A Fibonacci számok egymásra rétegezése a végtelen felé, avagy a magasabb rendű Lucas számok képzése a végtelenig

Jól ismert számok a matematika történetében az úgynevezett Fibonacci számok, amelyek olyan számsort jelölnek, amelynek számait úgy képezzük, hogy a sorozatban mindig a legutolsó két számot adjuk össze. Így például: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 stb. Ezt a számsorozatot egy Fibonacci nevű olasz matematikus fedezte fel a középkorban. Majd 700 évvel később egy Ferdinand Lucas nevű francia matematikus felfedezett fel egy ehhez hasonló számsort, amit ugyanígy képzünk, csak ennél a legutolsó két szám összeadását nem 2-vel és 3-al, hanem 3-al és 4-el kezdjük. Így például: 1, 2, 3, 4, 7, 11, 18, 29 stb. Tegnap csak úgy szórakozásból megpróbálkoztam a Fibonacci számok kettő hatványaira, és bizonyos egész számok összegeire bontani, és érdekes felfedezéseket tettem, amiket nem tudom, hogy más felfedezett e már, minden esetre az interneten nem találtam ilyesmit sehol sem.

1
1
2
3
5
8 = (2^2 + 3)
13 = (2^3 + 5) A kettő hatványainak összege 3, vagyis egy Lucas szám.
21 = (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 4, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 5.
34 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 7, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 10, (vagyis az előző kettő összege).
55 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 11, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 15, (vagyis az előző kettő összege).
89 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 18, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 25, (vagyis az előző kettő összege).
144 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 29, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 40, (vagyis az előző kettő összege).

Tehát ha a Fibonacci számokat kettő hatványainak és ötnek az összegeire bontjuk, akkor a kettő hatványkitevőinek az összege mindig egy Lucas számot ad ki, az ötnek az összegei pedig az előző két összegnek az összegei a Fibonacci számok logikájának megfelelően. Ezen felbuzdulva megpróbáltam ugyanígy elemeire bontani a Lucas számokat is, ezúttal a kettő hatványainak és a háromnak az összegeire.


3
4
7 = (2^2 + 3) A kettő hatványainak összege 2, vagyis egy Fibonacci szám.
11 = (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 3, vagyis egy Fibonacci szám.
18 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 5, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 6, vagyis az előző két szám összege.
29 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 8, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 9, vagyis az előző két szám összege.
47 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) + (2^3 + 3) + (2^2 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 13, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 14, vagyis az előző két szám összege.

Tehát a kettő hatványkitevőinek összegei itt mindig egy Fibonacci számot adnak ki a hármas szám összegei pedig mindig az előző két összeg összegei, mint az imént. Ezután a 3-nál egyel nagyobb 4-es szám összegeit próbáltam hozzáadni a kettő így képzett hatványainak az összegeihez.

8 = (2^2 + 4)
12 = (2^3 + 4)
20 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4)
32 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4) + (2^3 + 4)
52 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4) + (2^3 + 4) + (2^3 + 4) + (2^2 + 4)
Amint láthatjuk kaptunk egy a Fibonacci és a Lucas számokhoz hasonló számsorozatot, ahol szintén mindig a legutolsó két szám összegéből képezzük a következő számot, és ami így egy magasabb rendű Lucas számnak tekinthető mindjárt mondom, hogy miért. Először azonban tegyük meg még egyszer ugyanezt 5 összegeivel is:



9 = (2^2 + 5)
13 = (2^3 + 5)
22 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5)
35 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5) + (2^3 + 5)
57 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5) + (2^3 + 5) + (2^3 + 5) + (2^2 + 5)
Láthatjuk, hogy itt is hasonló eredményre jutottunk, de vajon miért tekinthetőek ezek a számok magasabb rendű Lucas számoknak, és nem csupán önkényesen képzett Fibonacci szerű számsorozatoknak? Ennek a megértéséhez próbáljuk meg kivonni a Fibonacci számokat a Lucas számokból.
3 – 2 = 1
4 – 3 = 1
7 – 5 = 2
11 – 8 = 3
18 – 13 = 5
29 – 21 = 8
47 – 34 = 13

Láthatjuk, hogy Fibonacci számokat kaptunk eredményül, tehát a Lucas számok nem mások, mint két egymásra rétegzett Fibonacci számsor összegei. Most vonjuk ki az általunk képzett magasabb rendű Lucas számokból először a Lucas számokat, majd a második magasabb rendű Lucas számsorból az első magasabb rendű Lucas számsort.

8 – 3 = 5
12 – 4 = 8
20 – 7 = 13
32 – 11 = 21
52 – 18 = 34



9 – 8 = 1
13 – 12 = 1
22 – 20 = 2
35 – 32 = 3
57 – 52 = 5

Láthatjuk, hogy ugyancsak Fibonacci számokat kaptunk eredményül, tehát az így képzett számsorok azért tekinthetőek magasabb rendű Lucas számoknak, mert a Lucas számokhoz hasonlóan szintén egymásra rétegzett Fibonacci számok összegeinek tekinthetőek, és ezt nyilvánvalóan egészen a végtelenségig folytathatjuk, mindig új magasabb rendű Lucas számokat képezve. A magasabb rendű Lucas számok képzésének módszere általam képletbe foglalva, talán nem túl szakszerűen, tehát:

(F2^1 + Fn) = F → ∞ Ahol (F) a Fibonacci számokat jelöli, (n) pedig egy mindig egyel növekvő, változó számot.

Ha pedig a fibonacci számok felbontásával kapott sorozatok együtthatóihoz adunk hozzá egyet, akkor pedig egészen újfajta sorozatokat kapunk, amelyeket én nem tudok hová tenni.

 8 = (2^2 + 4)
14 = (2^3 + 6)
22 = (2^4 + 6)
36 = (2^3 + 6) + (2^4 + 6)

9 = (2^2 + 5)
15 = (2^3 + 7)
23 = (2^4 + 7)
38 = (2^3 + 7) + (2^4 + 7)

Felhasznált irodalom:

Wikipédia: Fibonacci-számok https://hu.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-sz%C3%A1mok