A relativitáselmélet és a kvantummechanika összebékítésének egy lehetséges matematikai módszere

A relativitáselmélet és a kvantummechanika összebékítése régi problémája a fizikának. A relativitáselméletről azt mondják, hogy az általunk is látható makrovilág fizikai jelenségeit írja le. A bolygók, csillagok és galaxisok fizikai jelenségeit, a kvantummechanikáról pedig azt, hogy a nagyon kicsi mikrovilág jelenségeit írja le, így a szubatomi részecskék világában tapasztalható állapotokat és jelenségeket. A makrovilág terét, amit magunk körül látunk, és amiben mi is mozgunk, általában kontinuusnak tapasztaljuk, hiszen a tér minden része egy kompakt, összefüggő egészet alkot tapasztalataink szerint. A szubatomi világ kvantumjelenségeiről viszont a fizikusok azt mondják, hogy azok inkább diszkontinusak. Hiszen olyan dolgokat hallhatunk róla a különféle tudományos ismeretterjesztő adásokban, hogy a kvantumjelenségek esetében az energia nem folyamatosan, hanem diszkréten, kis csomagokban terjed, és így tovább. Tehát a kvantummechanika jelenségvilága inkább diszkontinusnak tekinthető. Ebből arra a következtetésre jutottam, hogy ha meg akarjuk találni a fizikában a relativitáselmélet és a kvantummechanika egységét, akkor olyan matematikai módszert kell kidolgoznunk, amely megleli kontinuitás és a diszkontinuitás egységét.

Dr. Szilvási Lajos: Zénon, Arisztotelész, Hegel felfogása a mozgásról című cikkében a marxi dialektikus materializmus mozgásfelfogását elemzi, amit legjobban úgy fogalmazhatunk meg, hogy a kontinuitás és a diszkontinuitás egysége. Ezt a fajta szemléletet többek között Zénon jól ismert mozgásról leírt paradoxonjainak segítségével elemzi, amelyek közül a legszemléletesebb a repülő nyíl apóriája.

Ez Zénon mozgás elleni érvei közül a legfőbb. Megláthatjuk benne azt is, hogy Zénón a valóságos világ dialektikájának bizonyos részleteit felfedezte a fogalmak dialektikájában.
Zénón szerint a kilőtt nyíl nem mozoghat. Képtelenség a mozgás, mert a nyíl minden egyes pillanatban a tér valamely pontján tartózkodik. Egy bizonyos időben itt is van egy meghatározott helyen, meg nincs is itt. Ha itt van, akkor nem haladhat a levegőben, hanem egy helyben áll. Ha a tér másik pontján van, vagy másként ott van, akkor megint csak nem repülhet, hanem nyugalomban van.
Az útjára bocsátott nyíl mozgása úgy értelmezhető, hogy egy bizonyos időpillanatban itt is van és nincs is itt a tér adott helyén — az ittből -» átmegy az ottba.

Ez a szemlélet feltételezi egyrészt a tér végtelen oszthatóságát, vagy másként diszkontinuitását, hiszen ha a nyíl azért nem mozoghat, mert repülés közben minden időpillanatban van a tér egy pontján, vagyis a tér egy végtelenül kicsi atomjában az azt jelenti, hogy a tér végtelenül kicsi pontokból áll össze, tehát végtelenül osztható. Másrészt pedig az a mindennapi tapasztalat, hogy a mozgás mégiscsak lehetséges feltételezi, hogy ezek a végtelenül kicsi pontok mégiscsak kontinuus egységet alkotnak valamilyen formában, hiszen akkor a nyíl mozgás közben nem mehetne át egyik pontból a másikba. Tehát a mozgás csak akkor lehetséges, ha a tér szerkezetében a kontinuitás (az összefüggő egység) és a diszkontinuitás (végtelen oszthatóság) valamiképp egységet alkot.

Hogyan lelhetünk rá a matematikában a kontinuitás és a diszkontinuitás eme egységére? Véleményem szerint csak a faktoriális számítás segítségével, amely által egy sajátos matematikai mintázat bontakozik ki előttünk, ami megmutatja, hogy 0 faktoriális, vagyis 0! ahol ez a tér végtelen oszthatóságának megfelelően a végtelenül kicsit fémjelzi, egyenlő 1-el ahol egy természetes szám, tehát kontinuus egészet alkot. Vizsgáljuk meg először is 5 faktoriálist, vagyis 5!:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

4! = 5!/5 = 120/5 = 24

Ebből egy sajátos matematikai minta bontakozik ki:

3! = 4!/4 = 24/4 = 6

2! = 3!/3 = 6/3 = 2

1! = 2!/2 = 2/2 = 1

0! = 1!/1 = 1/1 = 1

Tehát 0 faktoriális a matematikai mintázat szerint egyenlő 1-el, így ebben a matematikai mintában a diszkontinus egységet képez a kontinuitással. Az általános relativitáselméletnek, és úgy általában a kvantummechanika és a relativitáselmélet összebékítésének matematikai eszköztárában az egyik legfontosabb matematikai fogalom a tenzor.

A tenzorok olyan mértani fogalmak, melyeknek köszönhetően bármilyen viszonyítási rendszerben ki tudjuk fejezni egy másik, független koordinátarendszerben végbemenő skaláris, vektoriális vagy lineáris műveleteket. Ez nyilván nagyon bonyolultnak hangzik, ezért itt egy példa: kávéspoharunkba rakjunk egy kockacukrot, öntsünk rá a kávét, s menjünk be egy liftbe, majd indítsuk el a liftet felfelé. Ha ekkor a kockacukorra fordítjuk tekintetünket, láthatjuk, hogy térfogata egyre kisebb lesz, de amúgy nyugalomban marad a csésze alsó részén. Helyzetét kijelöli az őt körülvevő kávé nyomása, mérete, amelyek pedig olyan paraméterek függvényei, mint a kávéval való érintkezés felülete, a körülölelő folyadék áramlási sebessége, hőmérséklete, stb.

Azonban, ha a lift üvegfalán át követnénk a kockacukor helyzetét, azt tapasztalnánk, hogy a gravitációs hatás ellenére a figyelt objektum egyre gyorsabb sebességgel emelkedik – miközben folyamatosan olvad. Az épület felett elhaladó repülőgépben levő pilóta szerint pedig először egyre közelebb kerül, majd pedig egyre távolabb az emelkedő kockacukor. S a megfigyelők, illetve a referenciarendszerek variálását és kombinálását végtelenül sokáig bővíthetjük, tehetünk megfigyelőt a Holdra illetve egy másik galaxisba. Ha pedig valamelyik referenciarendszer sebessége megközelíti a fénysebességet a liftünkhöz viszonyítva, akkor az úgynevezett Lorentzt-transzformációkat is használni kell a megfelelő eredmény érdekében. A lényeg az, hogy amennyiben ismerjük a két referenciarendszer viszonyát, ki lehet számítani az objektum viselkedését: a repülő utasa kiszámíthatja, hogy mit látott az, aki a lift falán keresztül követte az eseményeket. Ezekhez a számításokhoz viszont ismernünk kell azokat a komponenseket, amelyek meghatározzák a vizsgált objektum állapotát.

Itt nem csak a pillanatnyi helykoordináták megadásáról van szó: követni kell a hőmérsékletet, légnyomást, a kávé áramlási sebességét – ha már a fenti példánál maradunk, ezek is olyan változók, amelyek nagymértékben meghatározzák a kockacukor fizikai állapotát egy adott pillanatban. Ezen komponensek mértéke változik ugyanis, amint az egyik megfigyelő koordinátarendszeréből áttérünk egy másikéra. Ezt az áttérést lehet úgy jelölni, hogy az egyik rendszerben meghatározott vektor vagy skalár paramétereit megszorozzuk egy mátrixal. Mivel egy objektum állapotát nagyon sok vektor és skaláris jellemezheti, ezek a mátrixok – vagy tenzorok – is sokkomponensűek lehetnek.

A tenzorokat általában mátrixokkal reprezentálják a matematikában. A mátrix különféle matematikai mennyiségek (számok, függvények vagy egyéb kifejezések) téglalap alakú, táblázatszerű elrendezései. Amelyekkel különféle műveleteket lehet végezni, mint például összeadás vagy szorzás, amikor egy-egy mátrix minden tagját megszorozzuk egy másik mátrix minden tagjával. Illusztrációnak itt egy kép:

Csak úgy magamban arra gondoltam, hogy esetleg nem e lenne lehetséges a relativitáselmélet és a kvantumelmélet összebékítését célzó matematikai eszköztárat úgy bővíteni, hogy a faktoriálisok számítását, amelyből az imént kihoztuk a kontinuitás és a diszkontinuitás egységét valamiképp összekapcsoljuk a mátrixszámítással? Vajon létezhet e olyan, hogy mátrix faktoriális? Vagy ezáltal visszavezethetjük e a tenzorokat 0 faktoriálishoz, vagyis a kontinuitás és a diszkontinuitás egységéhez, hogy ott megleljük a relativitáselmélet és a kvantummechanika egyesítésének titkát? Ez csak egy sejtés, nem mondom, hogy nálam van a biztos igazság, valószínűleg nem is én fogom összekapcsolni a mátrixszámítást a faktoriálisokkal, ha valóban ez a megoldás a relativitáselmélet és a kvantummechanika összekapcsolására.

Felhasznált irodalom:

Tenzorok: http://elemifizika.20m.com/tenzor.html

Dr. Szilvási Lajos: ZÉNÓN, ARISZTOTELÉSZ, HEGEL FELFOGÁSÁNAK LÉNYEGE A MOZGÁSRÓL, Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

Wikipédia: Mátrix https://hu.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1trix_(matematika)

Zero Factorial – Numberphile https://www.youtube.com/watch?v=Mfk_L4Nx2ZI