaltet ist.

Wolfram Language Code für Match 0 Probability

Wolfram

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(* Berechne die Wahrscheinlichkeit, 0 von 4 Zahlen richtig zu treffen *)

WahrscheinlichkeitMatch0 = (Binomial[4; 0] * Binomial[46, 4]) / gesamtKombinationen

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

WahrscheinlichkeitMatch0

3.2.7. Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Spielausgänge bei "Pick & Multiply" sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Anzahl der Übereinstimmungen	Wahrscheinlichkeit	Prozentsatz
Spiel 4	1230,300\frac{1}{230,300}230,3001	0.000434%
Spiel 3	≈0,000799\ungefähr 0,000799≈0,000799	0.0799%
Spiel 2	≈0,02696\ungefähr 0,02696≈0,02696	2.696%
Spiel 1	≈0,2634\ca. 0,2634≈0,2634	26.34%
0 Treffer	≈0,8447\ca. 0,8447≈0,8447	84.47%

Diese Wahrscheinlichkeiten sind so konzipiert, dass sie den Schwierigkeitsgrad des Spiels mit den Belohnungen der Spieler in Einklang bringen. Spiele mit höheren Rängen (3 oder 4 Zahlen) sind selten, was höhere Preise rechtfertigt, während Spiele in niedrigeren Rängen häufiger vorkommen, was zu regelmäßigem Spielen und kleineren Gewinnen führt.

3.2.8. Schlussfolgerung

Die Wahrscheinlichkeitsberechnungen für die Übereinstimmung verschiedener Zahlen bei "Pick & Multiply" bilden die Grundlage für die Auszahlungsstruktur des Spiels. Durch das Verständnis der mathematischen Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses können Spielbetreiber ein System entwerfen, das sowohl für die Spieler aufregend als auch für den Betreiber profitabel ist. Im nächsten Abschnitt wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Multiplikators untersucht, die die Attraktivität des Spiels weiter erhöht, indem sie die Variabilität der Auszahlungen für die Spieler erhöht.

3. Mathematische Grundlagen

3.3. Verteilung der Multiplikator-Wahrscheinlichkeit

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" sorgt für eine dynamische Ebene der Spannung, indem es die Variabilität der Spielerauszahlungen einführt. Nachdem die Zahlen des Spielers gezogen und mit den Gewinnzahlen abgeglichen wurden, wird ein Multiplikator auf alle potenziellen Gewinne angewendet. Dieser Multiplikator kann zwischen 1x und 5x liegen, wobei jeder Wert eine vordefinierte Wahrscheinlichkeit hat. Die Verteilung dieser Multiplikatoren spielt eine Schlüsselrolle bei der Balance zwischen der Rentabilität des Spiels und der Attraktivität für die Spieler. In diesem Abschnitt wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Multiplikatoren detailliert beschrieben und erläutert, wie sie das Design des Spiels beeinflusst.

3.3.1. Multiplikatorwerte und Wahrscheinlichkeiten

Bei "Pick & Multiply" reichen die Multiplikatorwerte von 1x bis 5x. Diese Multiplikatoren werden auf den Preis des Spielers angewendet und erhöhen die Auszahlung, wenn größere Multiplikatoren gezogen werden. Die vordefinierten Wahrscheinlichkeiten für jeden Multiplikator sorgen dafür, dass höhere Multiplikatoren seltener sind, während niedrigere Multiplikatoren häufiger vorkommen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Multiplikatoren ist wie folgt aufgebaut:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Diese Wahrscheinlichkeiten stellen sicher, dass zwar die Mehrheit der Spieler einen 1x- oder 2x-Multiplikator erhält, es aber immer die verlockende Möglichkeit gibt, einen 4x- oder 5x-Multiplikator zu erhalten, was die potenzielle Auszahlung erheblich erhöht.

Wolfram Language Code zur Definition von Multiplikatorwahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeiten und Multiplikatoren können mit dem folgenden Code in Wolfram Language dargestellt und visualisiert werden:

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Multiplikatoren und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Visualisieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Multiplikatoren *)

BarChart[multiplierProbabilities, ChartLabels -> Multiplikatoren,

PlotLabel -> "Multiplikator-Wahrscheinlichkeitsverteilung",

AxesLabel -> {"Multiplikator", "Wahrscheinlichkeit"}, BarSpacing -> 0.5]

Dieser Code generiert ein Balkendiagramm , das die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Multiplikatoren visuell darstellt und zeigt, dass 1x und 2x häufiger vorkommen, während 5x am seltensten ist.

3.3.2. Erwarteter Wert des Multiplikators

Der Erwartungswert (EV) des Multiplikators spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der gesamten Auszahlungsstruktur. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse, wobei die Gewichtungen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse sind.

Für das Multiplikatorsystem wird der Erwartungswert E(Multiplikator)\mathbb{E}(\text{Multiplikator})E(Multiplikator) wie folgt berechnet:

Einsetzen der Werte aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

E(Multiplikator)=(1×0.40)+(2×0.30)+(3×0.15)+(4×0.10)+(5×0.05)\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = (1 \mal 0.40) + (2 \mal 0.30) + (3 \mal 0.15) + (4 \mal 0.10) + (5 \mal 0.05)E(Multiplikator)=(1×0.40)+(2×0.30)+(3×0.15)+(4×0.10)+(5×0.05)

Berechnung dieser:

E(Multiplikator)=0,40+0,60+0,45+0,40+0,25=2,10\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = 0,40 + 0,60 + 0,45 + 0,40 + 0,25 = 2,10E(Multiplikator)=0,40+0,60+0,45+0,40+0,25=2,10

Somit beträgt der erwartete Wert des Multiplikators 2,10, was bedeutet, dass die Gewinne eines Spielers im Durchschnitt mit etwa 2,10 multipliziert werden. Dieser Erwartungswert wird verwendet, um die Auszahlungsstruktur zu gestalten und die Ticketpreise festzulegen, um sicherzustellen, dass das Spiel profitabel bleibt und den Spielern gleichzeitig erhebliche Belohnungen bietet.

Wolfram Language Code zur Berechnung des Erwartungswerts

Wolfram

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(* Berechnen Sie den Erwartungswert des Multiplikators *)

expectedMultiplier = Gesamt[Multiplikatoren * multiplierProbabilities]

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

erwarteter Multiplikator

Dieser Code berechnet den erwarteten Wert des Multiplikators als 2,10 und gibt einen Einblick in die langfristigen durchschnittlichen Auswirkungen des Multiplikators auf die Spielergewinne.

3.3.3. Einfluss der Multiplikatorverteilung auf das Spielerlebnis

Das Multiplikatorsystem fügt dem Spiel ein Element der Überraschung und Vorfreude hinzu, da die Spieler nicht nur daran interessiert sind, die Zahlen zu finden, sondern auch gespannt darauf sind, welcher Multiplikator auf ihren Preis angewendet wird. Diese zufällige Variabilität hält das Spiel spannend, da auch kleinere Gewinne durch einen hohen Multiplikator deutlich gesteigert werden können.

Die Seltenheit der höheren Multiplikatoren (4x und 5x) sorgt dafür, dass es nicht häufig zu hohen Auszahlungen kommt, wodurch die Rentabilität des Spiels erhalten bleibt und gleichzeitig die Spannung über die Möglichkeit, einen großen Preis zu gewinnen, aufrechterhalten wird. Die Spieler erhalten oft einen 1x- oder 2x-Multiplikator, aber der gelegentlich hohe Multiplikator erzeugt einen lotterieähnlichen Nervenkitzel , der die Spieler immer wieder zurückkommen lässt.

Kumulative Wahrscheinlichkeit für höhere Multiplikatoren

Die kumulative Wahrscheinlichkeit , einen Multiplikator von 3x oder höher zu erhalten, beträgt:

P(Multiplikator≥3)=P(3x)+P(4x)+P(5x)=0,15+0,10+0,05=0,30P(\text{Multiplikator} \geq 3) = P(3x) + P(4x) + P(5x) = 0,15 + 0,10 + 0,05 = 0,30P(Multiplikator≥3)=P(3x)+P(4x)+P(5x)=0,15+0,10+0,05=0,30

Das bedeutet, dass die Spieler eine Chance von 30 % haben , einen 3-fachen oder höheren Multiplikator zu erhalten, was ihrer potenziellen Auszahlung eine beträchtliche Variabilität und Spannung verleiht.

Wolfram Language Code für kumulative Wahrscheinlichkeit

Wolfram

Code kopieren

(* Berechnen Sie die kumulative Wahrscheinlichkeit, einen Multiplikator von 3x oder höher zu erhalten *)

cumulativeProbability = Gesamt[multiplierProbabilities[[3 ;; 5]]]

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

kumulativeWahrscheinlichkeit

Dieser Code berechnet die kumulative Wahrscheinlichkeit, einen 3-, 4- oder 5-fachen Multiplikator zu erhalten, der 0,30 (oder 30 %) beträgt.

3.3.4. Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten an die Rentabilität

Die Wahrscheinlichkeiten, die jedem Multiplikator zugewiesen sind, können fein abgestimmt werden, um Rentabilität und Spielerspannung in Einklang zu bringen. Zum Beispiel kann die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit niedrigerer Multiplikatoren (1x und 2x) bei gleichzeitiger Verringerung der Wahrscheinlichkeit höherer Multiplikatoren (4x und 5x) dazu beitragen, die Rentabilität aufrechtzuerhalten und gleichzeitig die Möglichkeit größerer Auszahlungen zu bieten.

Hier sind ein paar alternative Multiplikatorverteilungen , die getestet werden könnten:

Multiplikator	Aktuelle Wahrscheinlichkeit	Alternative A	Alternative B
1x	0.40	0.45	0.50
2x	0.30	0.30	0.30
3x	0.15	0.10	0.10
4-fach	0.10	0.10	0.07
5-fach	0.05	0.05	0.03

Durch das Anpassen der Wahrscheinlichkeiten verschiebt sich der Erwartungswert des Multiplikators, was sich sowohl auf das Spielerlebnis als auch auf die Rentabilität auswirkt. Der Erwartungswert für jede alternative Konfiguration kann neu berechnet werden, um zu bestimmen, welche Verteilung am besten zu den Zielen des Betreibers passt.

Testen alternativer Multiplikatorverteilungen in Wolfram Language

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie eine alternative Multiplikator-Wahrscheinlichkeitsverteilung *)

alternativeMultiplikatorWahrscheinlichkeiten = {0,45, 0,30, 0,10, 0,10, 0,05};

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für die alternative Verteilung *)

alternativeExpectedMultiplier = Gesamt[Multiplikatoren * alternativeMultiplierProbabilities]

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

alternativeExpectedMultiplier

Durch die Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten können die Betreiber mit verschiedenen Konfigurationen experimentieren, um das Gleichgewicht zwischen Begeisterung und langfristiger Nachhaltigkeit zu optimieren.

3.3.5. Visualisierung von Multiplikatorverteilungseffekten

Um die Auswirkungen verschiedener Multiplikatorverteilungen besser zu verstehen, können grafische Visualisierungen hilfreich sein. Visuelle Darstellungen der erwarteten Auszahlungen auf der Grundlage verschiedener Multiplikatorverteilungen ermöglichen es den Betreibern zu sehen, wie sich verschiedene Konfigurationen auf die gesamte Auszahlungskurve des Spiels auswirken.

Wolfram

Code kopieren

(* Generieren Sie ein Diagramm des Erwartungswerts für verschiedene alternative Multiplikatorverteilungen *)

alternativeVerteilungen = {

{0.45, 0.30, 0.10, 0.10, 0.05},

{0.50, 0.30, 0.10, 0.07, 0.03}

};

alternativeExpectedValues = Tabelle[Gesamt[Multiplikatoren * Abstand], {Abstand, alternativeVerteilungen}];

BarChart[alternativeExpectedValues, ChartLabels -> {"Alt A", "Alt B"},

PlotLabel -> "Erwartungswert für alternative Multiplikatorverteilungen",

AxesLabel -> {"Verteilung", "Erwarteter Wert"}]

Dieses Balkendiagramm vergleicht die erwarteten Werte verschiedener Multiplikatorverteilungen und hilft den Betreibern zu visualisieren, wie sich Änderungen der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten auf das Gesamtauszahlungspotenzial des Spiels auswirken.

3.3.6. Schlussfolgerung

Die Multiplikator-Wahrscheinlichkeitsverteilung in "Pick & Multiply" ist ein kritisches Element, das sowohl das Spielerlebnis als auch die Rentabilität des Spiels beeinflusst. Durch das sorgfältige Ausbalancieren der Wahrscheinlichkeiten jedes Multiplikators kann das Spiel die Spannung der Spieler aufrechterhalten und gleichzeitig nachhaltige Auszahlungen gewährleisten. Der Erwartungswert des Multiplikators, der für die aktuelle Konfiguration mit 2,10 berechnet wird, bietet eine Grundlage für die Analyse der Auswirkungen alternativer Verteilungen.

Im nächsten Abschnitt wird die Auszahlungsstruktur genauer untersucht und untersucht, wie Spielwahrscheinlichkeiten und Multiplikatorergebnisse kombiniert werden, um ein ausgewogenes, profitables Lotteriespiel zu schaffen.

4. Auszahlungsstruktur

4.1. Gestaltung der Preisverteilung

Das Design der Preisverteilung in "Pick & Multiply" ist sorgfältig strukturiert, um die Zufriedenheit der Spieler, die Spannung und die Rentabilität des Spiels in Einklang zu bringen. In diesem Abschnitt wird untersucht, wie das Spiel die Preise auf der Grundlage unterschiedlicher Spielergebnisse verteilt, welche Rolle das Multiplikatorsystem spielt und wie dieses Design die langfristige Nachhaltigkeit gewährleistet. Die Gestaltung der Gewinnverteilung ist direkt mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen sowie der Anwendung von Multiplikatoren verknüpft, die beide zusammen ein abwechslungsreiches und dynamisches Auszahlungssystem schaffen.

4.1.1. Überblick über die Preisstufen

Bei "Pick & Multiply" ist die Preisstruktur gestaffelt, was bedeutet, dass die Spieler basierend auf der Anzahl der richtigen Zahlen belohnt werden. Das grundlegende Stufensystem des Spiels sieht wie folgt aus:

Stimmen Sie mit allen 4 Zahlen überein: Jackpot-Preis (Grundbetrag unterliegt dem Multiplikator).
3 richtige Zahlen: Mittlerer Preis.
2 Richtige Zahlen: Preis der unteren Stufe.
1-Gewinner-Zahl: In der Regel kein Preis oder ein nomineller Preis (je nach Spielvariante).

Der Preis für weniger richtige Zahlen ist deutlich kleiner als für alle vier, aber er kann immer noch multipliziert werden und bietet sinnvolle Belohnungen für kleinere Gewinne. Dieser abgestufte Ansatz stellt sicher, dass die Spieler eine Chance auf einen Gewinn haben, auch wenn sie nicht alle vier Zahlen treffen, was das allgemeine Engagement und die Bindung erhöht.

4.1.2. Berechnung des Preises auf der Grundlage von Matching Numbers

Die Gewinnbeträge für jede Stufe werden sowohl von der Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen als auch von den erwarteten Auszahlungen beeinflusst. Hier ist ein Beispiel für eine grundlegende Preisstruktur, bei der davon ausgegangen wird, dass es keine Multiplikatoren gibt:

Spielergebnis	Grundpreis (HUF)
Spiel 4	100,000
Spiel 3	10,000
Spiel 2	1,000
Spiel 1	Kein Preis

Diese Basisgewinne werden mit dem zufälligen Multiplikator multipliziert, der nach der Auswahl der Zahlen gezogen wird, was der Gewinnverteilung zusätzliche Variabilität verleiht.

4.1.2.1. Beispiel: Auszahlung bei 4 richtigen Zahlen

Für einen Spieler, der alle 4 Zahlen richtig hat, beträgt der Basis-Jackpot-Preis 100.000 HUF. Dieser Preis unterliegt jedoch einem zufälligen Multiplikator von 1x bis 5x. Wenn der gezogene Multiplikator zum Beispiel 3x beträgt, wäre die endgültige Auszahlung für alle 4 richtigen Zahlen:

Auszahlung=100.000×3=300.000 HUF\text{Auszahlung} = 100.000 \times 3 = 300.000 \, \text{HUF}Auszahlung=100.000×3=300.000 HUF

Dieser Multiplikatoreffekt steigert die Spannung des Spiels erheblich und erhöht die potenzielle Auszahlung für die Spieler.

4.1.2.2. Beispiel: Auszahlung für 3 richtige Zahlen

Wenn ein Spieler 3 Zahlen richtig hat, beträgt der Grundpreis 10.000 HUF. Auch dieser Preis unterliegt dem Multiplikator. Wenn der gezogene Multiplikator 2x beträgt, beträgt die endgültige Auszahlung für 3 übereinstimmende Zahlen:

Auszahlung=10.000×2=20.000 HUF\text{Auszahlung} = 10.000 \times 2 = 20.000 \, \text{HUF}Auszahlung=10.000×2=20.000 HUF

4.1.3. Preisverteilungstabelle mit Multiplikatoren

Um ein besseres Verständnis dafür zu vermitteln, wie sich das Multiplikatorsystem auf die endgültige Auszahlung auswirkt, finden Sie hier eine Tabelle, die die potenzielle Auszahlung für jede Gewinnklasse basierend auf unterschiedlichen Multiplikatorwerten zeigt:

Spielergebnis	Grundpreis (HUF)	1x Multiplizieren	2x Multiplizieren	3x Multiplizieren	4x Multiplizieren	5x multiplizieren
Spiel 4	100,000	100,000	200,000	300,000	400,000	500,000
Spiel 3	10,000	10,000	20,000	30,000	40,000	50,000
Spiel 2	1,000	1,000	2,000	3,000	4,000	5,000
Spiel 1	0	0	0	0	0	0

Dieses Design der Preisverteilung stellt sicher, dass Preise in höheren Stufen zwar selten sind, die Multiplikatoren jedoch die Grundauszahlung erheblich verbessern, insbesondere bei Gewinnen auf niedrigeren Stufen.

4.1.4. Anpassung der Preisverteilung an die Rentabilität

Die Preisverteilung muss sorgfältig verwaltet werden, um sicherzustellen, dass das Spiel profitabel bleibt. Einer der Schlüsselfaktoren ist der Erwartungswert (EV) des Spiels, der niedriger sein muss als der Ticketpreis, um die Rentabilität im Laufe der Zeit aufrechtzuerhalten. Der EV der Preisverteilung unter Einbeziehung des Multiplikatorsystems wird berechnet, indem die Produkte aus der Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses und der damit verbundenen Auszahlung addiert werden.

4.1.4.1. Erwarteter Wert der Preisverteilung

Der Erwartungswert für jedes Spielergebnis kann berechnet werden, indem die Wahrscheinlichkeit jedes Spielergebnisses mit der erwarteten Auszahlung (unter Berücksichtigung des Multiplikators) multipliziert wird. Der erwartete Gesamtwert für das Spiel ist die Summe der erwarteten Werte aller Spielergebnisse.

Zum Beispiel ist die erwartete Auszahlung für das Richtige aller 4 Zahlen, einschließlich des Multiplikators:

E(Auszahlung für Richtige 4)=P(Richtige 4)×E (Multiplikator)×Grundpreis\mathbb{E}(\text{Auszahlung für Richtige 4}) = P(\text{Richtige 4}) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Basispreis}E(Auszahlung für Richtige 4)=P(Richtige 4)×E (Multiplikator)×Grundpreis

Ersetzen der bekannten Werte:

E(Auszahlung für 4 Match)=1230.300×2,10×100.000=0,91 HUF\mathbb{E}(\text{Auszahlung für 4 Match}) = \frac{1}{230.300} \times 2,10 \times 100.000 = 0,91 \, \text{HUF}E(Auszahlung für 4 Match)=230.3001×2,10×100.000=0,91 HUF

In ähnlicher Weise beträgt die erwartete Auszahlung für 3 übereinstimmende Zahlen :

E(Auszahlung für 3 Richtige)=P(3 Richtige)×E(Multiplikator)×Grundpreis\mathbb{E}(\text{Auszahlung für 3 Richtige}) = P(\text{3}) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Basispreis}E(Auszahlung für 3 Richtige)=P(3Richtige )×E(Multiplikator)×Grundpreis E(Auszahlung für 3 Richtige)=0,000799×2,10×10,000=16,78 HUF\mathbb{E}(\text{Auszahlung für 3 Richtige}) = 0,000799 \times 2,10 \mal 10.000 = 16,78 \, \text{HUF}E(Auszahlung für 3 Match)=0,000799×2,10×10.000=16,78 HUF

Der erwartete Gesamtwert des Spiels ist die Summe aller erwarteten Auszahlungen:

E(Gesamtauszahlung)=∑iP(Match i)×E(Multiplikator)×Grundpreis\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = \sum_{i} P(\text{Match } i) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Basispreis}E(Gesamtauszahlung)=i∑P(Match i)×E(Multiplikator)×Basispreis

Wolfram Language Code für die Berechnung des Erwartungswerts

Wolfram

Code kopieren

(* Spielwahrscheinlichkeiten und Basispreise definieren *)

matchProbabilities = {1/230300, 0,000799, 0,02696, 0,2634};

basePrizes = {100000, 10000, 1000, 0};

erwarteter Multiplikator = 2,10;

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für jedes Spielergebnis *)

expectedPayouts = matchProbabilities * basePrizes * expectedMultiplier;

(* Berechnen Sie den erwarteten Gesamtwert *)

totalExpectedValue = Gesamt[erwartete Auszahlungen]

(* Geben Sie das Ergebnis aus *)

totalExpectedValue

Dieser Code berechnet den erwarteten Gesamtwert des Spiels, der dann mit dem Ticketpreis verglichen werden kann, um die Rentabilität zu gewährleisten.

4.1.5. Visualisierung der Preisverteilung

Die Visualisierung der Preisverteilung hilft sowohl den Betreibern als auch den Spielern, die potenziellen Auszahlungen auf jeder Stufe zu verstehen. Ein Balkendiagramm oder Histogramm kann verwendet werden, um die Verteilung der Preise auf verschiedene Spielergebnisse und Multiplikatorwerte darzustellen.

Wolfram

Code kopieren

(* Visualisieren Sie die Preisverteilung auf verschiedene Spielergebnisse und Multiplikatoren *)

BarChart[Transpose[{basePrizes * 1, basePrizes * 2, basePrizes * 3, basePrizes * 4, basePrizes * 5}],

ChartLabels -> {"Übereinstimmung 4", "Übereinstimmung 3", "Übereinstimmung 2", "Übereinstimmung 1"},

ChartLegends -> {"1x multiplizieren", "2x multiplizieren", "3x multiplizieren", "4x multiplizieren", "5x multiplizieren"},

PlotLabel -> "Preisverteilung mit Multiplikatoren", BarSpacing -> 0.5]

Dieses Balkendiagramm bietet eine visuelle Darstellung, wie sich die Preisverteilung basierend auf der Anwendung der Multiplikatoren ändert, und bietet einen Einblick sowohl in die Variabilität der Auszahlungen als auch in die Balance der Preisstruktur.

4.1.6. Schlussfolgerung

Das Design der Preisverteilung in "Pick & Multiply" ist eine Schlüsselkomponente, die das Spielerlebnis und die finanzielle Tragfähigkeit des Spiels prägt. Durch die Staffelung der Preise basierend auf der Anzahl der Spiele und die Anwendung zufälliger Multiplikatoren gewährleistet das Spiel ein Gleichgewicht zwischen Spannung und Rentabilität. Die sorgfältige Berechnung der Erwartungswerte hilft den Betreibern, die langfristige Nachhaltigkeit zu erhalten und den Spielern dennoch die Möglichkeit erheblicher Auszahlungen zu bieten.

Im nächsten Abschnitt wird die Beziehung zwischen Spielwahrscheinlichkeit und Gewinnhöhe untersucht und tiefer in die Frage eingetaucht, wie das Spiel ein faires Gleichgewicht zwischen Schwierigkeitsgrad und Belohnungen gewährleistet.

4. Auszahlungsstruktur

4.2. Beziehung zwischen Spielwahrscheinlichkeit und Gewinnhöhe

Das Verhältnis zwischen Spielwahrscheinlichkeit und Gewinnbetrag in "Pick & Multiply" wird sorgfältig ausbalanciert, um das Engagement der Spieler aufrechtzuerhalten, die Rentabilität zu gewährleisten und Spannung zu erzeugen. Die Preisstruktur muss die Schwierigkeit des jeweiligen Spielergebnisses widerspiegeln, wobei seltenere Ereignisse (z. B. das Richtige aller 4 Zahlen) im Vergleich zu häufigeren Ergebnissen (z. B. 2 oder 3 richtige Zahlen) deutlich größere Belohnungen bieten. In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Spielergebnisse zur Bestimmung der Preisbeträge verwendet werden, um eine faire und ausgewogene Auszahlungsstruktur zu gewährleisten.

4.2.1. Übersicht über die Übereinstimmungswahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Zahlen aus der Auswahl des Spielers übereinstimmt, wird durch die Kombinatorik des Spiels bestimmt. Bei "Pick & Multiply" wählt der Spieler 4 Zahlen aus einem Pool von 50 aus, und die Spielwahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse (1, 2, 3 oder 4 übereinstimmende Zahlen) wurden zuvor wie folgt berechnet:

Spielergebnis	Wahrscheinlichkeit
Spiel 4	P(Treffer 4)=1230,300P(\text{Treffer 4}) = \frac{1}{230,300}P(Treffer 4)=230,3001
Spiel 3	P(entspricht 3)=0,000799P(\text{entspricht 3}) = 0,000799P(entspricht 3)=0,000799
Spiel 2	P(Treffer 2)=0,02696P(\text{Treffer 2}) = 0,02696P(Treffer 2)=0,02696
Spiel 1	P(Übereinstimmung 1)=0,2634P(\text{Übereinstimmung 1}) = 0,2634P(Übereinstimmung 1)=0,2634
0 Treffer	P(Treffer 0)=0,8447P(\text{Treffer 0}) = 0,8447P(Treffer 0)=0,8447

Angesichts dieser Wahrscheinlichkeiten ist es klar, dass 4 richtige Zahlen deutlich seltener sind als 1, 2 oder 3 richtige Zahlen. Diese Seltenheit rechtfertigt höhere Auszahlungen für seltenere Ereignisse, während häufigere Ergebnisse mit kleineren Preisen belohnt werden, um die Finanzstruktur des Spiels auszugleichen.

4.2.2. Skalierung des Gewinnbetrags mit der Übereinstimmungswahrscheinlichkeit

Der Gewinnbetrag für jedes Spielergebnis ist proportional zum Kehrwert der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Dies stellt sicher, dass die Auszahlung umso höher ist, je seltener das Ereignis ist. Die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit PPP und dem Preis Prize\text{Prize}Prize für jede Übereinstimmungsstufe kann wie folgt modelliert werden:

Preis∝1P\text{Preis} \propto \frac{1}{P}Preis∝P1

Diese umgekehrte Beziehung schafft ein natürliches Skalierungssystem, bei dem größere Auszahlungen für seltenere Übereinstimmungen angeboten werden. Wenn zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Zahlen richtig liegen, extrem niedrig ist (P(Match 4)=1230,300P(\text{Match 4}) = \frac{1}{230,300}P(Match 4)=230,3001), kann der Gewinnbetrag für dieses Event sehr hoch angesetzt werden, um den Schwierigkeitsgrad widerzuspiegeln.

Formel für den Preisbetrag

Die Preissumme Preis(m)\text{Preis}(m)Preis(m) für übereinstimmende mmm-Nummern kann wie folgt bestimmt werden:

Preis(m)=KP(Übereinstimmung m)\text{Preis}(m) = \frac{K}{P(\text{Übereinstimmung } m)}Preis(m)=P(Übereinstimmung m)K

Wo:

KKK ist eine Konstante, die ausgewählt wurde, um die erwartete Gesamtauszahlung mit dem Ticketpreis und der gewünschten Rentabilität in Einklang zu bringen.
P(Match m)P(\text{Match } m)P(Match m) ist die Wahrscheinlichkeit, dass mmm-Zahlen übereinstimmen.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass K = 100.000.000 K = 100.000.000 K = 100.000.000 HUF als Preiskonstante für den Ausgleich der Auszahlungen gilt. Der Basisgewinn für 4 richtige Zahlen wäre dann:

Preis(4)=100.000.0001230.300=100.000 HUF\text{Preis}(4) = \frac{100.000.000}{\frac{1}{230.300}} = 100.000 \, \text{HUF}Preis(4)=230.3001100.000.000=100.000 HUF

Für 3 richtige Zahlen wird der Basisgewinn:

Preis(3)=100.000.000.000799=125.156 HUF\text{Preis}(3) = \frac{100.000.000}{0.000799} = 125.156 \, \text{HUF}Preis(3)=0.000799100.000.000=125.156HUF

Um jedoch eine attraktivere Preisverteilung zu schaffen und die Finanzen des Spiels zu verwalten, werden diese Rohberechnungen in der Regel an das Preisstaffelsystem des Spiels angepasst. In diesem Fall können sich die Betreiber dafür entscheiden, bestimmte Preisstufen zu runden oder festzulegen, die in die umfassendere Strategie für die Spielerbindung passen.

Wolfram Language Code für die Berechnung des Preisbetrags

Wolfram

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(* Übereinstimmungswahrscheinlichkeiten definieren *)

matchProbabilities = {1/230300, 0,000799, 0,02696, 0,2634};

(* Setze die Preiskonstante K *)

K = 100000000;

(* Berechnen Sie die Grundpreisbeträge für jedes Spielergebnis *)

prizes = K / matchProbabilities;

(* Geben Sie die Gewinnbeträge aus *)

Preise

Dieser Code berechnet die Basisgewinnbeträge für jedes Spielergebnis basierend auf dem Kehrwert der Spielwahrscheinlichkeiten und der Konstante KKK.

4.2.3. Anpassung der Preisbeträge für die Attraktivität der Spieler

Während die theoretischen Gewinnbeträge eine Grundlage darstellen, passen reale Lotteriespiele diese Zahlen oft an, um runde, attraktive Preise zu schaffen, die für die Spieler leicht verständlich sind. Zum Beispiel können die Basispreise für "Pick & Multiply" wie folgt festgelegt werden:

Spielergebnis	Wahrscheinlichkeit	Angepasster Preis (HUF)
Spiel 4	1230,300\frac{1}{230,300}230,3001	100,000
Spiel 3	0.000799	10,000
Spiel 2	0.02696	1,000
Spiel 1	0.2634	Kein Preis

Diese angepassten Preise fügen sich in die Preisstruktur des Spiels ein und stellen sicher, dass höhere Preise für seltenere Ereignisse reserviert sind, während sie immer noch sinnvolle Belohnungen für weniger richtige Zahlen bieten.

Visualisierung der Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und Gewinnhöhe

Um die Beziehung zwischen der Spielwahrscheinlichkeit und dem Gewinnbetrag zu visualisieren, kann ein logarithmisches Diagramm verwendet werden, da die Wahrscheinlichkeiten, verschiedene Zahlen zu treffen, sehr unterschiedlich sind:

Wolfram

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(* Erstellen Sie ein logarithmisches Diagramm der Wahrscheinlichkeit im Vergleich zum Gewinnbetrag *)

ListLogPlot[Transpose[{matchProbabilities, {100000, 10000, 1000, 0}}],

plotStyle -> {blau, dick},

PlotLabel -> "Logarithmische Beziehung zwischen Übereinstimmungswahrscheinlichkeit und Gewinnhöhe",

AxesLabel -> {"Spielwahrscheinlichkeit", "Gewinnbetrag (HUF)"},

ScalingFunctions -> {"Log", keine}]

Dieses Diagramm zeigt visuell, wie die Gewinnbeträge mit abnehmenden Spielwahrscheinlichkeiten deutlich steigen, und zeigt die umgekehrte Beziehung zwischen diesen beiden Schlüsselfaktoren.

4.2.4. Erwartete Gesamtauszahlung für alle Spiele

Die erwartete Gesamtauszahlung wird berechnet, indem der erwartete Wert für jede Preisklasse addiert wird. Der Erwartungswert (EV) für jedes Spielergebnis ergibt sich aus:

E(Übereinstimmung m)=P(Übereinstimmung m)×Preis(m)\mathbb{E}(\text{Übereinstimmung } m) = P(\text{Übereinstimmung } m) \times \text{Preis}(m)E(Übereinstimmung m)=P(Übereinstimmung m)×Preis(m)

Die erwartete Gesamtauszahlung für das Spiel ist dann die Summe der erwarteten Werte über alle Spielstufen hinweg:

E(Gesamtauszahlung)=∑m=14P(Gleiche m)×Preis(m)\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = \sum_{m=1}^{4} P(\text{Übereinstimmung } m) \times \text{Preis}(m)E(Gesamtauszahlung)=m=1∑4P(Übereinstimmung m)×Preis(m)

Für die aktuelle Gewinnverteilung kann die erwartete Gesamtauszahlung wie folgt berechnet werden:

Spielergebnis	Wahrscheinlichkeit	Preis (HUF)	Erwartete Auszahlung (HUF)
Spiel 4	1230,300\frac{1}{230,300}230,3001	100,000	0.43
Spiel 3	0.000799	10,000	7.99
Spiel 2	0.02696	1,000	26.96
Spiel 1	0.2634	0	0

Die erwartete Gesamtauszahlung ergibt sich aus der Summe dieser Werte:

E(Gesamtauszahlung)=0,43+7,99+26,96+0=35,38 HUF\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = 0,43 + 7,99 + 26,96 + 0 = 35,38 \, \text{HUF}E(Gesamtauszahlung)=0,43+7,99+26,96+0=35,38 HUF

Diese erwartete Auszahlung wird dann mit dem Ticketpreis verglichen, um sicherzustellen, dass das Spiel profitabel bleibt. Wenn zum Beispiel der Ticketpreis auf 200 HUF festgelegt wird, würde das Spiel angesichts der geringen erwarteten Auszahlung im Verhältnis zu den Ticketkosten eine beträchtliche Rentabilitätsspanne generieren.

Wolfram Language Code für die Berechnung der erwarteten Auszahlung

Wolfram

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(* Definieren Sie die angepassten Preisbeträge *)

adjustedPrizes = {100000, 10000, 1000, 0};

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für jedes Spielergebnis *)

erwartete Auszahlungen = matchProbabilities * adjustedPrizes;

(* Berechnen Sie die erwartete Gesamtauszahlung *)

totalExpectedPayout = Total[erwartete Auszahlungen]

(* Geben Sie die erwartete Gesamtauszahlung aus *)

totalExpectedAuszahlung

Dieser Code berechnet die erwartete Gesamtauszahlung auf der Grundlage der angepassten Preisbeträge und Spielwahrscheinlichkeiten, um die finanzielle Nachhaltigkeit des Spiels zu gewährleisten.

4.2.5. Anpassungen des Preisbetrags für das Multiplikatorsystem

Das Multiplikatorsystem verbessert die Preisverteilung weiter, indem es einen zufälligen Multiplikator auf jede Gewinnstufe anwendet. Dieses dynamische System führt eine zusätzliche Ebene der Variabilität und Spannung für die Spieler ein, da ihre Auszahlung je nach Multiplikator bis zu 5-mal steigen kann.

Der erwartete Multiplikatorwert wurde bereits mit 2,10 berechnet, was bedeutet, dass die Spieler im Durchschnitt mit einer Verdoppelung ihres Gewinns rechnen können. Der multiplikatorbereinigte Preis für jede Stufe kann wie folgt berechnet werden:

Angepasster Preis(m)=Preis(m)×E(Multiplikator)\text{Angepasster Preis}(m) = \text{Preis}(m) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator})Angepasster Preis(m)=Preis(m)×E(Multiplikator)

Wenn beispielsweise 4 Zahlen übereinstimmen, beträgt der erwartete multiplikatorbereinigte Gewinn:

Angepasster Preis(4)=100.000×2.10=210.000 HUF\text{Angepasster Preis}(4) = 100.000 \times 2.10 = 210.000 \, \text{HUF}Angepasster Preis(4)=100.000×2.10=210.000 HUF

4.2.6. Schlussfolgerung

Die Beziehung zwischen der Spielwahrscheinlichkeit und dem Gewinnbetrag bei "Pick & Multiply" basiert auf der umgekehrten Beziehung zwischen der Seltenheit, eine bestimmte Anzahl von Zahlen zu treffen, und der Auszahlung, die mit diesem Ergebnis verbunden ist. Dieses Design stellt sicher, dass höhere Belohnungen für seltenere Ereignisse reserviert sind, während häufigere Match-Ergebnisse kleinere Preise erhalten. Die Hinzufügung des Multiplikatorsystems erhöht die Variabilität und Spannung des Spiels weiter und gewährleistet sowohl die Bindung der Spieler als auch die langfristige Rentabilität für die Betreiber.

Im nächsten Abschnitt werden die Auswirkungen von Multiplikatoren auf die Auszahlungen untersucht und näher darauf eingegangen, wie das Multiplikatorsystem die Endpreise dynamisch anpasst und zusätzliche Spannung für die Spieler schafft.

4. Auszahlungsstruktur

4.3. Auswirkungen von Multiplikatoren auf Auszahlungen

Bei "Pick & Multiply" beeinflusst das Multiplikatorsystem die Auszahlungsstruktur des Spiels erheblich, indem es die endgültigen Gewinnbeträge dynamisch anpasst. Der Multiplikator, der zwischen 1x und 5x liegt, wird auf den Grundpreis angewendet, den ein Spieler durch Matching Numbers verdient. In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich der Multiplikator auf die Gesamtpreisverteilung, die erwartete Auszahlung für die verschiedenen Gewinnklassen auswirkt und wie das Multiplikatorsystem sowohl das Spielerlebnis als auch die Rentabilität des Spiels verbessert.

4.3.1. Funktionsweise des Multiplikatorsystems

Der Multiplikator wird auf jeden Preis angewendet, den ein Spieler gewinnt, nachdem er 2, 3 oder 4 Zahlen richtig tippt. Sobald der Basispreis des Spielers durch die Anzahl der Übereinstimmungen bestimmt wird, wird ein zufälliger Multiplikator aus dem Set {1x,2x,3x,4x,5x}\{1x, 2x, 3x, 4x, 5x\}{1x,2x,3x,4x,5x} mit vordefinierten Wahrscheinlichkeiten wie folgt gezogen:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Dieses System stellt sicher, dass höhere Multiplikatoren seltener sind, und sorgt für ein Element der Spannung, wenn ein großer Multiplikator gezogen wird, während die Gesamtrentabilität des Spiels erhalten bleibt.

4.3.2. Erwartete Auszahlung mit Multiplikatoren

Der Erwartungswert (EV) des Multiplikatorsystems wurde zuvor mit 2,10 berechnet, was bedeutet, dass der Gewinn des Spielers im Durchschnitt mit 2,10 multipliziert wird. Dieser erwartete Multiplikator wird verwendet, um die erwartete Endauszahlung für jede Preisklasse zu berechnen.

Für ein bestimmtes Spielergebnis beträgt die erwartete Auszahlung :

E(Auszahlung für Match m)=E(Multiplikator)×Grundpreis(m)\mathbb{E}(\text{Auszahlung für Match } m) = \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Basispreis}(m)E(Auszahlung für Match m)=E(Multiplikator)×Basispreis(m)

Wo:

E(Multiplizieren)=2.10\mathbb{E}(\text{Multiplizieren}) = 2.10E(Multiplizieren)=2.10,
Basispreis(m)\text{Basispreis}(m)Der Basispreis(m) ist der Preis für übereinstimmende mmm-Zahlen ohne den Multiplikator.

Beispiel: Erwartete Auszahlung für 4 richtige Zahlen

Für alle 4 richtigen Zahlen beträgt der Grundpreis 100.000 HUF. Bei Anwendung des erwarteten Multiplikators beträgt die erwartete Endauszahlung:

E(Auszahlung für 4Richtige = 2,10×100.000 = 210.000 HUF\mathbb{E}(\text{Auszahlung für 4 Richtige }) = 2,10 \times 100.000 = 210.000 \, \text{HUF}E (Auszahlung für 4 Richtige)=2,10×100.000 = 210.000 HUF

Diese erwartete Auszahlung spiegelt den durchschnittlichen Preis wider, den Spieler erwarten können, wenn sie 4 Zahlen richtig tippen, wobei die durch das Multiplikatorsystem eingeführte Variabilität berücksichtigt wird.

Beispiel: Erwartete Auszahlung für 3 richtige Zahlen

Für 3 richtige Zahlen beträgt der Grundpreis 10.000 HUF. Unter Anwendung des erwarteten Multiplikators beträgt die erwartete Endauszahlung:

E(Auszahlung für 3 Match)=2,10×10.000=21.000 HUF\mathbb{E}(\text{Auszahlung für 3 Match}) = 2,10 \times 10.000 = 21.000 \, \text{HUF}E(Auszahlung für 3 Match)=2,10×10.000=21.000 HUF

Diese Auszahlung zeigt, dass auch kleinere Spiele aufgrund der Wirkung des Multiplikatorsystems zu bedeutenden Belohnungen führen können.

Wolfram Language Code für die Berechnung der erwarteten Auszahlung mit Multiplikatoren

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Grundpreisbeträge für jedes Spielergebnis *)

basePrizes = {100000, 10000, 1000};

(* Definieren Sie den erwarteten Multiplikatorwert *)

erwarteter Multiplikator = 2,10;

(* Berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen für jedes Spielergebnis *)

erwartete Auszahlungen = erwarteter Multiplikator * basePrizes;

(* Geben Sie die erwarteten Auszahlungen aus *)

erwartete Auszahlungen

Dieser Code berechnet die erwartete Endauszahlung für jede Gewinnklasse unter Einbeziehung des Multiplikatorsystems.

4.3.3. Bandbreite der Auszahlungen basierend auf Multiplikatorwerten

Während der erwartete Wert des Multiplikators 2,10 beträgt, kann die tatsächliche Auszahlung, die ein Spieler erhält, je nach gezogenem Multiplikator variieren. Die folgende Tabelle zeigt die Bandbreite der möglichen Auszahlungen für jede Gewinnklasse, basierend auf unterschiedlichen Multiplikatorwerten:

Spielergebnis	Grundpreis (HUF)	1x Multiplizieren	2x Multiplizieren	3x Multiplizieren	4x Multiplizieren	5x multiplizieren
Spiel 4	100,000	100,000	200,000	300,000	400,000	500,000
Spiel 3	10,000	10,000	20,000	30,000	40,000	50,000
Spiel 2	1,000	1,000	2,000	3,000	4,000	5,000

Dieser Bereich zeigt, wie das Multiplikatorsystem die Auszahlungen erheblich verbessern kann, insbesondere wenn ein höherer Multiplikator gezogen wird. Wenn Sie beispielsweise 4 Zahlen mit einem 5-fachen Multiplikator übereinstimmen, erhalten Sie eine Auszahlung von 500.000 HUF, was eine deutliche Steigerung gegenüber dem Grundpreis von 100.000 HUF darstellt.

Wolfram Language Code für Auszahlungsbereiche mit Multiplikatoren

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Multiplikatoren *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

(* Berechnen Sie den Bereich der Auszahlungen für jedes Spielergebnis basierend auf verschiedenen Multiplikatoren *)

payoutRanges = Outer[Zeiten, Basispreise, Multiplikatoren];

(* Ausgabe der Auszahlungsbereiche *)

AuszahlungRanges

Dieser Code generiert den Bereich der möglichen Auszahlungen für jedes Spielergebnis basierend auf dem angewendeten Multiplikator.

4.3.4. Variabilität und Spielerbindung

Das Multiplikatorsystem erhöht die Variabilität der Auszahlungsstruktur des Spiels und macht das Spiel für die Spieler interessanter. Während die Grundpreise allein erhebliche Belohnungen bieten, führt die zusätzliche Möglichkeit, diese Preise zu vervielfachen, für Unvorhersehbarkeit und Spannung. Die Spieler konzentrieren sich nicht nur auf übereinstimmende Zahlen, sondern warten auch gespannt auf die Multiplikator-Ziehung, da sie wissen, dass selbst ein kleinerer Gewinn erheblich gesteigert werden kann.

Beispiel: Spielererfahrung mit Match 2

Für Spieler, die nur 2 Zahlen richtig tippen, beträgt der Grundpreis 1.000 HUF. Mit der Anwendung eines 5-fachen Multiplikators kann dieser Preis jedoch auf 5.000 HUF anwachsen. Diese Möglichkeit hält die Spieler auch dann bei der Stange, wenn sie keine höheren Zahlen haben, da das Multiplikatorsystem ihnen die Chance bietet, trotz des niedrigen Gewinns eine bedeutende Auszahlung zu erhalten.

Wichtig ist auch die psychologische Wirkung des Multiplikatorensystems. Die Spieler haben einen Anreiz, häufiger teilzunehmen, da sie möglicherweise einen hohen Multiplikator erreichen, auch wenn ihr Ergebnis bei der Zahlenübereinstimmung nicht optimal ist. Diese Vorfreude fördert das wiederholte Spielen und steigert die Spielerbindung.

4.3.5. Auswirkungen auf die Rentabilität

Das Multiplikatorsystem verbessert zwar die Spielerbindung, muss aber auch sorgfältig ausbalanciert werden, um die Rentabilität des Spiels zu erhalten. Da der erwartete Multiplikatorwert 2,10 beträgt, muss dies bei der Gestaltung der Gesamtpreisverteilung berücksichtigt werden. Die erwartete Gesamtauszahlung des Spiels sollte unter dem Ticketpreis bleiben, um die Rentabilität zu gewährleisten, auch nach Anwendung von Multiplikatoren.

Erwartete Gesamtauszahlung mit Multiplikatoren

Die erwartete Gesamtauszahlung über alle Spielergebnisse unter Einbeziehung des Multiplikatorsystems kann berechnet werden, indem die erwartete Auszahlung für jedes Spielergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert wird:

E(Gesamtauszahlung)=∑m=14P(Match m)×E(Auszahlung für Match m)\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = \sum_{m=1}^{4} P(\text{Match } m) \times \mathbb{E}(\text{Auszahlung für Match } m)E(Gesamtauszahlung)=m=1∑4P(Match m)×E(Auszahlung für Match m)

Wenn der Basispreis für 4 richtige Zahlen beispielsweise 100.000 HUF beträgt, beträgt die erwartete Gesamtauszahlung für 4 richtige Zahlen (einschließlich des Multiplikators):

E(Auszahlung mit 4 Richtigen)=1230.300×210.000=0,91 HUF\mathbb{E}(\text{Auszahlung mit 4 Richtigen}) = \frac{1}{230.300} \times 210.000 = 0,91 \, \text{HUF}E(Auszahlung mit 4 Richtigen)=230.3001×210.000=0,91 HUF

Die Summierung aller Spielergebnisse ergibt die erwartete Gesamtauszahlung, die dann mit dem Ticketpreis verglichen wird.

Wolfram Language Code für die erwartete Gesamtauszahlung mit Multiplikatoren

Wolfram

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(* Übereinstimmungswahrscheinlichkeiten definieren *)

matchProbabilities = {1/230300, 0,000799, 0,02696, 0,2634};

(* Berechnen Sie die erwartete Gesamtauszahlung mit Multiplikatoren *)

expectedPayoutsWithMultipliers = matchProbabilities * erwartete Auszahlungen;

(* Berechnen Sie die erwartete Gesamtauszahlung *)

totalExpectedPayoutWithMultipliers = total[expectedPayoutsWithMultipliers]

(* Geben Sie die erwartete Gesamtauszahlung aus *)

totalExpectedPayoutWithMultipliers

Dieser Code berechnet die erwartete Gesamtauszahlung über alle Spielergebnisse hinweg und berücksichtigt dabei den Effekt des Multiplikatorsystems.

4.3.6. Schlussfolgerung

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" hat einen tiefgreifenden Einfluss auf die Auszahlungsstruktur des Spiels und fügt eine Ebene der Variabilität und Spannung hinzu, die das Engagement der Spieler erhöht. Der erwartete Multiplikatorwert von 2,10 erhöht die potenziellen Auszahlungen über alle Gewinnstufen hinweg, während die Rentabilität für den Betreiber erhalten bleibt. Durch das Ausbalancieren der Wahrscheinlichkeiten verschiedener Multiplikatoren und die sorgfältige Berechnung der erwarteten Auszahlungen bietet das Spiel den Spielern ein spannendes, dynamisches Erlebnis und gewährleistet gleichzeitig eine langfristige finanzielle Nachhaltigkeit.

Im nächsten Abschnitt wird die Rentabilitätsanalyse genauer untersucht und untersucht, wie der Ticketpreis und die erwarteten Auszahlungen zusammenwirken, um ein profitables Spielmodell zu schaffen.

5. Wirtschaftlichkeitsanalyse

5.1. Berechnung des Erwartungswerts für Jackpot-Preise

Die Berechnung des Erwartungswerts (EV) für den Jackpot-Preis in "Pick & Multiply" ist ein wichtiger Bestandteil der Rentabilitätsanalyse des Spiels. Der EV gibt Aufschluss darüber, wie viel ein Spieler im Durchschnitt erwarten kann, wenn er versucht, alle vier Zahlen richtig zu tippen. In diesem Abschnitt werden die mathematischen Schritte zur Berechnung des EV für Jackpot-Preise detailliert beschrieben, einschließlich der Rolle von Wahrscheinlichkeiten, der Wirkung des Multiplikatorsystems und wie diese Elemente sicherstellen, dass das Spiel sowohl für die Spieler spannend als auch für die Betreiber profitabel bleibt.

5.1.1. Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen

Bei "Pick & Multiply" wird der Jackpot an Spieler vergeben, die alle vier Zahlen richtig tippen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Zahlen übereinstimmen, wurde zuvor wie folgt berechnet:

P(Übereinstimmung 4)=1230,300≈0,00000434(oder 0,000434%)P(\text{Übereinstimmung 4}) = \frac{1}{230,300} \approx 0,00000434 \quad \text{(oder 0,000434\%)}P(Übereinstimmung 4)=230,3001≈0,00000434(oder 0,000434%)

Diese extrem niedrige Wahrscheinlichkeit spiegelt die Herausforderung wider, den Jackpot zu gewinnen, was es dem Spiel ermöglicht, einen beträchtlichen Preis anzubieten und gleichzeitig eine niedrige Auszahlungshäufigkeit beizubehalten.

5.1.2. Basis-Jackpot-Preis

Der Basis-Jackpot-Preis für die Richtigkeit aller vier Zahlen beträgt 100.000 HUF. Dies ist der Betrag, den ein Spieler gewinnt, wenn er alle vier Zahlen erfolgreich richtig tippt, bevor Multiplikatoren angewendet werden.

Grundpreis=100.000 Halb\Text{Grundpreis} = 100.000\, \Text{Halb}Grundpreis=100.000Halb

5.1.3. Erwarteter Wert des Jackpot-Preises ohne Multiplikatoren

Der Erwartungswert (EV) des Jackpot-Preises wird vor Berücksichtigung von Multiplikatoren wie folgt berechnet:

E(Jackpot ohne Multiplikator)=P(4 Richtige)×Grundpreis\mathbb{E}(\text{Jackpot ohne Multiplikator}) = P(\text{4} Gewinne) \times \text{Basispreis}E(Jackpot ohne Multiplikator)=P(4 Richtige)×Grundpreis

Ersetzen der bekannten Werte:

E(Jackpot ohne Multiplikator)=1230.300×100.000=0.434 HUF\mathbb{E}(\text{Jackpot ohne Multiplikator}) = \frac{1}{230.300} \times 100.000 = 0.434 \, \text{HUF}E(Jackpot ohne Multiplikator)=230.3001×100.000=0.434HUF

Das bedeutet, dass ein Spieler im Durchschnitt damit rechnen kann, 0,434 HUF aus dem Jackpot-Preis für jeden gekauften Schein zu gewinnen, vorausgesetzt, es sind keine Multiplikatoren beteiligt.

Wolfram Sprachcode für Jackpot EV ohne Multiplikatoren

Wolfram

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(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Zahlen und den Basis-Jackpot-Preis übereinstimmen *)

WahrscheinlichkeitMatch4 = 1/230300;

baseJackpot = 100000;

(* Berechnen Sie den Erwartungswert des Jackpots ohne Multiplikatoren *)

expectedJackpotNoMultiplier = WahrscheinlichkeitMatch4 * baseJackpot;

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

erwartetJackpotNeinMultiplikator

Dieser Code berechnet den erwarteten Wert des Jackpot-Preises ohne Berücksichtigung des Multiplikatorsystems.

5.1.4. Einfluss von Multiplikatoren auf den Jackpot-Preis

Bei "Pick & Multiply" unterliegt der Jackpot-Preis einem zufälligen Multiplikator, der nach dem Richtigen der Zahlen gezogen wird. Die möglichen Multiplikatoren sind 1x, 2x, 3x, 4x und 5x, mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Der erwartete Multiplikator wurde zuvor mit 2,10 berechnet, was bedeutet, dass der Jackpot-Preis im Durchschnitt mit dem Faktor 2,10 multipliziert wird.

5.1.5. Erwarteter Wert des Jackpot-Preises mit Multiplikatoren

Der Erwartungswert des Jackpot-Preises, der den Effekt der Multiplikatoren berücksichtigt, wird berechnet, indem der Basis-Jackpot-Preis mit dem erwarteten Multiplikator und der Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen, multipliziert wird:

E(Jackpot mit Multiplikator)=P(4 Richtige)×E(Multiplikator)×Grundpreis\mathbb{E}(\text{Jackpot mit Multiplikator}) = P(\text{Jackpot mit Multiplikator}) = P(\text{4}) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Basispreis}E(Jackpot mit Multiplikator)=P(4 richtige Punkte)×E(Multiplikator)×Basispreis

Ersetzen der bekannten Werte:

E(Jackpot mit Multiplikator)=1230.300×2,10×100.000=0,9114 HUF\mathbb{E}(\text{Jackpot mit Multiplikator}) = \frac{1}{230.300} \mal 2,10 \mal 100.000 = 0,9114 \, \text{HUF}E(Jackpot mit Multiplikator)=230.3001×2,10×100.000=0,9114HUF

Diese Berechnung zeigt, dass ein Spieler im Durchschnitt mit einem Gewinn von 0,9114 HUF aus dem Jackpot-Preis für jeden gekauften Schein rechnen kann, wenn das Multiplikatorsystem berücksichtigt wird.

Wolfram Sprachcode für Jackpot EV mit Multiplikatoren

Wolfram

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(* Definieren Sie den erwarteten Multiplikator *)

erwarteter Multiplikator = 2,10;

(* Berechnen Sie den Erwartungswert des Jackpots mit Multiplikatoren *)

expectedJackpotWithMultiplier = WahrscheinlichkeitMatch4 * expectedMultiplier * baseJackpot;

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

expectedJackpotWithMultiplier

Dieser Code berechnet den erwarteten Wert des Jackpot-Preises unter Berücksichtigung des Multiplikatorsystems.

5.1.6. Rentabilitätsüberlegungen für den Jackpot-Preis

Der Erwartungswert des Jackpot-Preises ist eine entscheidende Kennzahl für die Bestimmung der Rentabilität des Spiels. Damit das Spiel profitabel bleibt, muss die erwartete Gesamtauszahlung, einschließlich des Jackpot-Preises, niedriger sein als der Lospreis.

Wenn der Ticketpreis beispielsweise auf 200 HUF festgelegt ist, stellt der erwartete Wert von 0,9114 HUF für den Jackpot-Preis einen kleinen Bruchteil der Gesamtkosten eines Tickets dar, wodurch sichergestellt wird, dass das Spiel im Laufe der Zeit einen Gewinn generiert. Der Jackpot ist jedoch nur ein Teil der gesamten Auszahlungsstruktur, so dass er mit den erwarteten Auszahlungen für niedrigere Preise kombiniert werden muss, um die Gesamtrentabilität des Spiels zu bestimmen.

Erwartete Gesamtauszahlung einschließlich Jackpot

Die erwartete Gesamtauszahlung für das Spiel, einschließlich des Jackpots, kann wie folgt ausgedrückt werden:

Diese Summe beinhaltet die erwarteten Auszahlungen für 2, 3 und 4 übereinstimmende Zahlen, angepasst an das Multiplikatorsystem.

Wolfram-Sprachcode für die erwartete Gesamtauszahlung einschließlich Jackpot

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie Spielwahrscheinlichkeiten und Basispreise für andere Spielergebnisse *)

matchProbabilities = {1/230300, 0,000799, 0,02696};

basePrizes = {100000, 10000, 1000};

(* Berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen für jedes Spielergebnis mit Multiplikatoren *)

expectedPayoutsWithMultipliers = matchProbabilities * expectedMultiplier * basePrizes;

(* Addieren Sie den Jackpot-EV zur erwarteten Gesamtauszahlung *)

totalExpectedPayout = total[expectedPayoutsWithMultipliers] + expectedJackpotWithMultiplier;

(* Geben Sie die erwartete Gesamtauszahlung aus *)

totalExpectedAuszahlung

Dieser Code berechnet die erwartete Gesamtauszahlung für das Spiel, einschließlich des Jackpot-Preises, und passt das Multiplikatorsystem an.

5.1.7. Visualisierung des Jackpot-EV und der Gesamtauszahlung

Die Visualisierung der Beziehung zwischen dem Jackpot-Preis und der erwarteten Gesamtauszahlung hilft dabei, die Rolle zu veranschaulichen, die der Jackpot für die Gesamtrentabilität des Spiels spielt. Ein Balkendiagramm kann verwendet werden, um den Erwartungswert jeder Gewinnklasse mit und ohne Multiplikatorsystem anzuzeigen.

Wolfram

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(* Erstellen Sie ein Balkendiagramm, um den Erwartungswert für jedes Spielergebnis zu visualisieren *)

BarChart[{expectedJackpotNoMultiplier, expectedJackpotWithMultiplier, Total[expectedPayoutsWithMultipliers]},

ChartLabels -> {"Jackpot (kein Multiplikator)", "Jackpot (mit Multiplikator)", "Erwartete Gesamtauszahlung"},

PlotLabel -> "Erwarteter Wert des Jackpots und der Gesamtauszahlung",

BarSpacing -> 0.5]

Dieses Diagramm bietet einen klaren visuellen Vergleich des Erwartungswerts des Jackpots mit und ohne Multiplikatorsystem sowie der erwarteten Gesamtauszahlung über alle Spielergebnisse hinweg.

5.1.8. Schlussfolgerung

Die Berechnung des Erwartungswerts (EV) für den Jackpot-Preis in "Pick & Multiply" zeigt, wie die geringe Gewinnwahrscheinlichkeit in Kombination mit dem Multiplikatorsystem ein ausgewogenes Spiel schafft, das den Spielern die Chance auf signifikante Auszahlungen bietet und gleichzeitig sicherstellt, dass das Spiel profitabel bleibt. Der Basis-Jackpot-Preis von 100.000 HUF ergibt bei Anpassung an den erwarteten Multiplikator von 2,10 einen Erwartungswert von 0,9114 HUF pro Ticket. Dieser niedrige EV im Verhältnis zum Ticketpreis stellt sicher, dass das Spiel Einnahmen generiert und gleichzeitig die Spannung eines großen potenziellen Gewinns aufrechterhält.

Im nächsten Abschnitt wird die Berechnung des Erwartungswerts für Teilspiele untersucht, wobei der Schwerpunkt darauf liegt, wie niedrigere Preise zur allgemeinen Auszahlungsstruktur und Rentabilität des Spiels beitragen.

5. Wirtschaftlichkeitsanalyse

5.2. Berechnung des Erwartungswerts für Teilübereinstimmungen

Bei "Pick & Multiply" bieten Teilspiele – bei denen ein Spieler 2 oder 3 Zahlen richtig tippt – im Vergleich zum Jackpot kleinere Preise, aber sie spielen eine entscheidende Rolle bei der Aufrechterhaltung des Spielerengagements und der Sicherstellung eines stetigen Gewinnflusses. Die Berechnung des Erwartungswerts (EV) für diese Teilspiele hilft bei der Definition der gesamten Auszahlungsstruktur und stellt sicher, dass das Spiel profitabel bleibt, während es für die Spieler immer noch attraktiv ist. In diesem Abschnitt wird der EV für Teilspiele untersucht, wobei sowohl die Basispreisbeträge als auch das Multiplikatorsystem berücksichtigt werden.

5.2.1. Übereinstimmungswahrscheinlichkeiten für Teilübereinstimmungen

Die Wahrscheinlichkeiten, dass 2 oder 3 Zahlen übereinstimmen, wurden zuvor berechnet und sind wichtige Eingaben für die Bestimmung des EV für diese Teilgewinne:

Zahlen von 3 Übereinstimmungen: P(3 Treffer)=0,000799P(\text{3 Treffer}) = 0,000799P(3 Treffer)=0,000799
Zahlen von 2 Treffern: P(2 Treffer)=0,02696P(\text{2}Treffer) = 0,02696P(2Treffer)=0,02696

Diese Wahrscheinlichkeiten spiegeln die Tatsache wider, dass Teilübereinstimmungen weitaus häufiger vorkommen als alle 4 richtigen Zahlen, was sich auf die niedrigeren Basispreise auswirkt, die diesen Ergebnissen zugeteilt werden.

5.2.2. Grundpreise für Teilspiele

Die Grundpreisbeträge für Teilspiele sind deutlich kleiner als der Jackpot-Preis, aber immer noch attraktiv genug, um regelmäßiges Spielen zu fördern:

Grundpreis für 3 richtige Zahlen: 10.000 HUF
Grundpreis für 2 richtige Zahlen: 1.000 HUF

Diese Basispreise sind so konzipiert, dass sie sinnvolle Auszahlungen bieten und gleichzeitig eine ausgewogene Preisverteilung gewährleisten.

5.2.3. Erwarteter Wert für die Übereinstimmung von 3 Zahlen ohne Multiplikatoren

Der EV für die Übereinstimmung von 3 Zahlen, ohne Berücksichtigung des Multiplikators, wird nach folgender Formel berechnet:

E(3 Richtige ohne Multiplikator)=P(3 Richtige)×Grundpreis für 3 Richtige\mathbb{E}(\text{3 Richtige ohne Multiplikator}) = P(\text{3} Gewinn}) \times \text{Grundpreis für 3 Richtige E(3 Richtige ohne Multiplikator)=P(3 Richtige)×Grundpreis für 3 Richtige

Ersetzen der bekannten Werte:

E(3 Richtige ohne Multiplikator)=0,000799×10.000=7,99 HUF\mathbb{E}(\text{3 Richtige ohne Multiplikator}) = 0,000799 \times 10.000 = 7,99 \, \text{HUF}E(3 Richtige ohne Multiplikator)=0,000799×10.000=7,99 HUF

Dies zeigt, dass ein Spieler im Durchschnitt mit einem Gewinn von 7,99 HUF rechnen kann, wenn er 3 Zahlen richtig tippt, ohne das Multiplikatorsystem zu berücksichtigen.

Wolfram Language Code für EV von 3 Match ohne Multiplikatoren

Wolfram

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(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Zahlen übereinstimmen, und den Basispreis *)

WahrscheinlichkeitMatch3 = 0,000799;

basePrizeMatch3 = 10000;

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für die Übereinstimmung von 3 Zahlen ohne Multiplikatoren *)

expectedMatch3NoMultiplier = WahrscheinlichkeitMatch3 * basePrizeMatch3;

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

erwartetMatch3NoMultiplikator

5.2.4. Erwarteter Wert für die Übereinstimmung von 2 Zahlen ohne Multiplikatoren

In ähnlicher Weise ist der EV für die Übereinstimmung von 2 Zahlen ohne Berücksichtigung des Multiplikators:

E(Richtige 2 ohne Multiplikator)=P(Richtige 2)×Grundpreis für Richtige 2\mathbb{E}(\text{Richtige 2 ohne Multiplikator}) = P(\text{Richtige 2}) \times \text{Grundpreis für Richtige 2}E(Richtige 2 ohne Multiplikator)=P(Richtige 2)×Grundpreis für Richtige 2

Ersetzen der bekannten Werte:

E(2 Treffer ohne Multiplikator)=0,02696×1.000=26,96 HUF\mathbb{E}(\text{2 Treffer ohne Multiplikator}) = 0,02696 \times 1.000 = 26,96 \, \text{HUF}E(2 Treffer ohne Multiplikator)=0,02696×1.000=26,96 HUF

Diese Berechnung zeigt, dass ein Spieler mit einem Gewinn von durchschnittlich 26,96 HUF rechnen kann, wenn er 2 Zahlen richtig hat, ohne den Effekt von Multiplikatoren.

Wolfram Language Code für EV von Match 2 ohne Multiplikatoren

Wolfram

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(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Zahlen übereinstimmen, und den Basispreis *)

WahrscheinlichkeitMatch2 = 0,02696;

basePrizeMatch2 = 1000;

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für die Übereinstimmung von 2 Zahlen ohne Multiplikatoren *)

expectedMatch2NoMultiplier = WahrscheinlichkeitMatch2 * basePrizeMatch2;

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

expectedMatch2NoMultiplier

5.2.5. Einfluss von Multiplikatoren auf Teilübereinstimmungen

Das Multiplikatorsystem verbessert die Auszahlungen für Teilspiele erheblich, indem es den Basispreis mit einem Zufallsfaktor zwischen 1x und 5x multipliziert. Der erwartete Multiplikatorwert, wie er zuvor berechnet wurde, beträgt 2,10.

5.2.5.1. Erwarteter Wert für die Übereinstimmung von 3 Zahlen mit Multiplikatoren

Der EV für die Übereinstimmung von 3 Zahlen mit dem Multiplikator wird wie folgt berechnet:

E(3 Richtige mit Multiplikator)=P(3 Richtige)×E(Multiplikator)×Grundpreis für 3-Gewinner\mathbb{E}(\text{3 Richtige mit Multiplikator}) = P(\text{3}-Gewinne) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Grundpreis für 3-Gewinne}E(3-Richtige mit Multiplikator)=P(3-Gewinne)×E(Multiplikator)×Grundpreis für 3-Richtige

Ersetzen der Werte:

E(3 Treffer mit Multiplikator)=0,000799×2,10×10.000=16,78 HUF\mathbb{E}(\text{3 Treffer mit Multiplikator}) = 0,000799 \mal 2,10 \mal 10.000 = 16,78 \, \text{HUF}E(3 Treffer mit Multiplikator)=0,000799×2,10×10.000=16,78 HUF

So kann ein Spieler mit einem Gewinn von durchschnittlich 16,78 HUF rechnen, wenn er 3 Zahlen richtig tippt, wobei das Multiplikatorsystem berücksichtigt wird.

Wolfram Language Code für EV von Match 3 mit Multiplikatoren

Wolfram

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(* Definieren Sie den erwarteten Multiplikator *)

erwarteter Multiplikator = 2,10;

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für die Übereinstimmung von 3 Zahlen mit Multiplikatoren *)

expectedMatch3WithMultiplier = WahrscheinlichkeitMatch3 * expectedMultiplier * basePrizeMatch3;

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

expectedMatch3WithMultiplier

5.2.5.2. Erwarteter Wert für die Übereinstimmung von 2 Zahlen mit Multiplikatoren

Ähnlich ist der EV für die Übereinstimmung von 2 Zahlen mit dem Multiplikator:

E(Richtige 2 mit Multiplikator)=P(Richtige 2)×E(Multiplikator)×Grundpreis für Richtige 2\mathbb{E}(\text{Richtige 2 mit Multiplikator}) = P(\text{Richtige 2}) \times \mathbb{E}(\text{Multiplikator}) \times \text{Basispreis für Richtige 2}E(Richtige 2 mit Multiplikator)=P(Richtige 2)×E(Multiplikator)×Grundpreis für Richtige 2

Ersetzen der Werte:

E(2 Treffer mit Multiplikator)=0,02696×2,10×1.000=56,61 HUF\mathbb{E}(\text{2 Treffer mit Multiplikator}) = 0,02696 \mal 2,10 \mal 1.000 = 56,61 \, \text{HUF}E(2 Treffer mit Multiplikator)=0,02696×2,10×1.000=56,61 HUF

Diese Berechnung zeigt, dass die Spieler mit dem Multiplikatorsystem mit einem Gewinn von durchschnittlich 56,61 HUF rechnen können, wenn sie 2 Zahlen richtig tippen.

Wolfram Language Code für EV von Match 2 mit Multiplikatoren

Wolfram

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(* Berechnen Sie den Erwartungswert für die Übereinstimmung von 2 Zahlen mit Multiplikatoren *)

expectedMatch2WithMultiplier = WahrscheinlichkeitMatch2 * expectedMultiplier * basePrizeMatch2;

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

expectedMatch2WithMultiplier

5.2.6. Erwarteter Gesamtwert für Teilübereinstimmungen

Der erwartete Gesamtwert für Teilübereinstimmungen, die sowohl die 3- als auch die 2-Gewinnt-Preise enthalten, wird berechnet, indem die einzelnen Erwartungswerte addiert werden:

E(Gesamtzahl der Teilübereinstimmungen)=E(3 Treffer mit Multiplikator)+E (2 Treffer mit Multiplikator)\mathbb{E}(\text{Gesamtanzahl der Teilübereinstimmungen}) = \mathbb{E}(\text{3 Treffer mit Multiplikator}) + \mathbb{E}(\text{2 Treffer mit Multiplikator})E(Gesamtanzahl der Teilübereinstimmungen)=E (3 Treffer mit Multiplikator)+E (2 Treffer mit Multiplikator)

Ersetzen der Werte:

E(Gesamtzahl der Teilübereinstimmungen)=16,78+56,61=73,39 HUF\mathbb{E}(\text{Gesamtzahl der Teilübereinstimmungen}) = 16,78 + 56,61 = 73,39 \, \text{HUF}E(Gesamtzahl der Teilübereinstimmungen)=16,78+56,61=73,39 HUF

Dieser erwartete Gesamtwert gibt an, dass die Spieler im Durchschnitt mit einem Gewinn von 73,39 HUF aus Teilspielen rechnen können, wenn man das Multiplikatorsystem berücksichtigt.

Wolfram Language Code für den Gesamt-EV von Teilübereinstimmungen

Wolfram

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(* Berechnen des erwarteten Gesamtwerts für Teilübereinstimmungen *)

totalExpectedPartialMatches = expectedMatch3WithMultiplier + expectedMatch2WithMultiplier;

(* Geben Sie den erwarteten Gesamtwert aus *)

totalExpectedPartialMatches

5.2.7. Visualisierung der Erwartungswerte für Teilübereinstimmungen

Ein Balkendiagramm kann verwendet werden, um die erwarteten Werte für jedes Teilspielergebnis mit und ohne Multiplikatorsystem zu visualisieren. Dies hilft dabei, die Auswirkungen des Multiplikators auf die Erhöhung der potenziellen Auszahlungen für Spieler zu veranschaulichen.

Wolfram

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(* Erstellen Sie ein Balkendiagramm, um die erwarteten Werte für Teilübereinstimmungen zu visualisieren *)

BarChart[{expectedMatch3NoMultiplier, expectedMatch3WithMultiplier, expectedMatch2NoMultiplier, expectedMatch2WithMultiplier},

ChartLabels -> {"3 Richtige (kein Multiplikator)", "3 Richtige (mit Multiplikator)", "2 Richtige (kein Multiplikator)", "2 Richtige (mit Multiplikator)"},

PlotLabel -> "Erwartete Werte für partielle Übereinstimmungen",

BarSpacing -> 0.5]

Diese Grafik zeigt, wie das Multiplikatorsystem die erwarteten Auszahlungen für Teilspiele erhöht und so das Spielerlebnis und das Engagement insgesamt verbessert.

5.2.8. Schlussfolgerung

Die Erwartungswertberechnung für Teilspiele in "Pick & Multiply" zeigt, wie das Spiel häufige, kleinere Gewinne mit größeren potenziellen Auszahlungen ausgleicht. Sowohl bei 3 richtigen als auch bei 2 übereinstimmenden Zahlen wird der EV durch das Multiplikatorsystem erheblich verbessert, wodurch eine dynamische und ansprechende Auszahlungsstruktur entsteht. Der erwartete Gesamtwert für Teilspiele, einschließlich des Multiplikators, beträgt 73,39 HUF, was eine Schlüsselrolle bei der Aufrechterhaltung des Spielerinteresses spielt und sicherstellt, dass die Preise der niedrigeren Stufen immer noch einen bedeutenden Beitrag zur Gesamtrentabilität des Spiels leisten.

Der nächste Abschnitt konzentriert sich auf das Gleichgewicht zwischen Ticketpreis und erwarteten Auszahlungen, um sicherzustellen, dass das Spiel finanziell nachhaltig bleibt und den Spielern attraktive Preise bietet.

5. Wirtschaftlichkeitsanalyse

5.3. Ausgleich des Ticketpreises mit den erwarteten Auszahlungen

Einer der wichtigsten Aspekte, um die langfristige Rentabilität eines Lotteriespiels wie "Pick & Multiply" zu sichern, ist das Gleichgewicht zwischen dem Lospreis und den erwarteten Auszahlungen. Der Ticketpreis muss so festgelegt werden, dass das Spiel für die Spieler attraktiv bleibt und gleichzeitig sichergestellt wird, dass die erwarteten Gesamtauszahlungen unter Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeiten und Multiplikatoren niedriger sind als der Ticketpreis. In diesem Kapitel werden die mathematischen und wirtschaftlichen Überlegungen untersucht, die bei der Suche nach dem optimalen Gleichgewicht zwischen Ticketpreis und erwarteten Auszahlungen eine Rolle spielen, um sowohl Nachhaltigkeit als auch Spannung für das Spiel zu gewährleisten.

5.3.1. Berechnung der erwarteten Gesamtauszahlung

Um den Ticketpreis effektiv auszugleichen, müssen wir zunächst die erwartete Gesamtauszahlung für alle Spielergebnisse berechnen. Dies beinhaltet die erwarteten Auszahlungen für:

4 richtige Zahlen (Jackpot),
3 richtige Zahlen (mittlerer Preis),
2 richtige Zahlen (niedriger Preis).

Die erwartete Gesamtauszahlung, E(Gesamtauszahlung)\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung})E(Gesamtauszahlung), ist die Summe der erwarteten Auszahlungen für jede Spielstufe, einschließlich des Effekts des Multiplikatorsystems:

E (Gesamtauszahlung)=E (Auszahlung 4 Richtige)+E (Auszahlung 3 Richtige)+E (Auszahlung 2 Richtige)\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = \mathbb{E}(\text{Auszahlung 4 Richtige}) + \mathbb{E}(\text{Auszahlung 3 Richtige }) + \mathbb{E}(\text{Auszahlung 2 Richtige })E (Gesamtauszahlung)=E (Auszahlung 4 Richtige )+E (Auszahlung 3 Richtige )+E (Auszahlung 2 Richtige

Die erwartete Auszahlung für 4 richtige Zahlen (Jackpot) wurde bisher wie folgt berechnet:

E(4 Richtige mit Multiplikator)=0,9114 HUF\mathbb{E}(\text{4 Richtige mit Multiplikator}) = 0,9114 \, \text{HUF}E(4 Richtige mit Multiplikator)=0,9114 HUF

Für 3 richtige Zahlen betrug die erwartete Auszahlung mit dem Multiplikator:

E(3 Richtige mit Multiplikator)=16,78 HUF\mathbb{E}(\text{3 Richtige mit Multiplikator}) = 16,78 \, \text{HUF}E(3 Richtige mit Multiplikator)=16,78 HUF

Für 2 richtige Zahlen betrug die erwartete Auszahlung mit dem Multiplikator:

E(2 Richtige mit Multiplikator)=56,61 HUF\mathbb{E}(\text{2 Richtige mit Multiplikator}) = 56,61 \, \text{HUF}E(2 Richtige mit Multiplikator)=56,61 HUF

Die erwartete Gesamtauszahlung für alle Spielergebnisse beträgt dann:

E(Gesamtauszahlung)=0,9114+16,78+56,61=74,3014 HUF\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = 0,9114 + 16,78 + 56,61 = 74,3014 \, \text{HUF}E(Gesamtauszahlung)=0,9114+16,78+56,61=74,3014HUF

Diese erwartete Gesamtauszahlung stellt den durchschnittlichen Betrag dar, den ein Spieler für jeden gekauften Schein erwarten kann, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass 2, 3 oder 4 Zahlen übereinstimmen, und die Anwendung von Multiplikatoren berücksichtigt werden.

Wolfram Language Code für die Berechnung der erwarteten Gesamtauszahlung

Wolfram

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(* Definieren Sie die erwarteten Auszahlungen für die Übereinstimmung von 4, 3 und 2 Zahlen mit Multiplikatoren *)

erwartete Auszahlungen = {0,9114, 16,78, 56,61};

(* Berechnen Sie die erwartete Gesamtauszahlung *)

totalExpectedPayout = Gesamt[erwartete Auszahlungen];

(* Geben Sie die erwartete Gesamtauszahlung aus *)

totalExpectedAuszahlung

Dieser Code berechnet die erwartete Gesamtauszahlung über alle Spielstufen hinweg, einschließlich des Multiplikatorsystems.

5.3.2. Ermittlung des optimalen Ticketpreises

Um die Rentabilität zu gewährleisten, muss der Ticketpreis TTT höher sein als die erwartete Gesamtauszahlung:

T>E(Gesamtauszahlung)=74,3014 HUFT > \mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) = 74,3014 \, \text{HUF}T>E(Gesamtauszahlung)=74,3014HUF

In der Praxis wird in der Regel eine Marge zur erwarteten Auszahlung hinzugefügt, um ausreichende Einnahmen für den Spielbetreiber zu gewährleisten. Diese Marge ermöglicht es dem Betreiber, die Kosten (z. B. Marketing, Vertrieb, Verwaltung) zu decken und Gewinne zu erzielen. Die Gewinnspanne kann als prozentuales MMM der erwarteten Auszahlung dargestellt werden:

T=E(Gesamtauszahlung)×(1+M)T = \mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung}) \times (1 + M)T=E(Gesamtauszahlung)×(1+M)

Wenn wir von einer Gewinnspanne von 100% ausgehen (d.h. M=1M = 1M=1), sollte der Ticketpreis wie folgt lauten:

T=74,3014×(1+1)=148,60 HUFT = 74,3014 \times (1 + 1) = 148,60 \, \text{HUF}T=74,3014×(1+1)=148,60 HUF

Das bedeutet, dass der Ticketpreis auf ca. 149 HUF festgelegt werden sollte, um eine Gewinnspanne von 100% zu erzielen.

Wolfram Language Code für die Berechnung des Ticketpreises

Wolfram

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(* Definieren Sie die erwartete Gesamtausschüttung und die gewünschte Gewinnspanne *)

totalExpectedPayout = 74,3014;

GewinnMarge = 1,0;

(* Berechnen Sie den optimalen Ticketpreis *)

optimalTicketPrice = totalExpectedPayout * (1 + Gewinnspanne);

(* Geben Sie den optimalen Ticketpreis aus *)

optimalTicketPreis

Dieser Code berechnet den optimalen Ticketpreis auf der Grundlage der erwarteten Auszahlungen und der gewünschten Gewinnspanne.

5.3.3. Feinabstimmung des Ticketpreises für die Marktattraktivität

Während die rechnerische Ticketpreiskalkulation die Wirtschaftlichkeit sicherstellt, muss der Preis auch für den Zielmarkt attraktiv sein. Lotteriespieler neigen dazu, sich zu runden Ticketpreisen hingezogen zu fühlen, die leicht zu verstehen sind und den gängigen Kaufgewohnheiten entsprechen. Zum Beispiel ist ein Ticketpreis von 150 HUF besser vermarktbar als ein Preis wie 148,60 HUF.

Durch die Aufrundung des kalkulierten Preises auf einen attraktiveren Wert behält das Spiel seine Rentabilität bei und sorgt gleichzeitig für einen psychologisch attraktiven Preis für die Spieler. Ein Preis von 150 HUF bietet eine leichte Steigerung gegenüber der theoretischen Berechnung, entspricht aber immer noch den Erwartungen der Spieler.

5.3.4. Sensitivitätsanalyse: Anpassung des Ticketpreises auf der Grundlage der Multiplikatorvariabilität

Die Einführung des Multiplikatorsystems führt zu Variabilität in der Auszahlungsstruktur, was bedeutet, dass die tatsächliche Auszahlung für ein bestimmtes Spiel erheblich schwanken kann. Um diese Variabilität zu berücksichtigen, kann eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt werden, um zu untersuchen, wie sich Änderungen der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten oder erwarteten Auszahlungen auf den optimalen Ticketpreis auswirken.

Wenn sich beispielsweise der erwartete Multiplikator aufgrund einer höheren Wahrscheinlichkeit erhöht, 4x- oder 5x-Multiplikatoren zu ziehen, steigt die erwartete Gesamtauszahlung, was eine Anpassung des Ticketpreises erfordert, um die Rentabilität zu erhalten. Umgekehrt kann eine Verringerung der Wahrscheinlichkeiten für höhere Multiplikatoren die erwartete Auszahlung verringern, was zu einem niedrigeren Ticketpreis oder einer höheren Gewinnspanne führt.

Beispiel für eine Sensitivitätsanalyse: Höherer erwarteter Multiplikator

Wenn sich der erwartete Multiplikator von 2,10 auf 2,30 erhöht, können die neuen erwarteten Auszahlungen für jedes Spielergebnis wie folgt neu berechnet werden:

Neue erwartete Auszahlung für 4 richtige Zahlen:

E(4 Richtige mit neuem Multiplikator)=1230.300×2,30×100.000=0,9987 HUF\mathbb{E}(\text{4 Richtige mit neuem Multiplikator}) = \frac{1}{230.300} \mal 2,30 \mal 100.000 = 0,9987 \, \text{HUF}E(4 Richtige mit neuem Multiplikator)=230.3001×2,30×100.000=0,9987 HUF

Neue erwartete Auszahlung für 3 richtige Zahlen:

E(3 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,000799×2,30×10.000=18,38 HUF\mathbb{E}(\text{3 Richtige mit neuem Multiplikator}) = 0,000799 \mal 2,30 \mal 10.000 = 18,38 \, \text{HUF}E(3 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,000799×2,30×10.000=18,38 HUF

Neue erwartete Auszahlung für 2 richtige Zahlen:

E(2 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,02696×2,30×1.000=61,81 HUF\mathbb{E}(\text{2 Richtige mit neuem Multiplikator}) = 0,02696 \mal 2,30 \mal 1.000 = 61,81 \, \text{HUF}E(2 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,02696×2,30×1.000=61,81 HUF

Die neue erwartete Gesamtauszahlung beträgt:

E(Gesamtauszahlung mit neuem Multiplikator)=0,9987+18,38+61,81=81,19 HUF\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung mit neuem Multiplikator}) = 0,9987 + 18,38 + 61,81 = 81,19 \, \text{HUF}E(Gesamtauszahlung mit neuem Multiplikator)=0,9987+18,38+61,81=81,19 HUF

Diese Erhöhung der erwarteten Gesamtauszahlung würde einen höheren Ticketpreis erforderlich machen:

T=81,19×(1+1)=162,38 HUFT = 81,19 \times (1 + 1) = 162,38 \, \text{HUF}T=81,19×(1+1)=162,38 HUF

Der Ticketpreis müsste auf 162 HUF angehoben werden, um unter diesen neuen Bedingungen eine Gewinnspanne von 100 % zu erhalten.

Wolfram Language Code für die Sensitivitätsanalyse

Wolfram

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(* Definieren Sie neue erwartete Auszahlungen mit höherem Multiplikator *)

newExpectedPayouts = {0,9987, 18,38, 61,81};

(* Berechnen Sie die neue erwartete Gesamtauszahlung *)

newTotalExpectedPayout = Gesamt[neueErwartete Auszahlungen];

(* Berechnen Sie den neuen optimalen Ticketpreis bei gleicher Gewinnspanne *)

newOptimalTicketPrice = newTotalExpectedPayout * (1 + Gewinnspanne);

(* Geben Sie den neuen optimalen Ticketpreis aus *)

neuOptimalTicketPreis

Dieser Code zeigt, wie sich die Anpassung des erwarteten Multiplikators auf die erwartete Gesamtauszahlung und den optimalen Ticketpreis auswirkt.

5.3.5. Visualisierung der erwarteten Auszahlung und des Saldos des Ticketpreises

Eine visuelle Darstellung des Gleichgewichts zwischen erwarteten Auszahlungen und Ticketpreis kann nützlich sein, um zu veranschaulichen, wie Änderungen in der Auszahlungsstruktur, den Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und dem Ticketpreis interagieren. Ein Balkendiagramm kann die erwarteten Auszahlungen für jedes Spielergebnis anzeigen und sie mit verschiedenen Ticketpreisszenarien vergleichen.

Wolfram

Code kopieren

(* Erstellen Sie ein Balkendiagramm, um erwartete Auszahlungen und Ticketpreisszenarien zu vergleichen *)

BarChart[{totalExpectedPayout, newTotalExpectedPayout},

ChartLabels -> {"Aktueller Multiplikator", "Höherer Multiplikator"},

ChartLegends -> {"Erwartete Auszahlung"},

PlotLabel -> "Vergleich der erwarteten Gesamtauszahlungen unter verschiedenen Multiplikatorszenarien",

BarSpacing -> 0.5]

Dieses Diagramm hilft dabei, die Auswirkungen von Änderungen im Multiplikatorsystem auf die erwartete Gesamtauszahlung zu visualisieren und hilft dabei, fundierte Entscheidungen über die Ticketpreise zu treffen.

5.3.6. Schlussfolgerung

Das Gleichgewicht zwischen dem Ticketpreis und den erwarteten Auszahlungen ist essenziell, um die langfristige Rentabilität von "Pick & Multiply" zu sichern. Der optimale Ticketpreis wird aus der erwarteten Gesamtauszahlung abgeleitet, wobei die Wahrscheinlichkeiten jedes Spielergebnisses und die Auswirkungen des Multiplikatorsystems berücksichtigt werden. Für ein Spiel mit einer erwarteten Gesamtauszahlung von 74,30 HUF sorgt ein Ticketpreis von 150 HUF für Rentabilität und bleibt gleichzeitig für die Spieler attraktiv. Sensitivitätsanalysen können den Ticketpreis auf der Grundlage von Änderungen der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten oder des Spielerverhaltens weiter verfeinern.

Der nächste Abschnitt konzentriert sich auf Simulationen und Optimierungen und bietet Werkzeuge für die Feinabstimmung der Spielparameter durch mathematische Simulationen, um die Rentabilität und Spielerzufriedenheit weiter zu verbessern.

6. Simulationen und Optimierung

6.1. Simulation von Spielergewinnen

Die Simulation von Spielergewinnen in "Pick & Multiply" ist ein entscheidender Schritt bei der Bewertung der Gesamtleistung, Rentabilität und Spielerzufriedenheit des Spiels. Durch Simulationen können wir das Verhalten des Spiels über eine große Anzahl von Spielen modellieren und die Variabilität der Ergebnisse aufgrund der Zufallszahlenauswahl und des Multiplikatorsystems erfassen. Diese Simulationen helfen bei der Schätzung der tatsächlichen Verteilung der Spielergewinne, der Validierung der mathematischen Erwartungen und der Optimierung wichtiger Parameter für die Rentabilität.

6.1.1. Ziele der Simulation

Die Simulation von Spielergewinnen zielt darauf ab:

Modellieren Sie realistische Ergebnisse für eine große Anzahl von Spielern.
Validieren Sie erwartete Auszahlungen und stellen Sie sicher, dass sie mit theoretischen Berechnungen übereinstimmen.
Beobachten Sie die Auswirkungen von Multiplikatoren auf die Gewinne der Spieler.
Optimieren Sie Auszahlungsstrukturen und Spielparameter, um die Rentabilität zu erhalten und gleichzeitig die Spielerbindung zu maximieren.

Die Simulation des Spiels über viele Iterationen bietet Einblicke in die Häufigkeit der Gewinne, die Verteilung der Gewinne und wie sich der Multiplikator auf die Ergebnisse auswirkt. Diese Erkenntnisse können dann genutzt werden, um datengestützte Entscheidungen über Preisstrukturen, Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und Ticketpreise zu treffen.

6.1.2. Simulations-Framework

Das Simulations-Framework umfasst die folgenden Schritte:

Spielerauswahl: Jeder Spieler wählt 4 Zahlen aus einem Pool von 50 aus.
Zufällige Ziehung: Das Spiel zieht nach dem Zufallsprinzip 4 Gewinnzahlen.
Treffer prüfen: Die Zahlen des Spielers werden mit den gezogenen Zahlen verglichen, um festzustellen, ob sie mit 4, 3, 2 oder 1 Zahl übereinstimmen.
Anwendung des Multiplikators: Wenn der Spieler einen Preis gewinnt, indem er 2 oder mehr Zahlen richtig tippt, wird ein zufälliger Multiplikator (1x, 2x, 3x, 4x oder 5x) auf den Basispreis angewendet.
Auszahlungsberechnung: Die endgültige Auszahlung wird auf der Grundlage der Gewinnstufe und des Multiplikators bestimmt.
Wiederholen: Der Vorgang wird für eine große Anzahl von Iterationen (z. B. 1 Million Spiele) wiederholt, um das Verhalten des Spiels im Laufe der Zeit zu simulieren.

6.1.3. Simulationsalgorithmus und -code

Um Spielergewinne zu simulieren, können wir einen Algorithmus entwickeln, der das Verhalten von "Pick & Multiply" nachahmt. Im Folgenden finden Sie den Pseudocode zum Simulieren des Spiels für einen einzelnen Spieler über mehrere Iterationen:

Pseudocode für die Simulation von Spielergewinnen

VBNet

Code kopieren

Für jede Iteration tun Sie

player_numbers = zufällig 4 Zahlen von 1 bis 50 auswählen

winning_numbers = zufällig 4 Zahlen von 1 bis 50 ziehen

matched_numbers = zähle, wie viele player_numbers übereinstimmen winning_numbers

wenn matched_numbers == 4 dann

base_prize = 100.000 HUF

else if matched_numbers == 3 dann

base_prize = 10.000 HUF

else if matched_numbers == 2 then

base_prize = 1,000 HUF

oder

base_prize = 0 HUF

Wenn base_prize > 0, dann

Multiplikator = zufällig einen Multiplikator aus {1x, 2x, 3x, 4x, 5x} mit Wahrscheinlichkeiten {0.40, 0.30, 0.15, 0.10, 0.05} auswählen

final_payout = base_prize * multiplizieren

oder

final_payout = 0

Aufzeichnen von final_payout für diese Iteration

Ende

Wolfram Language Code zur Simulation von Spielergewinnen

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Anzahl der Simulationen *)

Anzahl Simulationen = 1000000;

(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeiten für jeden Multiplikator *)

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Definieren Sie die Basispreise für die Richtigen von 4, 3 und 2 Zahlen *)

basePrizes = {100000, 10000, 1000};

(* Funktion zur Simulation einer einzelnen Spieliteration *)

simulateGame[] := Modul[{playerNumbers, winningNumbers, matches, basePrize, Multiplikator, Auszahlung},

(* Zufällig 4 Spielerzahlen und 4 Gewinnzahlen auswählen *)

playerNumbers = Zufällige Stichprobe[Bereich[50], 4];

winningNumbers = RandomSample[Bereich[50], 4];

(* Anzahl der Übereinstimmungen zählen *)

Treffer = Länge[Schnittmenge[SpielerZahlen, Gewinnzahlen]];

(* Bestimmen Sie den Basispreis basierend auf der Anzahl der Übereinstimmungen *)

basePrize = Welcher[

Treffer == 4, basePrizes[[1]],

Treffer == 3, basePrizes[[2]],

Treffer == 2, basePrizes[[3]],

Wahr, 0

];

(* Wenn es einen Preis gibt, wenden Sie den Multiplikator an *)

Wenn[basePrize > 0,

Multiplikator = RandomChoice[multiplierProbabilities -> {1, 2, 3, 4, 5}];

Auszahlung = basePrize * multiplizieren,

Auszahlung = 0

];

(* Rückgabe der Auszahlung *)

Ausschüttung

]

(* Ausführung der Simulation für die angegebene Anzahl von Iterationen *)

simulationResults = Tabelle[simulateGame[], {numSimulations}];

(* Ausgabe von Basisstatistiken der Simulationsergebnisse *)

meanPayout = Mittelwert[Simulationsergebnisse];

totalPayout = Gesamt[simulationResults];

{MittelAuszahlung, Gesamtauszahlung}

Dieser Wolfram Language-Code simuliert 1 Million Spiele des Spiels und gibt die durchschnittliche Auszahlung (durchschnittliche Gewinne pro Spieler) und die Gesamtauszahlung über die gesamte Simulation aus. Diese Statistiken ermöglichen es uns, zu analysieren, wie sich das Spiel in der Praxis verhält, und bieten wertvolle Erkenntnisse für die Spieloptimierung.

6.1.4. Wichtige Simulationsmetriken

Aus der Simulation lassen sich mehrere wichtige Metriken ableiten:

Mean Payout: Der durchschnittliche Betrag, den ein Spieler pro Ticket gewinnt. Dieser Wert sollte in etwa mit der theoretischen erwarteten Auszahlung übereinstimmen, die in den vorherigen Kapiteln berechnet wurde.
Verteilung der Gewinne: Die Verteilung der Gewinne kann Aufschluss darüber geben, wie oft Spieler unterschiedliche Beträge gewinnen. Anhand dieser Informationen können Sie feststellen, ob sich das Spiel lohnend oder zu schwer zu gewinnen anfühlt.
Auszahlungshäufigkeit: Der Prozentsatz der Spieler, die einen Preis gewinnen. Diese Metrik gibt Aufschluss darüber, wie oft Spieler mit Gewinnen nach Hause gehen, was für die Zufriedenheit und Bindung der Spieler entscheidend ist.

Wolfram Language Code für die Gewinnverteilung

Wolfram

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(* Erstellen Sie ein Histogramm der Simulationsergebnisse, um die Verteilung der Gewinne anzuzeigen *)

histogram[simulationResults, {10000}, PlotLabel -> "Verteilung der Spielergewinne",

AxesLabel -> {"Auszahlung (HUF)", "Häufigkeit"}, PlotRange -> alle]

Dieses Histogramm visualisiert die Verteilung der Gewinne auf alle simulierten Spieler und hilft zu erkennen, ob das Spiel ein ausgewogenes Erlebnis in Bezug auf Auszahlungshäufigkeit und -beträge bietet.

6.1.5. Vergleich der simulierten Ergebnisse mit den erwarteten Werten

Einer der Hauptzwecke einer Simulation besteht darin, die tatsächlichen Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen zu vergleichen. Die erwarteten Werte für den Jackpot und die Teilübereinstimmungen wurden zuvor berechnet, und die Simulationsergebnisse sollten idealerweise mit diesen Werten übereinstimmen. Signifikante Abweichungen können darauf hindeuten, dass Anpassungen an Spielparametern wie Multiplikatorwahrscheinlichkeiten oder Preisverteilungen erforderlich sind.

Beispiel für einen Vergleich der Ergebnisse

Spielergebnis	Theoretischer EV (HUF)	Simulierte mittlere Auszahlung (HUF)
Spiel 4	0.9114	0.92
Spiel 3	16.78	16.80
Spiel 2	56.61	56.55

Wenn die simulierten mittleren Auszahlungen genau mit den theoretischen Erwartungswerten übereinstimmen, bestätigt dies, dass das Spiel wie geplant funktioniert. Jegliche Diskrepanzen zwischen den beiden Ergebnissätzen könnten darauf hindeuten, dass bestimmte Parameter in der Spielmechanik fein abgestimmt werden müssen.

6.1.6. Optimierungserkenntnisse aus Simulationen

Durch die Simulation von Spielergewinnen gewinnen wir wertvolle Erkenntnisse, wie das Spiel für die Rentabilität und Spielerzufriedenheit optimiert werden kann. Zum Beispiel:

Die Feinabstimmung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten kann dazu beitragen, die Spannung aufrechtzuerhalten, ohne die erwarteten Auszahlungen erheblich zu erhöhen.
Die Anpassung der Gewinnstufen auf der Grundlage von Simulationsergebnissen kann dazu beitragen, die Auszahlungshäufigkeit auszugleichen und sicherzustellen, dass sich die Spieler belohnt fühlen, ohne die Rentabilität zu beeinträchtigen.
Anpassungen der Ticketpreise können auf der Grundlage der tatsächlichen Gewinnverteilung erforderlich sein, die in der Simulation beobachtet wurde.

Diese Erkenntnisse können iterativ angewendet werden, um das Spieldesign zu verbessern und sicherzustellen, dass es die richtige Balance zwischen Rentabilität für den Betreiber und Spaß für die Spieler findet.

6.1.7. Schlussfolgerung

Das Simulieren von Spielergewinnen in "Pick & Multiply" ist ein wesentliches Werkzeug, um zu verstehen, wie sich das Spiel in der Praxis schlägt. Durch die Durchführung groß angelegter Simulationen können wir die theoretischen Berechnungen der erwarteten Auszahlungen validieren, die durch das Multiplikatorsystem eingeführte Variabilität beobachten und sicherstellen, dass das Spiel sowohl das Engagement der Spieler als auch die Rentabilität beibehält. Die aus diesen Simulationen gewonnenen Erkenntnisse können genutzt werden, um Spielparameter zu optimieren, was zu einem ausgewogeneren und angenehmeren Lotterieerlebnis führt.

Im nächsten Abschnitt wird untersucht, wie die Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten die Rentabilität des Spiels weiter steigern kann, und es werden Strategien zur Feinabstimmung der Balance zwischen Spielerspannung und langfristigem finanziellem Erfolg vorgestellt.

6. Simulationen und Optimierung

6.2. Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten an die Rentabilität

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" ist ein mächtiges Werkzeug, um Variabilität und Spannung in die Auszahlungsstruktur des Spiels zu bringen. Diese Variabilität muss jedoch sorgfältig verwaltet werden, um sicherzustellen, dass das Spiel profitabel bleibt und gleichzeitig ansprechende Auszahlungen für die Spieler bietet. In diesem Abschnitt untersuchen wir, wie sich die Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten auf die Gesamtrentabilität des Spiels auswirkt und es den Betreibern ermöglicht, die Auszahlungsdynamik zu optimieren und eine langfristige finanzielle Nachhaltigkeit zu gewährleisten.

6.2.1. Überblick über die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" wendet einen zufälligen Multiplikator (1x, 2x, 3x, 4x oder 5x) auf die Gewinne eines Spielers an, wenn er 2 oder mehr Zahlen richtig hat. Die aktuellen Multiplikatorwahrscheinlichkeiten lauten wie folgt:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Diese Wahrscheinlichkeiten sorgen dafür, dass niedrigere Multiplikatoren (1x und 2x) häufiger auftreten, während die höheren Multiplikatoren (4x und 5x) seltener sind, wodurch ein Gleichgewicht zwischen regelmäßigen, kleineren Auszahlungen und gelegentlichen, größeren Auszahlungen entsteht.

6.2.2. Erwarteter Multiplikatorwert

Der Erwartungswert des Multiplikatorsystems, basierend auf der aktuellen Wahrscheinlichkeitsverteilung, wird wie folgt berechnet:

Ersetzen der Wahrscheinlichkeiten und Multiplikatorwerte:

E(Multiplikator)=(0,40×1)+(0,30×2)+(0,15×3)+(0,10×4)+(0,05×5)\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = (0,0,) 40 \times 1) + (0.30 \times 2) + (0.15 \times 3) + (0.10 \times 4) + (0.05 \times 5)E(Multiplikator)=(0.40×1)+(0.30×2)+(0.15×3)+(0.10×4)+(0.05×5) E(Multiplikator)=0.40+0.60+0.45+0.40+0.25=2.10\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = 0.40 + 0.60 + 0.45 + 0.40 + 0.25 = 2.10E (Multiplikator)=0.40+0.60+0.45+0.40+0.25=2.10

Somit beträgt der erwartete Multiplikatorwert 2,10, was bedeutet, dass die Gewinne eines Spielers im Durchschnitt mit 2,10 multipliziert werden.

Wolfram Language Code für die Berechnung des erwarteten Multiplikators

Wolfram

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(* Definieren Sie die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und -werte *)

multiplierProbabilities = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

(* Berechnen Sie den erwarteten Multiplikatorwert *)

expectedMultiplier = Gesamt[Multiplikatoren * multiplierProbabilities];

(* Geben Sie den erwarteten Multiplikatorwert aus *)

erwarteter Multiplikator

Dieser Code berechnet den erwarteten Multiplikatorwert basierend auf der aktuellen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

6.2.3. Auswirkungen der Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten auf die Rentabilität

Durch die Anpassung der Wahrscheinlichkeiten der Multiplikatoren können die Spielbetreiber die Auszahlungsstruktur fein abstimmen, um die Rentabilität zu erhalten und gleichzeitig das Spiel für die Spieler spannend zu halten. Die Verringerung der Wahrscheinlichkeiten höherer Multiplikatoren (z. B. 4x und 5x) kann die erwartete Gesamtauszahlung senken, während die Erhöhung der Wahrscheinlichkeiten niedrigerer Multiplikatoren (z. B. 1x und 2x) dazu beiträgt, regelmäßig kleinere Gewinne auszugleichen.

Beispiel: Anpassen von Multiplikatorwahrscheinlichkeiten

Schauen wir uns eine alternative Wahrscheinlichkeitsverteilung an, bei der die Chance, einen 4x- oder 5x-Multiplikator zu ziehen, verringert wird, während die Chance, einen 1x- oder 2x-Multiplikator zu ziehen, erhöht wird. Die neuen Wahrscheinlichkeiten könnten wie folgt aussehen:

P(Multiplikator)={0.45für 1×0.35für 2×0.10für 3×0.07für 4×0.03für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0.45 & \text{für } 1\mal \\ 0.35 & \text{für } 2\mal \\ 0.10 & \text{für } 3\mal \\ 0.07 & \text{für } 4\times \\ 0.03 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.450.350.100.070.03für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Der neue erwartete Multiplikatorwert wäre:

E(Multiplikator)=(0,45×1)+(0,35×2)+(0,10×3)+(0,07×4)+(0,03×5)\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = (0,0,2) 45 \mal 1) + (0,35 \mal 2) + (0,10 \mal 3) + (0,07 \mal 4) + (0,03 \mal 5)E(Multiplikator)=(0,45×1)+(0,35×2)+(0,10×3)+(0,07×4)+(0,03×5) E (Multiplikator)=0,45+0,70+0,30+0,28+0,15=1,88\mathbb{E}(\text{Multiplikator}) = 0,45 + 0,70 + 0,30 + 0,28 + 0,15 = 1,88E (Multiplikator)=0,45+0,70+0,30+0,28+0,15=1,88

Diese Anpassung senkt den erwarteten Multiplikator von 2,10 auf 1,88, wodurch die Gesamtauszahlung reduziert und die Rentabilität des Spiels erhöht wird.

Wolfram Language Code für angepasste Multiplikatorwahrscheinlichkeiten

Wolfram

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(* Definieren Sie die angepassten Multiplikatorwahrscheinlichkeiten *)

adjustedMultiplierProbabilities = {0,45, 0,35, 0,10, 0,07, 0,03};

(* Berechnen Sie den neuen erwarteten Multiplikatorwert *)

newExpectedMultiplier = Gesamt[Multiplikatoren * adjustedMultiplierProbabilities];

(* Gibt den neuen erwarteten Multiplikatorwert aus *)

neuErwarteter Multiplikator

Dieser Code berechnet den neuen erwarteten Multiplikatorwert basierend auf den angepassten Wahrscheinlichkeiten.

6.2.4. Auswirkungen auf die erwarteten Gesamtauszahlungen

Die erwartete Gesamtauszahlung für das Spiel wird direkt durch den erwarteten Multiplikatorwert beeinflusst. Durch die Senkung des erwarteten Multiplikators wird die erwartete Gesamtauszahlung für jede Gewinnstufe reduziert, was die Rentabilität des Spiels verbessert.

Beispiel: Aktualisierte erwartete Auszahlungen mit neuem Multiplikator

Für 4 richtige Zahlen beträgt der Grundpreis 100.000 HUF. Unter Verwendung des neuen erwarteten Multiplikatorwerts von 1,88 beträgt die neue erwartete Auszahlung:

E(4 Richtige mit neuem Multiplikator)=1230.300×1,88×100.000=0,8158 HUF\mathbb{E}(\text{4 Richtige mit neuem Multiplikator}) = \frac{1}{230.300} \mal 1,88 \mal 100.000 = 0,8158 \, \text{HUF}E(4 Richtige mit neuem Multiplikator)=230.3001×1,88×100.000=0,8158HUF

Ähnlich verhält es sich für die Übereinstimmung von 3 Zahlen:

E(3 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,000799×1,88×10.000=15,02 HUF\mathbb{E}(\text{3 Richtige mit neuem Multiplikator}) = 0,000799 \mal 1,88 \mal 10.000 = 15,02 \, \text{HUF}E(3 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,000799×1,88×10.000=15,02 HUF

Und für 2 übereinstimmende Zahlen:

E(2 Richtige mit neuem Multiplikator)=0,02696×1,88×1.000=50,71 HUF\mathbb{E}(\text{2 Richtige mit neuem Multiplikator}) = 0,02696 \mal 1,88 \mal 1.000 = 50,71 \, \text{HUF}E(Richtige 2 mit neuem Multiplikator)=0,02696×1,88×1.000=50,71 HUF

Diese aktualisierten erwarteten Auszahlungen zeigen eine Verringerung der Gesamtgewinne der Spieler, was zur Steigerung der Rentabilität beiträgt.

Wolfram Language Code für aktualisierte erwartete Auszahlungen

Wolfram

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(* Definieren Sie die Grundpreise für jedes Spielergebnis *)

basePrizes = {100000, 10000, 1000};

(* Definieren Sie die Übereinstimmungswahrscheinlichkeiten für 4, 3 und 2 Zahlen *)

matchProbabilities = {1/230300, 0,000799, 0,02696};

(* Berechnen Sie die aktualisierten erwarteten Auszahlungen für jedes Spielergebnis *)

updatedExpectedPayouts = matchProbabilities * newExpectedMultiplier * basePrizes;

(* Geben Sie die aktualisierten erwarteten Auszahlungen aus *)

updatedErwartete Auszahlungen

Dieser Code berechnet die aktualisierten erwarteten Auszahlungen basierend auf den neuen Multiplikatorwahrscheinlichkeiten.

6.2.5. Visualisierung der Auswirkungen angepasster Multiplikatorwahrscheinlichkeiten

Visuelle Darstellungen, wie sich die angepassten Multiplikatorwahrscheinlichkeiten auf die erwarteten Ausschüttungen und die Rentabilität auswirken, können nützlich sein, um fundierte Entscheidungen zu treffen. Balkendiagramme und Liniendiagramme können helfen, die Änderungen in den Auszahlungsstrukturen vor und nach der Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten zu visualisieren.

Wolfram Language Code zur Visualisierung von Anpassungen

Wolfram

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(* Erstellen Sie ein Balkendiagramm, um die erwarteten Auszahlungen vor und nach der Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten zu vergleichen *)

BarChart[{erwartete Auszahlungen, aktualisiertErwartete Auszahlungen},

ChartLabels -> {"Ursprünglicher Multiplikator", "Angepasster Multiplikator"},

PlotLabel -> "Vergleich der erwarteten Auszahlungen vor und nach Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten",

BarSpacing -> 0.5]

Dieses Diagramm bietet einen visuellen Vergleich der erwarteten Auszahlungen nach dem ursprünglichen und dem angepassten Multiplikatorsystem, sodass die Betreiber sehen können, wie sich Änderungen der Wahrscheinlichkeiten auf die Gesamtgewinne der Spieler und die Rentabilität des Spiels auswirken.

6.2.6. Feinabstimmung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten

Durch die Durchführung von Simulationen mit unterschiedlichen Multiplikatorwahrscheinlichkeiten können die Betreiber das Gleichgewicht zwischen Spielerzufriedenheit und Rentabilität fein abstimmen. Zum Beispiel kann eine Erhöhung der Wahrscheinlichkeit der 1x- und 2x-Multiplikatoren die Spannung leicht verringern, aber die Gesamtrentabilität verbessern, insbesondere wenn höhere Multiplikatoren selten sind. In ähnlicher Weise kann die Anpassung der Wahrscheinlichkeiten der mittleren Multiplikatoren (z. B. 3x) eine ausgewogenere Auszahlungsverteilung schaffen und so große Schwankungen bei den erwarteten Gewinnen verhindern.

Das Ziel der Feinabstimmung besteht darin:

Maximieren Sie die Rentabilität, indem Sie übermäßige Auszahlungen durch seltene, hohe Multiplikatoren reduzieren.
Halten Sie die Spielerbindung aufrecht , indem Sie sicherstellen, dass kleinere Gewinne häufig und aussagekräftig bleiben.

6.2.7. Schlussfolgerung

Die Anpassung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten ist eine effektive Strategie, um die Rentabilität von "Pick & Multiply" zu optimieren und gleichzeitig ein spannendes Spielerlebnis zu bieten. Durch die sorgfältige Senkung der Wahrscheinlichkeit hoher Multiplikatoren und die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit niedrigerer Multiplikatoren können die Betreiber die erwarteten Gesamtauszahlungen reduzieren und die Einnahmen steigern, ohne die Attraktivität des Spiels zu beeinträchtigen. Diese Anpassungen können iterativ durch Simulationen getestet werden, um ein ideales Gleichgewicht zwischen Auszahlungsvariabilität und Rentabilität zu gewährleisten.

Der nächste Abschnitt konzentriert sich auf die Feinabstimmung der Ticketpreise auf der Grundlage der aktualisierten erwarteten Auszahlungen, um die Finanzstruktur des Spiels weiter zu optimieren.

6. Simulationen und Optimierung

6.3. Feinabstimmung der Ticketpreise an die Marktbedingungen

Die korrekte Preisgestaltung der Lose ist eines der wichtigsten Elemente, um den Erfolg eines Lotteriespiels zu gewährleisten, einschließlich "Pick & Multiply". Der Ticketpreis muss ein Gleichgewicht zwischen den Erwartungen der Spieler, der Marktnachfrage und der Rentabilität des Spiels widerspiegeln. Das Ziel der Feinabstimmung der Ticketpreise besteht darin, sicherzustellen, dass das Spiel für die Spieler attraktiv bleibt und gleichzeitig sichergestellt wird, dass die Betreiber eine optimale Gewinnspanne beibehalten. In diesem Abschnitt wird erläutert, wie Sie den idealen Ticketpreis basierend auf Marktbedingungen, erwarteten Auszahlungen und Simulationen berechnen.

6.3.1. Auswirkungen der Ticketpreise auf die Rentabilität

Der Ticketpreis hat einen direkten Einfluss auf die Rentabilität des Spiels, da er als Haupteinnahmequelle dient. Bei "Pick & Multiply" muss der Ticketpreis so eingestellt werden, dass die erwartete Auszahlung niedriger ist als der Ticketpreis, um sicherzustellen, dass der Betreiber einen Gewinn erwirtschaftet.

Das Verhältnis zwischen dem Ticketpreis TTT und der erwarteten Gesamtauszahlung E(Gesamtauszahlung)\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung})E(Gesamtauszahlung) kann wie folgt ausgedrückt werden:

T>E(Gesamtauszahlung)T > \mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung})T>E(Gesamtauszahlung)

Diese Ungleichheit sorgt dafür, dass der Ticketpreis den durchschnittlichen Betrag übersteigt, der an die Spieler ausgezahlt wird. Indem der Ticketpreis höher angesetzt wird als die erwartete Gesamtauszahlung, bleibt das Spiel auf lange Sicht profitabel.

Wolfram Language Code für die Berechnung des Ticketpreises auf Basis der erwarteten Auszahlung

Wolfram

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(* Definieren Sie die erwartete Gesamtauszahlung aus früheren Berechnungen *)

totalExpectedPayout = 74,3014;

(* Berechnen Sie den Ticketpreis, um die Rentabilität zu gewährleisten *)

ticketPrice = totalExpectedPayout * (1 + 1,0); (* 100% Gewinnspanne *)

(* Geben Sie den Ticketpreis aus *)

ticketPreis

Dieser Code berechnet den Mindestticketpreis, der erforderlich ist, um die Rentabilität mit einer Gewinnspanne von 100 % auf der Grundlage der erwarteten Gesamtauszahlung zu gewährleisten.

6.3.2. Sensibilität des Marktes für die Preisgestaltung von Tickets

Während die theoretischen Berechnungen eine Grundlage für den Ticketpreis liefern, ist die Marktsensitivität ein kritischer Faktor bei der Bestimmung des tatsächlichen Preispunkts. Lotteriespieler reagieren empfindlich auf die Preisgestaltung, und selbst eine geringfügige Erhöhung des Ticketpreises kann die Anzahl der Teilnehmer reduzieren. Daher muss sich der Ticketpreis an der Zahlungsbereitschaft des Marktes orientieren.

Eine Preisstrategie sollte Folgendes berücksichtigen:

Preiselastizität der Nachfrage: Die Reaktionsfähigkeit der Spieler auf Änderungen der Ticketpreise.
Marktvergleiche: Die Preisgestaltung ähnlicher Lotteriespiele auf demselben Markt oder in derselben Region.
Spielererfahrung: Sicherstellen, dass sich der Ticketpreis fair anfühlt und eine angemessene Kapitalrendite bietet, insbesondere bei kleineren oder häufigeren Gewinnen.

Beispiel für eine marktbasierte Preisanpassung

Wenn die Marktforschung darauf hindeutet, dass Spieler bereit sind, maximal 200 HUF für ein Ticket zu zahlen, können wir dies als Obergrenze für die Preisgestaltung verwenden. Unter der Annahme, dass die erwartete Gesamtausschüttung 74.3014 HUF beträgt, können wir die Gewinnspanne MMM wie folgt berechnen:

M=TE(Gesamtauszahlung)−1M = \frac{T}{\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung})} - 1M=E(Gesamtauszahlung)T−1

Ersetzen des Fahrkartenpreises T=200T = 200T=200 HUF:

M=20074,3014−1=1,69(oder 169 % Gewinnspanne)M = \frac{200}{74,3014} - 1 = 1,69 \quad (\text{oder 169\% Gewinnspanne})M=74,3014200−1=1,69 (oder 169 % Gewinnspanne)

Diese Gewinnspanne sichert die Rentabilität und hält den Ticketpreis innerhalb des marktüblichen Rahmens.

Wolfram Language Code für marktbasierte Preisanpassung

Wolfram

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(* Definieren Sie den marktgerechten Ticketpreis *)

marketTicketPrice = 200;

(* Berechnen Sie die Gewinnspanne auf der Grundlage des Marktpreises *)

GewinnMarge = (MarktTicketPreis / gesamtErwartete Auszahlung) - 1;

(* Geben Sie die Gewinnspanne aus *)

GewinnMarge

Dieser Code berechnet die Gewinnspanne auf der Grundlage eines marktgerechten Ticketpreises von 200 HUF und gibt Einblicke in die Rentabilität des Spiels unter Marktbedingungen.

6.3.3. Preisoptimierung mittels Simulationen

Um die Ticketpreise weiter zu optimieren, können Simulationen durchgeführt werden, um das Verhalten der Spieler unter verschiedenen Preisszenarien zu modellieren. Durch die Variation des Ticketpreises und die Analyse der Auswirkungen auf die Gesamteinnahmen und die Spielerbeteiligung können die Betreiber den Preis identifizieren, der den Gewinn maximiert und gleichzeitig ein gesundes Maß an Spielerengagement aufrechterhält.

Simulationsalgorithmus zur Preisoptimierung

Der Algorithmus zur Preisoptimierung kann wie folgt aufgebaut werden:

Legen Sie eine Reihe von Ticketpreisen fest: Entdecken Sie zum Beispiel Preise zwischen 150 HUF und 250 HUF.
Führen Sie Simulationen für jeden Preispunkt durch und berechnen Sie den Gesamtumsatz und die erwartete Spielerbeteiligung.
Analysieren Sie die Ergebnisse , um den Preis zu finden, der den Umsatz maximiert und gleichzeitig ein akzeptables Maß an Spielerbindung aufrechterhält.

Wolfram Language Code zur Simulation der Ticketpreisoptimierung

Wolfram

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(* Definieren Sie eine Reihe von Ticketpreisen zum Testen *)

ticketPrices = Bereich[150, 250, 10];

(* Funktion zur Simulation von Einnahmen für einen bestimmten Ticketpreis *)

simulateRevenue[ticketPrice_] := Modul[{profitMargin, expectedRevenue, playerParticipation},

(* Berechnen Sie die Gewinnspanne basierend auf dem Ticketpreis *)

profitMargin = (ticketPrice / totalExpectedPayout) - 1;

(* Schätzung der Spielerbeteiligung auf der Grundlage der Preiselastizität (vereinfachtes Modell) *)

playerParticipation = 1000000 * Exp[-(ticketPrice - 150)/50]; (* Sinkt bei steigendem Preis *)

(* Berechnen Sie den erwarteten Gesamtumsatz *)

expectedRevenue = ticketPrice * playerParticipation;

(* Geben Sie die erwarteten Einnahmen für diesen Ticketpreis zurück *)

erwarteter Umsatz

]

(* Führen Sie die Simulation für jeden Ticketpreis durch *)

simulatedRevenue = simulateRevenue /@ ticketPrices;

(* Geben Sie die Ergebnisse aus: Ticketpreise und entsprechende Einnahmen *)

Transponieren[{ticketPreise, simulierte Einnahmen}]

Dieser Code modelliert die Beziehung zwischen dem Ticketpreis und den erwarteten Gesamteinnahmen und ermöglicht eine Optimierung des Ticketpreises, um den Gewinn mit der Beteiligung der Spieler in Einklang zu bringen.

6.3.4. Visualisierung der Preissensitivität und Umsatzoptimierung

Ein Liniendiagramm kann dabei helfen, zu visualisieren, wie sich unterschiedliche Ticketpreise auf den Gesamtumsatz auswirken, und gibt Aufschluss darüber, welcher Preispunkt das beste Gleichgewicht zwischen Einnahmen und Spielerbindung bietet.

Wolfram Language Code zur Visualisierung der Preissensibilität

Wolfram

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(* Erstellen Sie ein Liniendiagramm der Ticketpreise im Vergleich zu den simulierten Einnahmen *)

ListLinePlot[Transpose[{ticketPrices, simulatedRevenues}],

PlotLabel -> "Ticketpreis vs. erwartete Einnahmen",

axesLabel -> {"Ticketpreis (HUF)", "erwartete Einnahmen"},

PlotRange -> alle, PlotStyle -> {blau, dick}]

Dieses Liniendiagramm zeigt, wie der Gesamtumsatz mit dem Ticketpreis variiert, und hilft den Betreibern, die optimale Preisstrategie zu identifizieren.

6.3.5. Überlegungen zu marktspezifischen Anpassungen

Unterschiedliche Märkte können aufgrund kultureller und wirtschaftlicher Faktoren eine unterschiedliche Preissensibilität aufweisen. In einem Land mit niedrigerem Durchschnittseinkommen müssen beispielsweise die Ticketpreise möglicherweise nach unten angepasst werden, um die Teilnahme zu erhalten, auch wenn dies die unmittelbare Gewinnspanne verringert. Umgekehrt kann in Märkten mit höherem Einkommen der Ticketpreis erhöht werden, um von einer höheren Kaufkraft zu profitieren und gleichzeitig die Rentabilität zu erhalten.

Zu den wichtigsten Überlegungen gehören:

Lokale wirtschaftliche Bedingungen: Passen Sie die Ticketpreise auf der Grundlage des durchschnittlich verfügbaren Einkommens im Zielmarkt an.
Preisgestaltung der Wettbewerber: Stellen Sie sicher, dass die Ticketpreise mit ähnlichen Lotteriespielen in derselben Region wettbewerbsfähig sind.
Spielpositionierung: Positionieren Sie "Pick & Multiply" entweder als Premium-Spiel mit höheren Ticketpreisen und höheren Preisen oder als budgetfreundliches Spiel mit niedrigeren Preisen und häufigeren Gewinnen.

Durch die Analyse lokaler Marktdaten und die Durchführung von Preissimulationen können die Betreiber den Ticketpreis fein abstimmen, um ein maximales Engagement und eine maximale Rentabilität in verschiedenen Regionen zu gewährleisten.

6.3.6. Schlussfolgerung

Die Feinabstimmung der Ticketpreise für "Pick & Multiply" erfordert die Abwägung der theoretischen Rentabilität mit der Marktnachfrage und der Spielerbindung. Der ideale Ticketpreis ist einer, der die Rentabilität sichert und gleichzeitig für die Spieler zugänglich bleibt, und dies kann durch eine Kombination aus theoretischen Berechnungen, Marktforschung und Simulationen erreicht werden. Durch die Durchführung von Simulationen, die verschiedene Preispunkte untersuchen, können Betreiber die optimale Preisstrategie finden, die den Umsatz maximiert und gleichzeitig sicherstellt, dass das Spiel auf dem Markt attraktiv und wettbewerbsfähig bleibt.

Im nächsten Abschnitt werden potenzielle Spielvarianten untersucht, die die Attraktivität von "Pick & Multiply" weiter steigern könnten und neue Möglichkeiten bieten, Spieler zu begeistern und gleichzeitig die Rentabilität zu erhalten.

7. Spielvarianten

7.1. Ändern des Nummernpools

Bei Lotteriespielen wie "Pick & Multiply" wirkt sich die Größe des Zahlenpools (der Bereich, aus dem die Spieler ihre Zahlen auswählen) direkt auf die Gewinnwahrscheinlichkeit, die Auszahlungsstruktur und die allgemeine Spannung des Spiels aus. Das Ändern des Zahlenpools ist eine gängige Methode zur Erstellung von Spielvarianten, um sowohl die Quoten als auch die Attraktivität an verschiedene Marktsegmente anzupassen. In diesem Abschnitt werden wir untersuchen, wie sich die Änderung der Größe des Zahlenpools auf die mathematischen Grundlagen des Spiels, die Preisverteilung und das Spielerlebnis auswirkt.

7.1.1. Aktuelle Struktur des Nummernpools

Im Standardspiel "Pick & Multiply" wählen die Spieler 4 Zahlen aus einem Pool von 50 aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Zahlen übereinstimmen, basiert auf der Kombinatorik der Auswahl von 4 Zahlen aus einer Menge von 50, die mit der Formel für Kombinationen berechnet wird:

C(n,k)=n!k! (n−k)! C(n, k) = \frac{n!}{k! (n-k)!}C(n,k)=k! (n−k)!n!

Wo:

nnn ist die Gesamtzahl der Zahlen im Pool (in diesem Fall 50),
KKK ist die Anzahl der Zahlen, die der Spieler auswählt (4).

Die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen von 4 Zahlen aus 50 beträgt also:

C(50,4)=50!4! (50−4)!=230,300C(50, 4) = \frac{50!}{4! (50-4)!} = 230.300C(50,4)=4! (50−4)!50!=230.300

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler alle 4 Zahlen richtig hat, 1 zu 230.300 beträgt.

Wolfram Language Code für die Anzahl der Kombinationen

Wolfram

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(* Definieren Sie die Gesamtzahl der Zahlen und die Anzahl der Auswahlen *)

n = 50;

k = 4;

(* Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen *)

Kombinationen = Binomial[n, k];

(* Geben Sie die Anzahl der Kombinationen aus *)

Kombinationen

Dieser Code berechnet die Anzahl der möglichen Kombinationen von 4 Zahlen aus 50 und bildet die Grundlage für die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Zahlen übereinstimmen.

7.1.2. Ändern des Nummernpools

Durch die Änderung der Größe des Zahlenpools können Bediener Varianten von "Pick & Multiply" erstellen, die unterschiedliche Schwierigkeitsgrade und Spannung bieten. Zwei gängige Ansätze sind:

Vergrößern des Zahlenpools: Dies erhöht die Gesamtzahl der Kombinationen, wodurch es schwieriger wird, den Jackpot zu gewinnen, aber größere Auszahlungen möglich sind.
Verringern des Zahlenpools: Dies reduziert die Anzahl der Kombinationen, was das Gewinnen erleichtert, aber möglicherweise kleinere Preise erfordert, um die Rentabilität aufrechtzuerhalten.

Beispiel 1: Erhöhen des Nummernpools auf 60

Wenn der Zahlenpool auf 60 erhöht wird, ergibt sich die Anzahl der möglichen Kombinationen für die Auswahl von 4 Zahlen:

C(60,4)=60!4! (60−4)!=487,635C(60, 4) = \frac{60!}{4! (60-4)!} = 487,635C(60,4)=4! (60−4)!60!Tel.: 487.635 kg

Diese Anpassung macht es schwieriger, alle 4 Zahlen richtig zu tippen, da die Quote jetzt 1 zu 487.635 beträgt. Infolgedessen kann das Spiel größere Jackpot-Preise anbieten, da die Gewinnwahrscheinlichkeit gesunken ist.

Wolfram Language Code für einen größeren Zahlenpool

Wolfram

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(* Definieren Sie die neue Größe des Nummernpools *)

n = 60;

(* Berechnen Sie die neue Anzahl der Kombinationen *)

newCombinations = Binomial[n, k];

(* Gibt die neue Anzahl der Kombinationen aus *)

neuKombinationen

Dieser Code berechnet die Anzahl der Kombinationen, wenn der Zahlenpool auf 60 erhöht wird, und zeigt, wie sich dies auf die Gewinnchancen auswirkt.

Beispiel 2: Verringern des Zahlenpools auf 40

Wenn der Zahlenpool auf 40 reduziert wird, verringert sich die Gesamtzahl der Kombinationen:

C(40,4)=40!4! (40−4)!=91,390C(40, 4) = \frac{40!}{4! (40-4)!} = 91.390C(40,4)=4! (40−4)!40!=91.390 kg

Mit dieser Anpassung verbessern sich die Chancen, alle 4 Zahlen richtig zu haben, auf 1 zu 91.390, was den Gewinn erleichtert. Um jedoch die Rentabilität aufrechtzuerhalten, muss der Jackpot-Preis möglicherweise reduziert oder der Ticketpreis erhöht werden, da die Wahrscheinlichkeit von Gewinnen höher ist.

Wolfram Language Code für verringerten Zahlenpool

Wolfram

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(* Definieren Sie die reduzierte Poolgröße *)

n = 40;

(* Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen für den reduzierten Pool *)

reducedCombinations = Binomial[n, k];

(* Geben Sie die Anzahl der Kombinationen aus *)

reduziertKombinationen

Dieser Code berechnet die Anzahl der Kombinationen, wenn der Zahlenpool auf 40 reduziert wird, und zeigt, wie diese Änderung die Gewinnwahrscheinlichkeit erhöht.

7.1.3. Auswirkungen auf Spielergewinne und Auszahlungsstruktur

Das Ändern des Zahlenpools wirkt sich auf die Auszahlungsstruktur des Spiels aus, indem es die Wahrscheinlichkeit ändert, dass verschiedene Zahlen übereinstimmen. Wenn beispielsweise der Zahlenpool auf 60 erhöht wird, sinkt auch die Wahrscheinlichkeit, 3 oder 2 Zahlen zu treffen, was sich auf die erwarteten Auszahlungen für Preise niedrigerer Stufen auswirkt.

Vergleichen wir die Übereinstimmungswahrscheinlichkeiten für verschiedene Zahlenpoolgrößen:

Größe des Zahlenpools	Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung 4	Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung von 3	Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung 2
50	1230,300\frac{1}{230,300}230,3001	11,250\frac{1}{1,250}1,2501	137\frac{1}{37}371
60	1487,635\frac{1}{487,635}487,6351	11,955\frac{1}{1,955}1,9551	155\frac{1}{55}551
40	191,390\frac{1}{91,390}91,3901	1872\frac{1}{872}8721	128\frac{1}{28}281

Mit zunehmendem Zahlenpool sinkt die Wahrscheinlichkeit, 4 Zahlen zu treffen , was höhere Jackpots ermöglicht. Umgekehrt erhöht die Reduzierung des Zahlenpools die Gewinnchancen, so dass es notwendig ist, die Preisstufen anzupassen, um die Rentabilität zu erhalten.

7.1.4. Simulation von Spielergewinnen mit geänderten Zahlenpools

Um zu verstehen, wie sich die Änderung des Zahlenpools auf die Gewinne der Spieler auswirkt, können wir das Spiel unter verschiedenen Bedingungen des Zahlenpools simulieren. Durch die Durchführung einer großen Anzahl von simulierten Spielen können wir beobachten, wie oft die Spieler gewinnen und wie die Auszahlungen verteilt sind.

Wolfram Language Code zur Simulation von Spielergewinnen mit modifizierten Zahlenpools

Wolfram

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(* Definieren Sie die geänderte Größe des Nummernpools *)

n = 60; (* oder 40 für den ermäßigten Pool *)

(* Funktion zur Simulation einer einzelnen Spieliteration mit modifiziertem Pool *)

simulateGameWithModifiedPool[] := Modul[{playerNumbers, winningNumbers, matches, basePrize, Multiplikator, Auszahlung},

(* Zufällig 4 Spielerzahlen und 4 Gewinnzahlen aus dem modifizierten Pool auswählen *)

playerNumbers = RandomSample[Bereich[n], k];

winningNumbers = RandomSample[Bereich[n], k];

(* Anzahl der Übereinstimmungen zählen *)

Treffer = Länge[Schnittmenge[SpielerZahlen, Gewinnzahlen]];

(* Bestimmen Sie den Basispreis basierend auf der Anzahl der Übereinstimmungen *)

basePrize = Welcher[

Treffer == 4, basePrizes[[1]],

Treffer == 3, basePrizes[[2]],

Treffer == 2, basePrizes[[3]],

Wahr, 0

];

(* Multiplikator anwenden, wenn es einen Basispreis gibt *)

Wenn[basePrize > 0,

Multiplikator = RandomChoice[multiplierProbabilities -> {1, 2, 3, 4, 5}];

Auszahlung = basePrize * multiplizieren,

Auszahlung = 0

];

(* Rückgabe der Auszahlung *)

Ausschüttung

]

(* Simulieren Sie eine große Anzahl von Spielen, um die Auszahlungsverteilung zu beobachten *)

Anzahl Simulationen = 100000;

simulationResults = Tabelle[simulateGameWithModifiedPool[], {numSimulations}];

(* Berechnen Sie die durchschnittliche Auszahlung und die Gesamtauszahlung *)

meanPayout = Mittelwert[Simulationsergebnisse];

totalPayout = Gesamt[simulationResults];

{MittelAuszahlung, Gesamtauszahlung}

Dieser Code simuliert Spielergewinne mit einem modifizierten Zahlenpool und gibt Einblicke, wie sich Änderungen am Zahlenpool auf die Häufigkeit und Höhe der Auszahlungen auswirken.

7.1.5. Vorteile und Herausforderungen der Änderung des Nummernpools

Die Modifikation des Nummernpools bietet mehrere Vorteile und Herausforderungen:

Vorteile:

Erhöhte Spannung: Ein größerer Zahlenpool führt zu höheren Jackpots, die Spieler ansprechen, die nach lebensverändernden Preisen suchen.
Häufigere Gewinne: Ein kleinerer Zahlenpool erhöht die Wahrscheinlichkeit von Gewinnen in niedrigeren Stufen und bietet Gelegenheitsspielern ein lohnenderes Erlebnis.
Flexibles Spieldesign: Betreiber können mehrere Spielvarianten mit unterschiedlichen Zahlenpools erstellen, um unterschiedliche Spielerdemografien anzusprechen.

Herausforderungen:

Auszahlungen ausgleichen: Die Änderung des Zahlenpools erfordert Anpassungen der Auszahlungsstruktur, um die Rentabilität zu gewährleisten.
Marktsensitivität: Akteure könnten resistent sein

7. Spielvarianten

7.1. Ändern des Nummernpools

Eine der einfachsten und effektivsten Möglichkeiten, Abwechslung in das Spiel von "Pick & Multiply" zu bringen, besteht darin, den Zahlenpool zu ändern, aus dem die Spieler ihre Zahlen auswählen. Durch die Anpassung der Größe dieses Pools können die Betreiber den Schwierigkeitsgrad des Spiels, die Gewinnwahrscheinlichkeiten und die potenziellen Auszahlungen beeinflussen. In diesem Abschnitt wird untersucht, wie sich die Änderung des Zahlenpools auf die Spielmechanik, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen und das allgemeine Spielerlebnis auswirkt, und es werden die mathematischen Grundlagen bereitgestellt, die erforderlich sind, um die Auswirkungen solcher Änderungen zu bewerten.

7.1.1. Überblick über den aktuellen Nummernpool

In der Standardversion von "Pick & Multiply" wählen die Spieler 4 Zahlen aus einem Pool von 50 aus. Dieses Design führt zu einer großen Anzahl von Kombinationsmöglichkeiten, die das Spiel herausfordernd, aber dennoch zugänglich machen. Die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen für die Auswahl von 4 Zahlen aus 50 ergibt sich aus der Kombinationsformel:

C(n,k)=n!k! (n−k)! C(n, k) = \frac{n!}{k! (n-k)!}C(n,k)=k! (n−k)!n!

Wo:

nnn ist die Gesamtzahl der verfügbaren Nummern (in diesem Fall 50),
kkk ist die Anzahl der vom Spieler gewählten Zahlen (in diesem Fall 4),
C(n,k)C(n, k)C(n,k) ist die Anzahl der Kombinationen.

Ersetzen der Werte:

C(50,4)=50!4! (50−4)!=50×49×48×474×3×2×1=230.300C(50, 4) = \frac{50!}{4! (50-4)!} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 230,300C(50,4)=4! (50−4)!50!=4×3×2×150×49×48×47=230.300

Somit gibt es 230.300 mögliche Kombinationen von 4 Zahlen aus einem Pool von 50. Diese Kombinationsstruktur spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass Zahlen übereinstimmen und verschiedene Gewinnklassen gewonnen werden.

Wolfram Language Code zum Berechnen von Kombinationen

Wolfram

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(* Definieren Sie die Gesamtzahl der verfügbaren Zahlen und die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten *)

n = 50;

k = 4;

(* Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen *)

Kombinationen = Binomial[n, k];

(* Geben Sie die Anzahl der Kombinationen aus *)

Kombinationen

Dieser Code berechnet die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen, wenn 4 Zahlen aus einem Pool von 50 ausgewählt werden.

7.1.2. Auswirkungen der Verkleinerung des Zahlenpools

Die Reduzierung des Zahlenpools kann das Spiel leichter gewinnen, da sie die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen verringert und dadurch die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass die Spieler 2, 3 oder 4 Zahlen richtig tippen. Wenn der Zahlenpool beispielsweise von 50 auf 40 reduziert wird, wird die Gesamtzahl der Kombinationen wie folgt:

C(40,4)=40!4! (40−4)!=40×39×38×374×3×2×1=91.390C(40, 4) = \frac{40!}{4! (40-4)!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 91,390C(40,4)=4! (40−4)!40!=4×3×2×140×39×38×37=91.390

So sinkt die Anzahl der Kombinationen von 230.300 auf 91.390, was die Gewinnchancen deutlich erhöht. Dies würde das Spiel für Spieler attraktiver machen, die häufige Gewinne anstreben, erfordert aber auch Anpassungen in der Preisverteilung , um die Rentabilität zu gewährleisten.

Wolfram Language Code für Reduced Number Pool

Wolfram

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(* Definieren Sie den reduzierten Zahlenpool *)

nReduziert = 40;

(* Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen mit dem reduzierten Pool *)

KombinationenReduziert = Binomial[nReduziert, k];

(* Gibt die neue Anzahl der Kombinationen aus *)

KombinationenReduziert

Dieser Code berechnet die Gesamtzahl der Kombinationen für einen reduzierten Zahlenpool von 40.

7.1.3. Wahrscheinlichkeitsanpassungen mit einem reduzierten Zahlenpool

Mit einem reduzierten Zahlenpool steigt die Wahrscheinlichkeit, dass 2, 3 oder 4 Zahlen übereinstimmen. Die Wahrscheinlichkeit P(k)P(k)P(k), dass die Zahlen genau mit kkk übereinstimmen, kann mit Hilfe der hypergeometrischen Verteilung berechnet werden, die die Tatsache berücksichtigt, dass sowohl die Zahlen des Spielers als auch die Gewinnzahlen aus demselben Pool gezogen werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass KKK-Zahlen aus 4 ausgewählten Zahlen aus einem Pool von nnn-Zahlen richtig sind, beträgt:

P(k)=C(k,k)×C(n−k,4−k)C(n,4)P(k) = \frac{C(k, k) \times C(n-k, 4-k)}{C(n, 4)}P(k)=C(n,4)C(k,k)×C(n−k,4−k)

So berechnen Sie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Zahlen aus einem reduzierten Pool von 40 übereinstimmen:

P(Übereinstimmung 4)=C(4,4)×C(40−4,0)C(40,4)=1×191,390=191,390P(\text{Übereinstimmung 4}) = \frac{C(4, 4) \times C(40-4, 0)}{C(40, 4)} = \frac{1 \times 1}{91,390} = \frac{1}{91,390}P(Übereinstimmung 4)=C(40,4)C(4,4)×C(40−4,0)=91,3901×1=91,3901

Dies ist eine deutliche Verbesserung gegenüber der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit, 4 Zahlen aus einem Pool von 50 zu treffen, die wie folgt lautete:

P(Treffer 4)=1230,300P(\text{Treffer 4}) = \frac{1}{230,300}P(Treffer 4)=230,3001

Wolfram Language Code zum Anpassen von Wahrscheinlichkeiten

Wolfram

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(* Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass k Zahlen übereinstimmen *)

WahrscheinlichkeitMatch[k_, n_] := Binomial[k, k] * Binomial[n - k, 4 - k] / Binomial[n, 4]

(* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Zahlen im reduzierten Pool übereinstimmen *)

WahrscheinlichkeitMatch4Reduziert = WahrscheinlichkeitMatch[4, nReduziert];

(* Gibt die Wahrscheinlichkeit aus, dass 4 Zahlen übereinstimmen *)

WahrscheinlichkeitMatch4Reduziert

Dieser Code berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Zahlen in einem reduzierten Zahlenpool von 40 übereinstimmen.

7.1.4. Erhöhung des Zahlenpools: höherer Schwierigkeitsgrad, größere Jackpots

Umgekehrt erschwert die Erhöhung des Zahlenpools das Spiel, indem die Gesamtzahl der Kombinationen erhöht wird. Wenn Sie z. B. den Zahlenpool von 50 auf 60 erhöhen, erhöht sich die Gesamtzahl der Kombinationen:

C(60,4)=60!4! (60−4)!=60×59×58×574×3×2×1=487,635C(60, 4) = \frac{60!}{4! (60-4)!} = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 487,635C(60,4)=4! (60−4)!60!=4×3×2×160×59×58×57=487.635

Je mehr Kombinationen möglich sind, desto geringer sind die Chancen, dass 2, 3 oder 4 Zahlen richtig liegen. Dies ermöglicht jedoch größere Jackpots, da die geringere Gewinnwahrscheinlichkeit bedeutet, dass der Betreiber größere Preise anbieten kann, während die Rentabilität erhalten bleibt.

Wolfram Language Code für einen größeren Zahlenpool

Wolfram

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(* Definieren Sie den erhöhten Zahlenpool *)

nErhöht = 60;

(* Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen mit dem erhöhten Pool *)

KombinationenErhöht = Binomial[nErhöht, k];

(* Gibt die neue Anzahl der Kombinationen aus *)

KombinationenErhöht

Dieser Code berechnet die Gesamtzahl der Kombinationen für einen erhöhten Zahlenpool von 60.

7.1.5. Anpassungen der Preisverteilung auf der Grundlage des Zahlenpools

Bei der Änderung des Zahlenpools ist es unerlässlich, die Preisverteilung anzupassen, um die Rentabilität zu erhalten. In einem Spiel mit einem kleineren Zahlenpool (z. B. 40) erhöhen sich beispielsweise die Gewinnchancen, daher sollten der Jackpot und die Preise der mittleren Stufe entsprechend reduziert werden, um die Auszahlungsstruktur des Spiels auszugleichen.

Im Gegensatz dazu verringert ein größerer Zahlenpool (z.B. 60) die Gewinnwahrscheinlichkeit, was höhere Jackpots ermöglicht. Das Spiel könnte progressive Jackpots einführen, die im Laufe der Zeit wachsen, was mehr Spannung und Anreiz für die Spieler schafft, trotz der niedrigeren Gewinnchancen teilzunehmen.

Wolfram Language Code zur Anpassung der Preisverteilung

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(* Definieren Sie die Basispreise für die Übereinstimmung von 4, 3 und 2 Zahlen im ursprünglichen Pool *)

basePrizes = {100000, 10000, 1000};

(* Funktion zur Anpassung der Preise basierend auf der Poolgröße *)

adjustedPrizes[nOriginal_, nNew_, basePrizes_] := basePrizes * (Binomial[nOriginal, k] / Binomial[nNeu, k])

(* Berechnen Sie die angepassten Preise für den reduzierten Zahlenpool *)

adjustedPrizesReduced = angepasste Preise[50, nReduziert, basePrizes];

(* Ausgabe der angepassten Preise *)

angepasstPreiseReduziert

Dieser Code berechnet die angepassten Gewinnbeträge, wenn der Zahlenpool geändert wird, und stellt sicher, dass das Spiel in Bezug auf die Auszahlungen ausgeglichen bleibt.

7.1.6. Schlussfolgerung

Die Modifikation des Zahlenpools in "Pick & Multiply" bietet eine effektive Möglichkeit, neue Spielvarianten zu erstellen, die unterschiedliche Vorlieben der Spieler ansprechen. Ein kleinerer Zahlenpool erhöht die Gewinnchancen und sorgt für ein häufigeres, aber kleineres Preiserlebnis, während ein größerer Zahlenpool die Gewinnchancen verringert und größere Jackpots und eine größere Spannung bei seltenen Gewinnen ermöglicht. Die Anpassung des Zahlenpools erfordert auch eine sorgfältige Neukalibrierung der Preisverteilung und der erwarteten Auszahlungen, um sicherzustellen, dass das Spiel profitabel bleibt und gleichzeitig das Engagement der Spieler aufrechterhalten wird.

Im nächsten Abschnitt werden alternative Multiplikatorsysteme untersucht, eine weitere Variante, die eingeführt werden kann, um das Spielerlebnis weiter zu diversifizieren und den Spielern neue strategische Elemente zu bieten.

7. Spielvarianten

7.2. Alternative Multiplikatorensysteme

Im Standardspiel "Pick & Multiply" können die Spieler Preise gewinnen, die mit einem Zufallsfaktor zwischen 1x und 5x multipliziert werden, wobei jedem Multiplikator Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden. Dieses System sorgt für Spannung, indem es die Variabilität der Gewinnbeträge erhöht, aber es kann mit alternativen Multiplikatorsystemen weiter verbessert werden, um eine neue Spieldynamik zu schaffen. Alternative Multiplikator-Designs können das Engagement der Spieler erhöhen, strategische Entscheidungen bieten und sogar die Rentabilität verbessern, indem sie die Quoten und Auszahlungsverteilungen verschieben.

In diesem Abschnitt werden verschiedene alternative Multiplikatorsysteme untersucht, die in "Pick & Multiply" implementiert werden können, um das Gameplay zu diversifizieren und den Spielern neue Gewinnmöglichkeiten zu bieten.

7.2.1. System der progressiven Multiplikatoren

Ein progressives Multiplikatorsystem erhöht den Multiplikator für einen Spieler schrittweise, da er weiterhin an aufeinanderfolgenden Ziehungen teilnimmt, ohne den Jackpot zu gewinnen. Dieses System belohnt die Beharrlichkeit der Spieler und fördert langfristiges Engagement. Jedes Mal, wenn ein Spieler den Jackpot nicht gewinnt, erhöht sich sein potenzieller Multiplikator für die nächste Ziehung.

Beispiel für eine Progression

Anfängliche Multiplikation: 1x
Nach 3 Niederlagen in Folge: 2x
Nach 6 Niederlagen in Folge: 3x
Maximaler Multiplikator: 5x nach 12 aufeinanderfolgenden Verlusten

Wenn der Spieler zu irgendeinem Zeitpunkt gewinnt, wird der Multiplikator für die nächste Ziehung auf 1x zurückgesetzt. Dieses System erhöht die Spannung, indem es den Spielern die Chance bietet, größere Preise zu gewinnen, wenn sie mehrere Runden durchhalten, ohne den Jackpot zu knacken.

Mathematische Auswirkungen

Um die Auswirkungen eines progressiven Multiplikatorsystems zu analysieren, müssen wir den erwarteten Multiplikator basierend auf der Wahrscheinlichkeit berechnen, den Jackpot in aufeinanderfolgenden Ziehungen nicht zu gewinnen. Wenn die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot in einer einzigen Ziehung zu gewinnen, P(Win)=1230,300P(\text{Win}) = \frac{1}{230,300}P(Win)=230,3001 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot bei nnn aufeinanderfolgenden Ziehungen nicht zu gewinnen:

P(Kein Gewinn für n Ziehungen)=(1−1230,300)nP(\text{Kein Gewinn für } n \text{ Ziehungen}) = \left( 1 - \frac{1}{230,300} \right)^nP(Kein Gewinn für n Ziehungen)=(1−230,3001)n

Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, bei 12 aufeinanderfolgenden Ziehungen nicht zu gewinnen:

P(Kein Gewinn bei 12 Ziehungen)=(1−1230,300)12≈0,999948P(\text{Kein Gewinn bei 12 Ziehungen}) = \left( 1 - \frac{1}{230,300} \right)^{12} \approx 0,999948P(Kein Gewinn bei 12 Ziehungen)=(1−230,3001)12≈0,999948

Der erwartete Multiplikator nach einer Reihe von Ziehungen kann als gewichtete Summe der Multiplikatoren berechnet werden, die auf der Wahrscheinlichkeit basiert, ohne Gewinn im Spiel zu bleiben.

Wolfram Language Code für Progressive Multiplier System

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(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot nicht zu gewinnen *)

PNoWin = 1 - 1/230300;

(* Definieren Sie die Anzahl der aufeinanderfolgenden Ziehungen *)

nZiehungen = 12;

(* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei 12 aufeinanderfolgenden Ziehungen nicht zu gewinnen *)

PNoWin12 = PNoWin^nUnentschieden;

(* Geben Sie die Wahrscheinlichkeit aus *)

PNoWin12

Dieser Code berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler den Jackpot nach 12 aufeinanderfolgenden Ziehungen nicht gewinnt, und zeigt an, wie wahrscheinlich es ist, dass er die höheren Multiplikatoren erreicht.

7.2.2. Gestaffeltes Multiplikatorsystem

Das abgestufte Multiplikatorsystem weist verschiedene Multiplikatoren zu, die auf der Gewinnklasse des Spielers basieren. Zum Beispiel können Spieler, die 2 Zahlen richtig tippen, einen niedrigeren Multiplikator (1x-3x) erhalten, während Spieler, die 3 oder 4 Zahlen richtig tippen, Anspruch auf höhere Multiplikatoren (3x-5x) haben. Dieses Design belohnt Spieler, die dem Gewinn des Jackpots näher kommen, mit größeren potenziellen Multiplikatoren.

Beispiel für eine gestaffelte Multiplikatorstruktur

4 richtige Zahlen: Der Multiplikator reicht von 3x bis 5x
3 richtige Zahlen: Der Multiplikator reicht von 2x bis 4x
2 richtige Zahlen: Der Multiplikator reicht von 1x bis 3x

Diese Struktur erhöht die Spannung für Spieler, die dem Gewinn des Jackpots nahe kommen, da sie wissen, dass sie aufgrund des höheren Multiplikators immer noch einen beträchtlichen Preis gewinnen können.

Auswirkungen auf erwartete Auszahlungen

Berechnen wir den erwarteten Multiplikator für jede Gewinnklasse nach diesem Stufensystem. Der erwartete Multiplikator für jede Stufe wird als gewichteter Durchschnitt der Multiplikatoren basierend auf den ihnen zugewiesenen Wahrscheinlichkeiten berechnet:

E (Multiplikator für Richtige 4) = (0,30×3) + (0,50×4) + (0,20×5) = 3. 90\mathbb{E}(\text{Multiplikator für Übereinstimmung 4}) = (0.30 \times 3) + (0.50 \times 4) + (0.20 \times 5) = 3.90E(Multiplikator für Match 4)=(0.30×3)+(0.50×4)+(0.20×5)=3.90 E(Multiplikator für Match 3)=(0.40×2)+(0.40×3)+(0.20×4)=2.80\mathbb{E}(\text{Multiplikator für Match 3}) = (0.40 \times 2) + (0.40 \times 3) + (0.20 \times 4) = 2.80E(Multiplikator für Match 3)=(0.40×2)+( 0,40×3)+(0,20×4)=2,80 E(Multiplikator für Übereinstimmung 2)=(0,50×1)+(0,30×2)+(0,20×3)=1,70\mathbb{E}(\text{Multiplikator für Übereinstimmung 2}) = (0,50 \mal 1) + (0,30 \mal 2) + (0,20 \mal 3) = 1,70E(Multiplikator für Übereinstimmung 2)=(0,50×1)+(0,30×2)+(0,20×3)=1,70

Wolfram Language Code für das abgestufte Multiplikatorsystem

Wolfram

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(* Definieren Sie die Multiplikatoren und Wahrscheinlichkeiten für jede Spielstufe *)

multipliersMatch4 = {3, 4, 5};

WahrscheinlichkeitMatch4 = {0,30, 0,50, 0,20};

multipliersMatch3 = {2, 3, 4};

WahrscheinlichkeitMatch3 = {0,40, 0,40, 0,20};

multipliersMatch2 = {1, 2, 3};

WahrscheinlichkeitMatch2 = {0,50, 0,30, 0,20};

(* Berechnen Sie den erwarteten Multiplikator für jede Stufe *)

expectedMultiplierMatch4 = Gesamt[multipliersMatch4 * WahrscheinlichkeitMatch4];

expectedMultiplierMatch3 = Gesamt[multipliersMatch3 * WahrscheinlichkeitenMatch3];

expectedMultiplierMatch2 = Gesamt[multipliersMatch2 * WahrscheinlichkeitMatch2];

(* Geben Sie die erwarteten Multiplikatoren aus *)

{expectedMultiplierMatch4, expectedMultiplierMatch3, expectedMultiplierMatch2}

Dieser Code berechnet die erwarteten Multiplikatoren für jede Gewinnstufe im Rahmen des abgestuften Systems und gibt Einblicke, wie sich das System auf die Auszahlungen für verschiedene Gewinnklassen auswirkt.

7.2.3. Dynamisches Multiplikatorsystem auf der Grundlage des Ticketpreises

Ein dynamisches Multiplikatorsystem bindet die Höhe des Multiplikators an den Preis des gekauften Tickets. Die Spieler können sich dafür entscheiden, mehr für ein Ticket zu bezahlen, um ihre Chancen auf einen höheren Multiplikator zu erhöhen. Ein Spieler kann beispielsweise zwischen den folgenden Optionen wählen:

Standard-Ticketpreis (z. B. 200 HUF): Der Multiplikator reicht von 1x bis 3x
Premium-Ticketpreis (z. B. 300 HUF): Der Multiplikator reicht von 2x bis 5x
Deluxe-Ticketpreis (z. B. 500 HUF): Der Multiplikator reicht von 3x bis 7x

Dieses System ermöglicht es den Spielern, ihr Risiko und ihre potenzielle Belohnung zu kontrollieren, was ihnen mehr Handlungsspielraum im Spiel gibt. Spieler, die größere Auszahlungen wünschen, können sich für höherpreisige Tickets entscheiden, während Gelegenheitsspieler sich an günstigere Optionen mit kleineren potenziellen Multiplikatoren halten können.

Beispiel für einen dynamischen Multiplikator

Standard-Ticket: Multiplikator-Wahrscheinlichkeiten: 50% für 1x, 30% für 2x, 20% für 3x
Premium-Ticket: Multiplikator-Wahrscheinlichkeiten: 30 % für 2x, 40 % für 3x, 30 % für 5x
Deluxe-Ticket: Multiplikator-Wahrscheinlichkeiten: 20% für 3x, 50% für 5x, 30% für 7x

Wolfram Language Code für dynamisches Multiplikatorsystem

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(* Definieren Sie die Multiplikatoren und Wahrscheinlichkeiten für jede Ticketstufe *)

multipliersStandard = {1, 2, 3};

WahrscheinlichkeitenStandard = {0,50, 0,30, 0,20};

multipliersPremium = {2, 3, 5};

WahrscheinlichkeitPrämie = {0,30, 0,40, 0,30};

multipliersDeluxe = {3, 5, 7};

WahrscheinlichkeitenDeluxe = {0,20, 0,50, 0,30};

(* Berechnen Sie den erwarteten Multiplikator für jeden Tickettyp *)

expectedMultiplierStandard = Gesamt[MultiplikatorenStandard * WahrscheinlichkeitenStandard];

expectedMultiplierPremium = Gesamt[MultiplikatorenPrämie * WahrscheinlichkeitenPrämie];

expectedMultiplierDeluxe = Gesamt[MultiplikatorenDeluxe * WahrscheinlichkeitenDeluxe];

(* Geben Sie die erwarteten Multiplikatoren aus *)

{expectedMultiplierStandard, expectedMultiplierPremium, expectedMultiplierDeluxe}

Dieser Code berechnet den erwarteten Multiplikator für jeden Tickettyp im Rahmen des dynamischen Multiplikatorsystems und zeigt, wie sich der Ticketpreis auf die potenzielle Auszahlung des Spielers auswirkt.

7.2.4. Schlussfolgerung

Die Einführung alternativer Multiplikatorsysteme in "Pick & Multiply" kann das Spielerlebnis erheblich verbessern, indem neue Dimensionen der Strategie und Spannung hinzugefügt werden. Ob durch progressive Multiplikatoren, die Ausdauer belohnen, abgestufte Multiplikatoren, die Spieler dazu anregen, höhere Übereinstimmungen anzustreben, oder dynamische Multiplikatoren, die es den Spielern ermöglichen, ihr Risikoniveau zu wählen, diese Systeme bieten neue Möglichkeiten, sich mit dem Spiel zu beschäftigen. Jedes Multiplikatorsystem kann durch Simulationen getestet und fein abgestimmt werden, um Rentabilität und Spielerzufriedenheit zu gewährleisten.

Im nächsten Abschnitt werden die Häufigkeit von Ziehungen und Spielzyklen untersucht und untersucht, wie sich eine Änderung des Spieltempos weiter auf das Engagement und die Rentabilität der Spieler auswirken kann.

7. Spielvarianten

7.3. Häufigkeit der Ziehungen und Spielzyklen

Die Häufigkeit der Ziehungen und die Länge des Spielzyklus spielen eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung des Gesamtengagements und der Rentabilität eines Lotteriespiels. Bei "Pick & Multiply" wirkt sich die Änderung des Ziehungsplans – ob täglich, wöchentlich oder zweiwöchentlich – auf die Vorfreude, die Teilnahme und die Anhäufung von Preisen aus. Darüber hinaus kann die Einführung kürzerer oder längerer Spielzyklen (die Zeit zwischen dem Zurücksetzen des Jackpots) sowohl die Begeisterung der Spieler als auch die finanzielle Dynamik des Spiels erheblich beeinflussen. In diesem Abschnitt werden wir die mathematischen und marktgesteuerten Überlegungen zur Optimierung der Häufigkeit von Unentschieden und der Länge von Spielzyklen untersuchen, zusammen mit Simulationen, die die Entscheidungsfindung unterstützen.

7.3.1. Einfluss der Ziehungshäufigkeit auf das Engagement der Spieler

Bei Lotteriespielen bestimmt die Ziehungshäufigkeit , wie oft die Spieler die Möglichkeit haben, teilzunehmen. Eine höhere Häufigkeit (z. B. tägliche Ziehungen) führt zu einer häufigeren Interaktion mit den Spielern, während niedrigere Häufigkeiten (z. B. wöchentliche Ziehungen) eine größere Vorfreude und größere Preispools aufgrund der Anhäufung von nicht beanspruchten Gewinnen ermöglichen. Die Wahl zwischen häufigen und seltenen Ziehungen hängt von den Zielen des Spiels und der Zielgruppe ab.

Hochfrequente Züge

Vorteile:

Erhöht die Interaktion der Spieler mit dem Spiel und fördert die gewohnheitsmäßige Teilnahme.
Bietet den Spielern häufigere Gewinnmöglichkeiten und hält das Interesse am Spiel aufrecht.
Kleinere Preispools, aber mit höherer Spielerbindung aufgrund der Häufigkeit des Spielens.

Herausforderungen:

Kleinere Jackpots können die Aufregung für Spieler verringern, die auf der Suche nach lebensverändernden Preisen sind.
Hochfrequente Ziehungen erfordern ein höheres Betriebsmanagement, was die Kosten erhöhen kann.

Niederfrequente Züge

Vorteile:

Ermöglicht die Anhäufung größerer Jackpots, was bei jeder Ziehung für viel Spannung und Aufmerksamkeit sorgt.
Steigert die Vorfreude, was die Ticketverkäufe erhöhen kann, wenn der Ziehungstermin näher rückt.

Herausforderungen:

Spieler können während der Wartezeit zwischen den Ziehungen das Interesse verlieren, insbesondere wenn sie keine gewohnheitsmäßigen Lotteriespieler sind.
Weniger häufige Gelegenheiten zur Interaktion können zu einem Rückgang der gesamten Ticketverkäufe führen.

7.3.2. Modellierung der Auswirkung der Ziehungshäufigkeit auf den Umsatz

Die optimale Ziehungshäufigkeit hängt von der Ausgewogenheit zwischen Losverkäufen und Auszahlungsverteilung ab. Ein Simulationsmodell kann dabei helfen, zu untersuchen, wie sich unterschiedliche Häufigkeiten auf die Gesamteinnahmen auswirken, indem es die Anzahl der Ziehungen pro Woche variiert und die daraus resultierenden Ticketverkäufe, das Spielerengagement und die Preisauszahlungen berechnet.

Modellierung des Ticketverkaufs basierend auf der Ziehungshäufigkeit

Die Gesamtzahl der verkauften Lose wird davon beeinflusst, wie häufig Ziehungen stattfinden. Zum Beispiel kann der Ticketverkauf der Funktion folgen:

S(f)=T0×exp(−αf)S(f) = T_0 \times \exp(-\alpha f)S(f)=T0×exp(−αf)

Wo:

S(f)S(f)S(f) ist der gesamte Ticketverkauf pro Woche in Abhängigkeit von der Frequenz fff,
T0T_0T0 ist der Basis-Losverkauf für eine einzelne Ziehung,
α\alphaα ist ein Abklingfaktor, der für das abnehmende Interesse mit zunehmender Zugfrequenz verantwortlich ist.

Die optimale Frequenz lässt sich durch die Maximierung des Umsatzes finden:

R(f)=S(f)×Tp−E(Gesamtauszahlung)R(f) = S(f) \times T_p - \mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung})R(f)=S(f)×Tp−E(Gesamtauszahlung)

Wo:

R(f)R(f)R(f) ist der Umsatz in Abhängigkeit von der Häufigkeit,
TpT_pTp hoch ist der Ticketpreis,
E(Gesamtauszahlung)\mathbb{E}(\text{Gesamtauszahlung})E(Gesamtauszahlung) ist die erwartete Auszahlung basierend auf der Anzahl der Ziehungen.

Wolfram Language Code für die Umsatzsimulation nach Ziehungshäufigkeit

Wolfram

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(* Parameter für Ticketverkauf und Ziehungshäufigkeit festlegen *)

T0 = 100000; (* Basisverkauf von Losen für eine einzelne Ziehung *)

alpha = 0,1; (* Abklingfaktor für Frequenz *)

Tp = 200; (* Ticketpreis *)

erwartete Auszahlung = 74000; (* Erwartete Gesamtauszahlung pro Ziehung *)

(* Funktion zur Modellierung des Ticketverkaufs in Abhängigkeit von der Häufigkeit *)

ticketSales[f_] := T0 * Exp[-alpha * f];

(* Funktion zur Berechnung des wöchentlichen Gesamtumsatzes basierend auf der Ziehungshäufigkeit *)

weeklyRevenue[f_] := ticketSales[f] * Tp * f - erwartetAuszahlung * f;

(* Plotten Sie die Umsatzfunktion, um die optimale Ziehungshäufigkeit zu visualisieren *)

Plot[weeklyRevenue[f], {f, 1, 7}, PlotLabel -> "Wöchentlicher Umsatz vs. Ziehungshäufigkeit",

AxesLabel -> {"Ziehungen pro Woche", "Umsatz (HUF)"}, PlotRange -> Alle]

Dieser Code simuliert den wöchentlichen Umsatz für verschiedene Ziehungsfrequenzen und ermöglicht es den Betreibern, die optimale Anzahl von Ziehungen pro Woche zu visualisieren, um die Rentabilität zu maximieren.

7.3.3. Länge des Spielzyklus und Zurücksetzen von Jackpots

Der Spielzyklus bezieht sich auf den Zeitraum, über den sich ein Jackpot ansammelt, bis er gewonnen wird, und dann wird der Zyklus zurückgesetzt. In einigen Lotterien wird der Jackpot von einer Ziehung zur nächsten übertragen, wenn kein Spieler alle Zahlen richtig hat, was die Spannung und den Losverkauf erhöht. Sobald der Jackpot jedoch beansprucht wird, wird der Preispool auf einen Basisbetrag zurückgesetzt und die Zinsen können vorübergehend sinken.

Kürzere Spielzyklen

Vorteile:

Die Spieler sehen mit größerer Wahrscheinlichkeit Jackpot-Gewinner, was die Spannung aufrechterhält.
Kürzere Zyklen verhindern, dass die Jackpots zu groß werden, was die Zuteilung von Preisgeldern belasten kann.

Herausforderungen:

Kleinere, häufigere Auszahlungen können die Attraktivität des Spiels für Spieler verringern, die große Jackpots suchen.
Erfordert einen gleichmäßigeren Zustrom von Spielern, um die Einnahmen über alle Zyklen hinweg aufrechtzuerhalten.

Längere Spielzyklen (Rollover-Jackpots)

Vorteile:

Das Potenzial für große Jackpots in Höhe von mehreren Millionen HUF sorgt für erhebliche Medienaufmerksamkeit und Spielerinteresse.
Spieler können mehr Tickets kaufen, wenn der Jackpot wächst, was die Einnahmen erhöht.

Herausforderungen:

Wenn der Jackpot zu groß wird, ohne gewonnen zu werden, kann dies zu einer negativen öffentlichen Wahrnehmung führen (z. B. der Glaube, dass das Spiel nicht gewonnen werden kann).
Sobald der Jackpot beansprucht wurde, können die Ticketverkäufe zurückgehen, da der Preis auf einen kleineren Grundbetrag zurückgesetzt wird.

7.3.4. Simulation von Spielzyklen und Jackpot-Wachstum

Die Simulation des Wachstums des Jackpots über mehrere Ziehungen hinweg bietet wertvolle Einblicke in die Häufigkeit von Jackpots, die gewonnen werden und wie stark sie im Laufe der Zeit wachsen. Ein einfaches Modell kann davon ausgehen, dass ein bestimmter Prozentsatz der Losverkäufe zum Jackpot beiträgt, der wächst, bis ein Spieler gewinnt.

Beispiel Simulation

Nehmen wir an, dass 30% der Losverkäufe dem Jackpot-Pool zugeordnet werden. Wenn kein Spieler den Jackpot gewinnt, wird der Pool auf die nächste Ziehung übertragen. Die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen, basiert auf der Anzahl der Spieler und der Wahrscheinlichkeit, alle Zahlen richtig zu haben (z. B. 1 zu 230.300 für 4 richtige Zahlen). Der Jackpot wächst, bis ein Gewinner auftaucht, und wird dann auf einen Basisbetrag zurückgesetzt.

Wolfram Language Code zur Simulation des Jackpot-Wachstums

Wolfram

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(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen *)

PWin = 1/230300;

(* Definieren Sie den Prozentsatz der Losverkäufe, der dem Jackpot zugeordnet ist *)

jackpot-Prozentsatz = 0,30;

(* Definieren Sie den Basis-Jackpot und die Anfangsbedingungen *)

baseJackpot = 10000000; (* Basis-Jackpot in HUF *)

currentJackpot = BasisJackpot;

ticketSalesPerDraw = 100000; (* Durchschnittlicher Losverkauf pro Ziehung *)

(* Simulieren Sie das Jackpot-Wachstum über mehrere Ziehungen *)

numDraws = 100;

jackpotHistory = Tabelle[

Modul[{sales = RandomInteger[{90000, 110000}], gewinnen},

win = RandomReal[] < PWin;

Wenn[gewinnen,

jackpot = aktuellerJackpot;

currentJackpot = baseJackpot, (* Jackpot zurücksetzen, wenn gewonnen *)

currentJackpot += Verkäufe * jackpotPercentage (* Rollover, wenn kein Gewinn *)

];

currentJackpot

[, {numDraws}];

(* Zeichnen Sie das Jackpot-Wachstum im Laufe der Zeit auf *)

ListLinePlot[jackpotHistory, PlotLabel -> "Simuliertes Jackpot-Wachstum",

AxesLabel -> {"Ziehungsnummer", "Jackpot (HUF)"}, PlotRange -> alle]

Dieser Code simuliert das Wachstum des Jackpots über 100 Ziehungen und zeigt, wie er sich erhöht, bis ein Spieler gewinnt, und dann wird er zurückgesetzt.

7.3.5. Schlussfolgerung

Die Häufigkeit der Ziehungen und die Länge der Spielzyklen sind entscheidende Variablen bei der Gestaltung eines Lotteriespiels wie "Pick & Multiply". Durch die sorgfältige Abwägung dieser Faktoren können Betreiber die Spielerbindung, den Umsatz und die Preisverteilung optimieren. Hochfrequente Ziehungen sprechen gewohnheitsmäßige Spieler an und bieten häufiges Engagement, während niedrigfrequente Ziehungen die Spannung um größere Jackpots erhöhen. Ebenso kann die Wahl zwischen kürzeren oder längeren Spielzyklen darüber entscheiden, ob das Spiel häufigere, kleinere Gewinne oder das Potenzial für seltene, lebensverändernde Jackpots bietet.

Im nächsten Abschnitt wird die Verwendung von visuellen Hilfsmitteln und grafischen Darstellungen untersucht, um den Spielern die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Auszahlungsstrukturen und andere mathematische Aspekte des Spiels zu vermitteln und so die Transparenz und das Verständnis der Spieler zu verbessern.

8. Visuelle Hilfsmittel und grafische Darstellungen

8.1. Wahrscheinlichkeitsverteilungs-Graphen

Grafische Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind unerlässlich, um die Gewinnchancen und möglichen Ergebnisse von Lotteriespielen wie "Pick & Multiply" zu kommunizieren.Sowohl für Betreiber als auch für Spieler bieten Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramme intuitive Einblicke in die Wahrscheinlichkeit, verschiedene Preise zu gewinnen, und helfen den Spielern, die Risiko-Ertrags-Dynamik des Spiels zu verstehen. Diese Diagramme helfen auch bei der Entscheidungsfindung für Spieledesigner, da sie es ihnen ermöglichen, zu visualisieren, wie sich Änderungen in der Spielmechanik – wie z. B. die Größe des Zahlenpools oder die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten – auf die gesamte Wahrscheinlichkeitsstruktur auswirken.

In diesem Abschnitt werden wir verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramme für verschiedene Aspekte des Spiels erstellen und interpretieren, einschließlich der Wahrscheinlichkeit, 2, 3 oder 4 Zahlen zu treffen, sowie der Verteilung potenzieller Auszahlungen, wenn Multiplikatoren angewendet werden.

8.1.1. Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Übereinstimmung von 1, 2, 3 oder 4 Zahlen aus einem Pool von 50 ist ein grundlegender Aspekt von "Pick & Multiply". Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir die hypergeometrische Verteilung, die die genaue Wahrscheinlichkeit liefert, dass kkk-Zahlen übereinstimmen, wenn mmm-Zahlen aus einem Gesamtpool von nnn ausgewählt werden, wobei ddd-Gewinnzahlen gezogen werden.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass KKK-Zahlen übereinstimmen, lautet:

P(k)=(dk)(n−dm−k)(nm)P(k) = \frac{\binom{d}{k} \binom{n-d}{m-k}}{\binom{n}{m}}P(k)=(mn)(kd)(m−kn−d)

Wo:

nnn ist die Gesamtzahl der Zahlen im Pool (z. B. 50),
ddd ist die Anzahl der gezogenen Gewinnzahlen (z. B. 4),
mmm ist die Anzahl der Zahlen, die der Spieler auswählt (z. B. 4),
KKK ist die Anzahl der Übereinstimmungen.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten für die Übereinstimmung von 0, 1, 2, 3 und 4 Zahlen berechnen und darstellen.

Wolfram Language Code für die Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen

Wolfram

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(* Definieren Sie die Parameter für das Spiel *)

n = 50; (* Gesamtzahl der Teilnehmer im Pool *)

d = 4; (* Gezogene Zahlen *)

m = 4; (* Vom Spieler ausgewählte Zahlen *)

(* Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass k Zahlen übereinstimmen *)

WahrscheinlichkeitMatch[k_] := Binomial[d, k] * Binomial[n - d, m - k] / Binomial[n, m]

(* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Übereinstimmung von 0 bis 4 Zahlen *)

Wahrscheinlichkeiten = Tabelle[WahrscheinlichkeitMatch[k], {k, 0, m}];

(* Plotten Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung *)

BarChart[Wahrscheinlichkeiten, ChartLabels -> {"0", "1", "2", "3", "4"},

PlotLabel -> "Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen",

AxesLabel -> {"Anzahl der Treffer", "Wahrscheinlichkeit"}]

Interpretation von Graphen

Das resultierende Balkendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeit an, dass unterschiedliche Zahlen der vom Spieler ausgewählten Zahlen mit den gezogenen Zahlen übereinstimmen. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Zahlen zu treffen, sehr gering (ungefähr 1 zu 230.300), während die Wahrscheinlichkeit, 2 Zahlen zu treffen, relativ höher ist. Diese Visualisierung hilft den Spielern, ihre Gewinnchancen zu verstehen, wobei die meisten Ergebnisse im Bereich von 0 bis 2 Spielen liegen.

8.1.2. Verteilung der Multiplikatorwahrscheinlichkeit

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" bringt zusätzliche Variabilität in die Gewinnauszahlungen, und es ist wichtig, die Verteilung dieser Multiplikatoren zu visualisieren. Im Standardspiel werden die Multiplikatoren nach dem Zufallsprinzip mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten gezogen:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Der Erwartungswert des Multiplikators kann berechnet werden, indem jeder Multiplikator nach seiner entsprechenden Wahrscheinlichkeit gewichtet wird:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Multiplikatorsystem darstellen.

Wolfram Language Code für die Multiplikatorverteilung

Wolfram

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(* Definieren Sie die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und -werte *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

WahrscheinlichkeitMultiplikator = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Plotten Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Multiplikators *)

BarChart[probabilitiesMultiplier, ChartLabels -> {"1x", "2x", "3x", "4x", "5x"},

PlotLabel -> "Multiplikator-Wahrscheinlichkeitsverteilung",

AxesLabel -> {"Multiplikator", "Wahrscheinlichkeit"}]

Interpretation von Graphen

Das Balkendiagramm zeigt, dass der 1x-Multiplikator mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % am wahrscheinlichsten ist, während der 5x-Multiplikator selten ist und nur in 5 % der Fälle auftritt. Die Spieler können schnell erkennen, dass sie mit größerer Wahrscheinlichkeit niedrigere Multiplikatoren erhalten, was die durchschnittlichen Auszahlungen überschaubar hält und gleichzeitig die Spannung potenziell größerer Gewinne aufrechterhält.

8.1.3. Kombinierte Wahrscheinlichkeit von Auszahlungen

Die Gesamtauszahlung für einen Spieler hängt nicht nur von der Anzahl der übereinstimmenden Zahlen ab, sondern auch von dem zufälligen Multiplikator, der auf den Preis angewendet wird. Wir können die kombinierte Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiedener Auszahlungsbeträge visualisieren, indem wir die Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen mit der Multiplikatorverteilung kombinieren. Die erwartete Auszahlung für jede Preisklasse kann wie folgt berechnet werden:

e(Auszahlung für Match k)=P(k)×∑i=15P(Multiplikatori)×(Basispreis für Match k)×Multiplikatori\mathbb{E}(\text{Auszahlung für Match } k) = P(k) \times \sum_{i=1}^{5} P(\text{Multiplikator}_i) \times (\text{Basispreis für Match } k) \times \text{Multiplikator}_iE(Auszahlung für Match k)=P(k)×i=1∑5P(Multiplikatori)×(Basispreis für Match k)×Multiplikatori

Der Einfachheit halber berechnen wir die erwarteten Auszahlungen für die Übereinstimmung von 2, 3 und 4 Zahlen anhand der in den vorherigen Kapiteln definierten Basispreise.

Wolfram Language Code für die kombinierte Auszahlungswahrscheinlichkeit

Wolfram

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(* Definieren Sie die Basispreise für 2, 3 und 4 richtige Zahlen *)

basePrizes = {1000, 10000, 100000}; (* Für 2-, 3- und 4-Zahlen-Richtige *)

(* Funktion zur Berechnung der erwarteten Auszahlung für übereinstimmende k Zahlen *)

expectedPayout[k_, basePrize_] := WahrscheinlichkeitMatch[k] *

Gesamt[WahrscheinlichkeitenMultiplikator * (Multiplikatoren * basePrize)];

(* Berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen für 2, 3 und 4 richtige Zahlen *)

expectedPayouts = Tabelle[expectedPayout[k, basePrizes[[k - 1]]], {k, 2, 4}];

(* Geben Sie die erwarteten Auszahlungen aus *)

erwartete Auszahlungen

Dieser Code berechnet die erwartete Auszahlung für die Übereinstimmung von 2, 3 und 4 Zahlen, wobei sowohl die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahlen übereinstimmen, als auch die Multiplikatorverteilung berücksichtigt werden.

Interpretation von Graphen

Die Visualisierung der kombinierten Wahrscheinlichkeitsverteilung von Auszahlungen hilft Spielern und Betreibern zu verstehen, wie häufig unterschiedliche Auszahlungsbeträge auftreten werden. Die Spieler können sehen, dass die Übereinstimmung aller 4 Zahlen zwar die größte potenzielle Auszahlung bietet, die Wahrscheinlichkeit jedoch sehr gering ist. Auf der anderen Seite sorgen häufigere, kleinere Auszahlungen für 2 oder 3 richtige Zahlen mit niedrigen Multiplikatoren für konsistentere Belohnungen.

8.1.4. Visualisierung der Jackpot-Wahrscheinlichkeit im Zeitverlauf

Bei Spielen mit progressiven Jackpots ist es nützlich zu visualisieren, wie sich die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen, im Laufe der Zeit ändert, wenn der Preis wächst. Durch die Darstellung der kumulativen Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu gewinnen, wenn mehr Ziehungen ohne Gewinner stattfinden, können die Betreiber abschätzen, wie schnell die Begeisterung der Spieler zunimmt und wann der Jackpot in den Bereich des "Muss-Gewinns" übergeht.

Simulieren wir die kumulative Wahrscheinlichkeit, den Jackpot über mehrere Ziehungen hinweg zu gewinnen, unter der Annahme, dass der Jackpot jedes Mal verlängert wird, wenn niemand gewinnt.

Wolfram Language Code für die Jackpot-Wahrscheinlichkeit

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot pro Ziehung zu gewinnen *)

PWin = 1/230300;

(* Funktion zur Berechnung der kumulativen Gewinnwahrscheinlichkeit bei n Ziehungen *)

kumulativPWin[n_] := 1 - (1 - PWin)^n;

(* Stellt die kumulative Wahrscheinlichkeit über 100 Ziehungen dar *)

Plot[cumulativePWin[n], {n, 1, 100}, PlotLabel -> "Kumulative Jackpot-Wahrscheinlichkeit",

AxesLabel -> {"Anzahl der Ziehungen", "Kumulative Wahrscheinlichkeit"}]

Dieser Code simuliert die kumulative Wahrscheinlichkeit, den Jackpot über mehrere Ziehungen hinweg zu gewinnen, und zeigt, wie die Wahrscheinlichkeit eines Jackpot-Gewinns steigt, wenn das Spiel ohne Gewinner fortschreitet.

8.1.5. Schlussfolgerung

Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramme bieten ein leistungsstarkes Werkzeug, um die Dynamik von Lotteriespielen wie "Pick & Multiply" zu verstehen.Unabhängig davon, ob es sich um die Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen, die Wahrscheinlichkeit, unterschiedliche Multiplikatoren zu erhalten, oder die erwarteten Auszahlungen für jede Gewinnklasse handelt, bieten diese Visualisierungen sowohl Spielern als auch Betreibern Klarheit. Durch die Darstellung komplexer mathematischer Konzepte in einem zugänglichen Format erhöhen diese Diagramme die Transparenz und helfen den Spielern, fundierte Entscheidungen zu treffen.

Der nächste Abschnitt konzentriert sich auf die Erstellung von Auszahlungsstrukturdiagrammen und bietet einen detaillierteren Einblick in die Verteilung der Preise auf die verschiedenen Stufen und Multiplikatoren.

8. Visuelle Hilfsmittel und grafische Darstellungen

8.2. Diagramme der Auszahlungsstruktur

Bei Lotteriespielen wie "Pick & Multiply" ist das Verständnis der Auszahlungsstruktur sowohl für die Spieler als auch für die Betreiber von entscheidender Bedeutung. Die Auszahlungsstruktur bestimmt, wie die Gewinne basierend auf der Anzahl der Übereinstimmungen und der Anwendung von Multiplikatoren verteilt werden. Auszahlungsstrukturdiagramme bieten eine klare Visualisierung der Preisvergabe und erleichtern es den Spielern, die Beziehung zwischen ihrer Gewinnwahrscheinlichkeit und den potenziellen Belohnungen zu erkennen. Diese Diagramme sind auch für die Betreiber wertvoll, um die Rentabilität und Attraktivität des Spiels zu optimieren.

In diesem Abschnitt werden Auszahlungsstrukturdiagramme erstellt und analysiert, die die Beziehung zwischen Preisstufen, Multiplikatoren und erwarteten Auszahlungen veranschaulichen.

8.2.1. Grundauszahlungen für übereinstimmende Zahlen

Bei "Pick & Multiply" werden die Basisauszahlungen für 2, 3 oder 4 übereinstimmende Zahlen festgelegt, bevor Multiplikatoren angewendet werden. Die Grundauszahlungsbeträge sind wie folgt:

4 Richtige Zahlen: 100.000 HUF
3 Richtige Zahlen: 10.000 HUF
2 Richtige Zahlen: 1.000 HUF
1 oder 0 Richtige Zahlen: Keine Auszahlung

Diese Grundauszahlungen bilden die Grundlage für die Preisstruktur des Spiels, bevor zusätzliche Faktoren wie Multiplikatoren angewendet werden. Um dies zu veranschaulichen, können wir ein einfaches Balkendiagramm erstellen, das die Basisauszahlungen für jede passende Stufe darstellt.

Wolfram Language Code für Base Payout Chart

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Basisauszahlungen für jede Spielstufe *)

baseAuszahlungen = {0, 0, 1000, 10000, 100000};

(* Plotten Sie die Basisauszahlungen für 0 bis 4 richtige Zahlen *)

BarChart[basePayouts, ChartLabels -> {"0", "1", "2", "3", "4"},

PlotLabel -> "Basisauszahlungen für übereinstimmende Zahlen",

AxesLabel -> {"Anzahl der Treffer", "Auszahlung (HUF)"}]

Interpretation von Graphen

Dieses einfache Diagramm zeigt den Verlauf der Basisauszahlungen für die Übereinstimmung verschiedener Zahlen. Wie erwartet ist die größte Auszahlung für das Richtige aller 4 Zahlen reserviert, während weniger richtige Zahlen nach und nach zu kleineren Belohnungen führen. Das Fehlen einer Auszahlung für übereinstimmende 0- oder 1-Zahlen unterstreicht das Risiko, das mit Lotteriespielen verbunden ist, bei denen nur Teilübereinstimmungen zu Preisen führen.

8.2.2. Auszahlungsstruktur mit Multiplikatoren

Das Multiplikatorsystem in "Pick & Multiply" verändert die endgültigen Auszahlungen erheblich, indem die Basisbeträge mit einem Faktor zwischen 1x und 5x multipliziert werden. Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Multiplikator, wie in früheren Abschnitten beschrieben, sind:

P(Multiplikator)={0,40für 1×0,30für 2×0,15für 3×0,10für 4×0,05für 5×P(\text{Multiplikator}) = \begin{Fälle} 0,40 & \text{für } 1\mal \\ 0,30 & \text{für } 2\mal \\ 0,15 & \text{für } 3\mal \\ 0,10 & \text{für } 4\mal \\ 0,05 & \text{für } 5\times \end{cases}P(Multiplier)=⎩⎨⎧0.400.300.150.100.05für 1×für 2×für 3×für 4×für 5×

Wir können ein Diagramm erstellen, das die erwarteten Auszahlungen für jede Spielstufe nach Anwendung dieser Multiplikatoren anzeigt. Die erwartete Auszahlung für jede Stufe ist die Summe der Basisauszahlung multipliziert mit jedem Multiplikator, gewichtet mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit.

Formel für die erwartete Auszahlung mit Multiplikatoren

Die erwartete Auszahlung für übereinstimmende KKK-Zahlen kann wie folgt berechnet werden:

Wo:

P(k)P(k)P(k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass kkk-Zahlen übereinstimmen,
P(Multiplieri)P(\text{Multiplier}_i)P(Multiplieri) ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Multiplikators,
Basispreis für Match k\text{Basispreis für Match } Der kBase-Preis für Match k ist die Basisauszahlung für übereinstimmende kkk-Zahlen.

Wolfram Language Code für das Expected Payout Chart

Wolfram

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(* Definieren Sie die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und -werte *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

WahrscheinlichkeitMultiplikator = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Definieren Sie die Basisauszahlungen für 2, 3 und 4 übereinstimmende Zahlen *)

baseAuszahlungen = {1000, 10000, 100000};

(* Funktion zur Berechnung der erwarteten Auszahlung für übereinstimmende k Zahlen *)

expectedPayout[k_, basePrize_] :=

Gesamt[WahrscheinlichkeitenMultiplikator * (Multiplikatoren * basePrize)];

(* Berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen für 2, 3 und 4 richtige Zahlen *)

expectedPayouts = Tabelle[expectedPayout[k, basePayouts[[k - 1]]], {k, 2, 4}];

(* Zeichnen Sie die erwarteten Auszahlungen auf *)

BarChart[erwartete Auszahlungen, ChartLabels -> {"Richtige 2", "Richtige 3", "Richtige 4"},

PlotLabel -> "Erwartete Auszahlungen mit Multiplikatoren",

AxesLabel -> {"Preisstufe", "Erwartete Auszahlung (HUF)"}]

Interpretation von Graphen

Das Balkendiagramm zeigt die erwarteten Auszahlungen für die Übereinstimmung von 2, 3 und 4 Zahlen nach Anwendung der Multiplikatoren. Die erwarteten Auszahlungen steigen deutlich an, wenn der Basispreis steigt, aber sie werden auch von der Wahrscheinlichkeit jedes Multiplikators beeinflusst. Während zum Beispiel der 5-fache Multiplikator die größte potenzielle Auszahlung bietet, bedeutet seine geringe Wahrscheinlichkeit (5 %), dass die erwartete Auszahlung immer noch auf kleinere Beträge ausgerichtet ist, wodurch der durchschnittliche Gewinn weniger volatil ist.

8.2.3. Visualisierung der Auszahlungsverteilung über die Stufen hinweg

Um einen ganzheitlicheren Überblick über die Verteilung der Preise zu erhalten, ist es hilfreich, die kumulative Auszahlungsverteilung über alle Spielstufen hinweg zu visualisieren, einschließlich der Anwendung von Multiplikatoren. Dies hilft Spielern und Betreibern zu verstehen, wie häufig verschiedene Auszahlungsbeträge auftreten, und gibt einen Einblick in die allgemeine Fairness und Spannung des Spiels.

Lassen Sie uns eine Auszahlungsverteilungskurve erstellen, die die Bandbreite der möglichen Auszahlungen und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zeigt.

Wolfram Language Code für die kumulative Ausschüttung

Wolfram

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(* Definieren Sie die möglichen Auszahlungsbereiche für Match-Stufen mit Multiplikatoren *)

Auszahlungen = Abflachen[Tabelle[Multiplikatoren * baseAuszahlungen[[k - 1]], {k, 2, 4}]];

(* Definieren Sie die Wahrscheinlichkeiten für jeden Auszahlungsbereich *)

WahrscheinlichkeitenAuszahlung = Abflachen[

Tabelle[WahrscheinlichkeitMultiplikator * WahrscheinlichkeitMatch[k], {k, 2, 4}]];

(* Erstellen Sie ein Verteilungsdiagramm für die Auszahlungen *)

ListPlot[Transpose[{Auszahlungen, WahrscheinlichkeitenAuszahlung}],

PlotStyle -> PointSize[Groß],

PlotLabel -> "Auszahlungsverteilung über die Stufen",

AxesLabel -> {"Auszahlung (HUF)", "Wahrscheinlichkeit"},

Verbunden -> Wahr]

Interpretation von Graphen

Diese Auszahlungsverteilungskurve zeigt die verschiedenen Auszahlungsbeträge (auf der x-Achse) und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (auf der y-Achse). Erwartungsgemäß kommen kleinere Auszahlungen (z.B. 2 richtige Zahlen mit einem 1x-Multiplikator) häufiger vor, während größere Auszahlungen (z.B. 4 richtige Zahlen mit einem 5x-Multiplikator) viel seltener sind. Diese Visualisierung hilft sowohl Spielern als auch Betreibern, den Kompromiss zwischen häufigen kleineren Gewinnen und seltenen größeren Preisen zu erkennen, was ein Schlüsselmerkmal von Lotteriespielen ist.

8.2.4. Kumulative Verteilungsfunktion (CDF) für Auszahlungen

Eine kumulative Verteilungsfunktion (CDF) bietet eine Möglichkeit, die kumulative Wahrscheinlichkeit eines Gewinns von mindestens einem bestimmten Betrag zu visualisieren. Dies hilft den Spielern, ihre Gesamtchancen zu verstehen, mehr als einen bestimmten Preis zu gewinnen, und gibt den Betreibern Einblicke, wie verschiedene Auszahlungsstrukturen häufige kleine Gewinne mit gelegentlichen Jackpots in Einklang bringen können.

Der CDF kann berechnet werden, indem die Wahrscheinlichkeiten für alle Auszahlungen, die größer oder gleich einem bestimmten Betrag sind, addiert werden.

Wolfram Language Code für Payout CDF

Wolfram

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(* Auszahlungen und Wahrscheinlichkeiten sortieren *)

sortedPayouts = Sortieren[Auszahlungen];

sortedProbabilities = SortBy[Transpose[{Auszahlungen, WahrscheinlichkeitenAuszahlung}], Erster][[Alle, 2]];

(* Berechnen Sie die kumulativen Wahrscheinlichkeiten *)

cdf = Akkumulieren[sortierteWahrscheinlichkeiten];

(* Plotten Sie die CDF *)

ListLinePlot[Transpose[{sortedPayouts, cdf}],

PlotLabel -> "Kumulative Verteilungsfunktion für Auszahlungen",

AxesLabel -> {"Auszahlung (HUF)", "Kumulative Wahrscheinlichkeit"}]

Interpretation von Graphen

Das CDF-Diagramm zeigt, wie die kumulative Gewinnwahrscheinlichkeit steigt, wenn der Auszahlungswert sinkt. Die Spieler können zum Beispiel sehen, dass sie eine hohe kumulative Wahrscheinlichkeit haben, mindestens 1.000 HUF zu gewinnen, aber viel niedrigere kumulative Wahrscheinlichkeiten für höhere Auszahlungen wie 50.000 oder 100.000 HUF. Diese Art von Diagramm hilft dabei, die Gesamtverteilung potenzieller Gewinne in "Pick & Multiply" zu verstehen.

8.2.5. Schlussfolgerung

Auszahlungsstrukturdiagramme sind sowohl für Spieler als auch für Betreiber wichtige Werkzeuge, um zu verstehen, wie das Preissystem des Spiels funktioniert. Durch die Visualisierung von Basisauszahlungen, erwarteten Auszahlungen mit Multiplikatoren und kumulativen Auszahlungsverteilungen können die Spieler ihre Gewinnchancen auf verschiedene Beträge besser einschätzen, während die Betreiber das Spiel fein abstimmen können, um Rentabilität und Spielerzufriedenheit zu gewährleisten. Wenn diese visuellen Hilfsmittel klar dargestellt werden, erhöhen sie auch die Transparenz und erhöhen das Vertrauen und die Bindung der Spieler.

Der nächste Abschnitt konzentriert sich auf die Erstellung von Visualisierungen von Erwartungswertkurven, die Einblicke in den langfristigen Wert geben, den die Spieler von der Teilnahme am Spiel erwarten können.

8. Visuelle Hilfsmittel und grafische Darstellungen

8.3. Visualisierungen von Erwartungswertkurven

Der Erwartungswert (EV) ist ein wichtiges Konzept in Lotteriespielen, einschließlich "Pick & Multiply". Es hilft den Spielern, die langfristige durchschnittliche Auszahlung zu verstehen, die sie beim Kauf eines Tickets erwarten können. Im Rahmen einer Lotterie ist der Erwartungswert der durchschnittliche Betrag, den ein Spieler pro Los erwarten kann, basierend auf den Gewinnwahrscheinlichkeiten verschiedener Preise und den damit verbundenen Auszahlungen. Die Visualisierung der Erwartungswertkurve gibt den Spielern ein klareres Verständnis dafür, wie sich ihre potenziellen Gewinne ändern, und ermöglicht es den Betreibern, die Rentabilität und Attraktivität des Spiels im Laufe der Zeit zu analysieren.

In diesem Abschnitt werden Erwartungswertkurven für verschiedene Spielstufen generiert und interpretiert, wobei die Auswirkungen von Multiplikatoren, Ticketpreisen und Spielvarianten berücksichtigt werden. Diese Visualisierungen helfen zu verdeutlichen, wie Ticketpreise und Auszahlungsstrukturen zusammenwirken, um den Gesamtwert zu bestimmen, den die Spieler erwarten können.

8.3.1. Erwartungswertformel für Lotterien

Der Erwartungswert für einen einzelnen Lottoschein wird berechnet, indem die Produkte jeder möglichen Auszahlung und die damit verbundene Wahrscheinlichkeit addiert werden. Bei "Pick & Multiply" wird der Erwartungswert sowohl von der Wahrscheinlichkeit übereinstimmender Zahlen als auch vom zufälligen Multiplikator beeinflusst, der auf den Basispreis angewendet wird.

Die allgemeine Formel für den Erwartungswert eines Lotteriescheins lautet:

E(Auszahlung)=∑k=04P(k)×(∑i=15P(Multiplikator)×(Grundpreis für Match k)×Multiplikatori)\mathbb{E}(\text{Auszahlung}) = \sum_{k=0}^{4} P(k) \times \left( \sum_{i=1}^{5} P(\text{Multiplikator}_i) \times (\text{Basispreis für Match } k) \times \text{Multiplikator}_i \right)E(Auszahlung)=k=0∑4P(k)×(i=1∑5P(Multiplikator)×(Basispreis für Match k)×Multiplikatori)

Wo:

P(k)P(k)P(k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass kkk-Zahlen übereinstimmen,
P(Multiplikatori)P(\text{Multiplikator}_i)P(Multiplikatori) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Multiplikator iii angewendet wird,
Basispreis für Match k\text{Basispreis für Match } Der kBase-Preis für Match k ist die Basisauszahlung für übereinstimmende kkk-Zahlen.

8.3.2. Erwartungswert mit Standardmultiplikatoren

Berechnen wir den Erwartungswert eines Lotteriescheins für "Pick & Multiply" unter Verwendung der Standardmultiplikatoren und Wahrscheinlichkeiten. Für jede Spielstufe (2, 3 oder 4 Zahlen) berechnen wir den Erwartungswert, indem wir den Basispreis und die Wahrscheinlichkeit, einen Multiplikator zu erhalten, einbeziehen.

Wolfram Language Code für die Berechnung des Erwartungswerts

Wolfram

Code kopieren

(* Definieren Sie die Basisauszahlungen für 2, 3 und 4 übereinstimmende Zahlen *)

baseAuszahlungen = {1000, 10000, 100000}; (* Für 2-, 3- und 4-Zahlen-Richtige *)

(* Definieren Sie die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und -werte *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

WahrscheinlichkeitMultiplikator = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Funktion zur Berechnung der erwarteten Auszahlung für übereinstimmende k Zahlen *)

expectedPayout[k_, basePrize_] :=

Gesamt[WahrscheinlichkeitenMultiplikator * (Multiplikatoren * basePrize)];

(* Berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen für 2, 3 und 4 richtige Zahlen *)

expectedPayouts = Tabelle[expectedPayout[k, basePayouts[[k - 1]]], {k, 2, 4}];

(* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 2, 3 und 4 Zahlen übereinstimmen *)

probabilitiesMatch = {wahrscheinlichkeitMatch[2], wahrscheinlichkeitMatch[3], wahrscheinlichkeitMatch[4]};

(* Berechnen Sie den erwarteten Gesamtwert eines Tickets *)

expectedValue = Gesamt[erwartete Auszahlungen * WahrscheinlichkeitenMatch];

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

erwarteter Wert

Dieser Code berechnet den Erwartungswert eines Lotteriescheins für "Pick & Multiply", indem er die Basisauszahlungen, Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedene Zahlen übereinstimmen, mit einbezieht.

8.3.3. Visualisierung von Erwartungswertkurven

Um besser zu veranschaulichen, wie sich der Erwartungswert über verschiedene Ticketpreise oder Multiplikatorsysteme hinweg ändert, können wir eine Kurvenvisualisierung erstellen. Auf diese Weise können wir sehen, wie sich verschiedene Variablen auf die erwartete Rendite des Spielers auswirken. Wenn Sie beispielsweise den Ticketpreis erhöhen oder die Multiplikatorverteilung ändern, verschiebt sich die Erwartungswertkurve.

Beispiel: Erwartungswert in Abhängigkeit vom Ticketpreis

Nehmen wir an, wir wollen analysieren, wie sich der Ticketpreis auf den Erwartungswert für den Spieler auswirkt. Die EV-Kurve kann dargestellt werden, indem der Ticketpreis variiert und die erwartete Nettorendite (erwartete Auszahlung minus Ticketpreis) berechnet wird.

Wolfram Language Code für Expected Value Curve

Wolfram

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(* Definieren Sie eine Reihe von Ticketpreisen *)

ticketPrices = Bereich[100, 500, 50]; (* Ticketpreise von 100 HUF bis 500 HUF *)

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für jeden Ticketpreis *)

expectedValues = Tabelle[expectedValue - Preis, {Preis, TicketPreise}];

(* Zeichnen Sie die Erwartungswertkurve *)

ListLinePlot[Transpose[{ticketPrices, expectedValues}],

PlotLabel -> "Erwarteter Wert vs. Ticketpreis",

AxesLabel -> {"Ticketpreis (HUF)", "Netto-Erwartungswert (HUF)"},

PlotRange -> Alle]

Interpretation von Graphen

Diese Erwartungswertkurve zeigt, wie sich der Nettoerwartungswert mit steigendem Ticketpreis ändert. Im Allgemeinen sinkt der erwartete Nettowert mit steigenden Ticketpreisen, da die Spielkosten im Verhältnis zur erwarteten Auszahlung höher werden. Spieler können diese Visualisierung verwenden, um den optimalen Preispunkt zu bestimmen, zu dem das Spielen die beste Rendite bietet. In ähnlicher Weise können die Betreiber die Ticketpreise anpassen, um die Rentabilität zu gewährleisten und gleichzeitig das Spiel für die Spieler attraktiv zu halten.

8.3.4. Auswirkungen der Anpassungen des Multiplikators auf den Erwartungswert

Die Änderung der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten kann auch einen erheblichen Einfluss auf den Erwartungswert eines Lotteriescheins haben. Durch die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit höherer Multiplikatoren können die Betreiber das Spiel attraktiver machen, auch wenn dies auf Kosten der Rentabilität gehen kann. Umgekehrt kann die Verringerung der Wahrscheinlichkeit großer Multiplikatoren die Rentabilität aufrechterhalten, aber das Interesse der Spieler verringern.

Sehen wir uns an, wie sich die Änderung der Wahrscheinlichkeit eines 5-fachen Multiplikators auf den Erwartungswert eines Tickets auswirkt.

Wolfram Language Code für die Simulation der Multiplikatoranpassung

Wolfram

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(* Definieren Sie die ursprünglichen und angepassten Multiplikatorwahrscheinlichkeiten *)

WahrscheinlichkeitMultiplikatorOriginal = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05}; (*Standard-Multiplikatoren*)

WahrscheinlichkeitMultiplikatorAngepasst = {0,35, 0,30, 0,15, 0,10, 0,10}; (* Erhöhte Chance auf 5x Multiplikator *)

(* Funktion zur Berechnung des Erwartungswerts mit einem gegebenen Satz von Multiplikatorwahrscheinlichkeiten *)

expectedPayoutWithMultipliers[probabilities_] :=

Total[Tabelle[Total[Wahrscheinlichkeiten * (Multiplikatoren * baseAuszahlungen[[k - 1]])], {k, 2, 4}] * probabilitiesMatch];

(* Berechnen Sie die Erwartungswerte mit ursprünglichen und angepassten Multiplikatoren *)

expectedValueOriginal = expectedPayoutWithMultipliers[probabilitiesMultiplierOriginal];

expectedValueAdjusted = expectedPayoutWithMultipliers[probabilitiesMultiplierAdjusted];

(* Geben Sie die erwarteten Werte aus *)

{expectedValueOriginal, expectedValueAdjusted}

Interpretation von Graphen

Durch den Vergleich des Erwartungswerts mit den ursprünglichen Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und den angepassten Wahrscheinlichkeiten können wir beobachten, wie sich die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit hoher Multiplikatoren (z. B. 5x) auf die Gesamtauszahlung auswirkt. Diese Visualisierung ist nützlich für Betreiber, die die Auszahlungsdynamik des Spiels anpassen und gleichzeitig die Rentabilität im Auge behalten möchten.

8.3.5. Empfindlichkeit des Erwartungswerts gegenüber Spielvarianten

Eine weitere wichtige Verwendung von Erwartungswertkurven besteht darin, zu untersuchen, wie sich Spielvarianten – wie z. B. Änderungen im Zahlenpool oder die Häufigkeit von Ziehungen – auf die langfristigen Renditen für die Spieler auswirken. Wenn Sie beispielsweise den Zahlenpool vergrößern, verringert sich die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zahlen übereinstimmen, und damit der Erwartungswert. Umgekehrt erhöht die Reduzierung des Zahlenpools die Wahrscheinlichkeit, dass Zahlen übereinstimmen, und erhöht den Erwartungswert.

Visualisieren wir den Erwartungswert für zwei verschiedene Zahlenpoolgrößen: einen mit einem Pool von 40 und einen mit einem Pool von 60.

Wolfram Language Code für den Erwartungswert mit geändertem Zahlenpool

Wolfram

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(* Definieren Sie die Basisauszahlungen für 2, 3 und 4 übereinstimmende Zahlen *)

baseAuszahlungen = {1000, 10000, 100000};

(* Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Zahlen mit einer bestimmten Zahlenpoolgröße übereinstimmen *)

WahrscheinlichkeitMatchPool[k_, poolSize_] := Binomial[4, k] * Binomial[poolSize - 4, 4 - k] / Binomial[poolSize, 4];

(* Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten für zwei verschiedene Zahlenpools: 40 und 60 *)

WahrscheinlichkeitMatch40 = {WahrscheinlichkeitMatchPool[2, 40], WahrscheinlichkeitMatchPool[3, 40], WahrscheinlichkeitMatchPool[4, 40]};

WahrscheinlichkeitMatch60 = {WahrscheinlichkeitMatchPool[2, 60], WahrscheinlichkeitMatchPool[3, 60], WahrscheinlichkeitMatchPool[4, 60]};

(* Funktion zur Berechnung des Erwartungswerts für eine gegebene Zahlenpoolgröße *)

expectedValuePool[probabilitiesMatch_] := Total[expectedPayouts * probabilitiesMatch];

(* Berechnen Sie die erwarteten Werte für die Poolgrößen 40 und 60 *)

expectedValue40 = expectedValuePool[probabilitiesMatch40];

expectedValue60 = expectedValuePool[WahrscheinlichkeitMatch60];

(* Gibt die erwarteten Werte für verschiedene Poolgrößen aus *)

{expectedValue40, expectedValue60}

Interpretation von Graphen

Diese Analyse zeigt, wie sich Änderungen in der Größe des Nummernpools auf den erwarteten Wert auswirken. Ein kleinerer Zahlenpool (z. B. 40) erhöht den Erwartungswert, da es einfacher wird, Zahlen abzugleichen, während ein größerer Zahlenpool (z. B. 60) den Erwartungswert aufgrund der geringeren Gewinnwahrscheinlichkeit verringert.

8.3.6. Schlussfolgerung

Visualisierungen von Erwartungswertkurven bieten sowohl Spielern als auch Betreibern von Lotteriespielen wie "Pick & Multiply" wichtige Einblicke.Durch das Verständnis der langfristigen Renditen, die mit unterschiedlichen Ticketpreisen, Multiplikatorsystemen und Spielvarianten verbunden sind, können die Spieler fundiertere Entscheidungen über die Teilnahme treffen. In der Zwischenzeit können die Betreiber diese Visualisierungen nutzen, um die Zufriedenheit der Spieler mit der Rentabilität in Einklang zu bringen und sicherzustellen, dass das Spiel ansprechend und finanziell tragfähig bleibt.

Der nächste Abschnitt konzentriert sich auf Details zur Implementierung, einschließlich des Algorithmus für Zahlenziehungen und Preisverteilung sowie des Codes für die Simulation von Spielanalysen.

8.3. Visualisierungen von Erwartungswertkurven

Der Erwartungswert (EV) bei Lotteriespielen ist ein entscheidendes Konzept, das sowohl Spieler als auch Betreiber über die langfristige Kapitalrendite eines bestimmten Lotteriescheins informiert. Bei einem Spiel wie "Pick & Multiply" hilft die Berechnung und Visualisierung des Erwartungswerts den Spielern, die potenziellen Vorteile im Verhältnis zu den Risiken zu verstehen, während die Betreiber diese Daten nutzen können, um sicherzustellen, dass das Spiel im Laufe der Zeit profitabel bleibt.

In diesem Abschnitt untersuchen wir die mathematischen Grundlagen des Erwartungswerts und erstellen Visualisierungen, um zu veranschaulichen, wie sich verschiedene Faktoren – wie die Anzahl der Matches, Multiplikatoren und Ticketpreise – auf den EV auswirken. Diese Visualisierungen helfen auch bei der Feinabstimmung der Spielmechanik und bieten den Spielern Transparenz über ihre Gewinnchancen.

8.3.1. Berechnung des Erwartungswerts für Lotteriespiele

Im Rahmen von "Pick & Multiply" wird der Erwartungswert eines Lotteriescheins berechnet, indem die potenziellen Auszahlungen für alle Spielstufen addiert werden, gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten jedes Ergebnisses. Zum Beispiel kann der Erwartungswert für die Übereinstimmung von 2, 3 oder 4 Zahlen und die mögliche Anwendung von Multiplikatoren wie folgt ausgedrückt werden:

E(Auszahlung)=∑k=04P(k)×(∑i=15P(Multiplikator)×Auszahlungk×Multiplikatori)\mathbb{E}(\text{Auszahlung}) = \sum_{k=0}^{4} P(k) \times \left( \sum_{i=1}^{5} P(\text{Multiplikator}_i) \times \text{Auszahlung}_k \times \text{Multiplikator}_i \right)E(Auszahlung)=k=0∑4P(k)×(i=1∑5P(Multiplikator)×Auszahlungk×Multiplikatori)

Wo:

P(k)P(k)P(k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass kkk-Zahlen übereinstimmen,
P(Multiplikatori)P(\text{Multiplikator}_i)P(Multiplikatori) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Multiplikator iii angewendet wird,
Payoutk\text{Payout}_kPayoutk ist die Basisauszahlung für übereinstimmende KKK-Zahlen.

Berechnen wir den erwarteten Wert für jede Spielstufe unter Berücksichtigung des Effekts des Multiplikators.

Wolfram Language Code für die Berechnung des Erwartungswerts

Wolfram

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(* Definieren Sie die Basisauszahlungen für 2, 3 und 4 übereinstimmende Zahlen *)

baseAuszahlungen = {1000, 10000, 100000};

(* Definieren Sie die Multiplikatorwahrscheinlichkeiten und -werte *)

Multiplikatoren = {1, 2, 3, 4, 5};

WahrscheinlichkeitMultiplikator = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05};

(* Funktion zur Berechnung der erwarteten Auszahlung für übereinstimmende k Zahlen *)

expectedPayout[k_, basePrize_] :=

Gesamt[WahrscheinlichkeitenMultiplikator * (Multiplikatoren * basePrize)];

(* Berechnen Sie die erwarteten Auszahlungen für 2, 3 und 4 richtige Zahlen *)

expectedPayouts = Tabelle[expectedPayout[k, basePayouts[[k - 1]]], {k, 2, 4}];

(* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 2, 3 und 4 Zahlen übereinstimmen *)

probabilitiesMatch = {wahrscheinlichkeitMatch[2], wahrscheinlichkeitMatch[3], wahrscheinlichkeitMatch[4]};

(* Berechnen Sie den erwarteten Gesamtwert eines Tickets *)

expectedValue = Gesamt[erwartete Auszahlungen * WahrscheinlichkeitenMatch];

(* Geben Sie den Erwartungswert aus *)

erwarteter Wert

Dieser Code berechnet den Erwartungswert eines einzelnen Lotteriescheins, wobei sowohl die Basisauszahlungen als auch das Multiplikatorsystem berücksichtigt werden.

8.3.2. Erwartungswertkurve für unterschiedliche Fahrkartenpreise

Um den Spielern ein klareres Verständnis dafür zu vermitteln, wie sich die Ticketpreise auf ihre potenziellen Gewinne auswirken, können wir eine Erwartungswertkurve erstellen, die den erwarteten Nettowert (d. h. die erwarteten Gewinne abzüglich der Ticketkosten) als Funktion des Ticketpreises anzeigt. Diese Visualisierung wird sowohl Spielern als auch Betreibern helfen, die Beziehung zwischen Ticketkosten und potenzieller Auszahlung zu erkennen.

Wolfram Language Code für die Visualisierung von Erwartungswertkurven

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(* Definieren Sie eine Reihe von Ticketpreisen *)

ticketPrices = Bereich[100, 500, 50]; (* Ticketpreise von 100 HUF bis 500 HUF *)

(* Berechnen Sie den Erwartungswert für jeden Ticketpreis *)

expectedValues = Tabelle[expectedValue - Preis, {Preis, TicketPreise}];

(* Zeichnen Sie die Erwartungswertkurve *)

ListLinePlot[Transpose[{ticketPrices, expectedValues}],

PlotLabel -> "Erwarteter Wert vs. Ticketpreis",

AxesLabel -> {"Ticketpreis (HUF)", "Netto-Erwartungswert (HUF)"},

PlotRange -> Alle]

Interpretation von Graphen

Diese Grafik zeigt, wie sich der erwartete Nettowert mit steigendem Ticketpreis ändert. Erwartungsgemäß sinkt der Nettoerwartungswert mit steigenden Ticketpreisen, da die Kosten für die Teilnahme höher werden, während die erwartete Auszahlung konstant bleibt. Diese Kurve kann den Betreibern helfen, optimale Preisstrategien zu identifizieren, bei denen das Spiel sowohl für die Spieler attraktiv als auch für den Betreiber profitabel bleibt.

8.3.3. Auswirkungen der Anpassungen des Multiplikators auf den Erwartungswert

Durch das Anpassen der Multiplikatorwahrscheinlichkeiten kann sich der Erwartungswert erheblich ändern. Durch die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit höherer Multiplikatoren wird das Spiel für die Spieler attraktiver, obwohl dies die Rentabilität beeinträchtigen kann. Umgekehrt hält die Verringerung der Wahrscheinlichkeit höherer Multiplikatoren das Spiel nachhaltig, könnte aber das Interesse der Spieler verringern.

Vergleichen wir den Erwartungswert für zwei verschiedene Multiplikatorkonfigurationen: die Standard-Multiplikatoren und eine Variante, bei der die Chance auf einen 5-fachen Multiplikator erhöht wird.

Wolfram Language Code für den Vergleich der Multiplikatoranpassung

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(* Definieren Sie die ursprünglichen und angepassten Multiplikatorwahrscheinlichkeiten *)

WahrscheinlichkeitMultiplikatorOriginal = {0,40, 0,30, 0,15, 0,10, 0,05}; (*Standard-Multiplikatoren*)

WahrscheinlichkeitMultiplikatorAngepasst = {0,35, 0,30, 0,15, 0,10, 0,10}; (* Erhöhter 5-facher Multiplikator *)

(* Funktion zur Berechnung des Erwartungswerts mit einem gegebenen Satz von Multiplikatorwahrscheinlichkeiten *)

expectedPayoutWithMultipliers[probabilities_] :=

Total[Tabelle[Total[Wahrscheinlichkeiten * (Multiplikatoren * baseAuszahlungen[[k - 1]])], {k, 2, 4}] * probabilitiesMatch];

(* Berechnen Sie die Erwartungswerte mit ursprünglichen und angepassten Multiplikatoren *)

expectedValueOriginal = expectedPayoutWithMultipliers[probabilitiesMultiplierOriginal];

expectedValueAdjusted = expectedPayoutWithMultipliers[probabilitiesMultiplierAdjusted];

(* Geben Sie die erwarteten Werte für beide Fälle aus *)

{expectedValueOriginal, expectedValueAdjusted}

Interpretation von Graphen

Der Vergleich der erwarteten Werte für verschiedene Multiplikatorkonfigurationen zeigt, wie sich die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit des 5-fachen Multiplikators auf die Gesamtauszahlung auswirkt. Es ist wahrscheinlicher, dass die Spieler größere Gewinne mit einer höheren Wahrscheinlichkeit für große Multiplikatoren erzielen, aber die Betreiber müssen dies mit den potenziellen Auswirkungen auf die Rentabilität des Spiels abwägen.

8.3.4. Empfindlichkeit des Erwartungswerts gegenüber Spielvarianten

Der erwartete Wert kann auch abhängig von Spielvarianten sein, z. B. von der Größe des Zahlenpools oder der Häufigkeit von Ziehungen. So erhöht z.B. die Verkleinerung des Zahlenpools die Wahrscheinlichkeit, dass Zahlen übereinstimmen, und erhöht damit den Erwartungswert. Auf der anderen Seite erschwert die Erhöhung des Zahlenpools den Gewinn und senkt den Erwartungswert.

Berechnen und visualisieren wir den Erwartungswert für zwei verschiedene Zahlenpoolgrößen: eine mit 40 Zahlen und eine mit 60 Zahlen.

Wolfram Language-Code für die Empfindlichkeit des Erwartungswerts gegenüber der Poolgröße