A Kialakuló Kristályosodási Frontok Analitikus Dinamikája Bolygói Magmaóceánokban

A Kialakuló Kristályosodási Frontok Analitikus Dinamikája Bolygói Magmaóceánokban

Lengyel Ferenc

2025. július

Vezetői Összefoglaló

A bolygói magmaóceánok megszilárdulása a kőzetbolygók kialakulásának és fejlődésének alapvető korszakát jelenti. Ez a folyamat az elsődleges, bolygóméretű differenciációs esemény, amely létrehozza a kéreg, a köpeny és a légkör kezdeti állapotát, ezáltal meghatározva minden későbbi geológiai és potenciálisan biológiai evolúció peremfeltételeit. A folyamat dinamikája azonban továbbra is intenzív elméleti és kísérleti kutatások tárgyát képezi. Jelen jelentés egy központi és megoldatlan elméleti kihívással foglalkozik: a hűlő magmaóceánon áthaladó kristályosodási front dinamikájának analitikus megoldásainak levezetésével. E jelenség kvantitatív, első elveken alapuló modellje elengedhetetlen a bolygói kéregképződés, a köpeny rétegződésének és az illóanyagok kigázosodási történetének előrejelző modelljeinek fejlesztéséhez.

A vizsgálat magját a fizikai rendszer többkomponensű, egydimenziós, mozgó határfelülettel rendelkező reakció-diffúzió problémaként való megfogalmazása képezi. Ez a keretrendszer, amely a klasszikus Stefan-probléma általánosítása, megragadja a hőtranszport, a kémiai diffúzió és a fázisváltozás összekapcsolt fizikájának lényegét. Az irányító rendszer csatolt parciális differenciálegyenletekből áll, amelyek a szilárd és folyékony fázisok hőmérsékleti mezejét, valamint a folyékony olvadékban lévő több kémiai komponens koncentrációmezejét írják le. A kritikus komplexitás a mozgó határfelületen jelentkező nemlineáris csatolásból fakad: a határfelületi hőmérséklet a likvidusz-hőmérséklet, amely a helyi olvadékösszetétel (beleértve az illóanyagokat is) függvénye, a határfelület sebességét pedig csatolt energia- és tömegmérleg-feltételek (a Stefan-feltétel és a kémiai megoszlási feltételek) szabályozzák, amelyek a fronton lévő hőmérsékleti és kémiai gradiensektől függenek.

Felismerve, hogy a teljes nemlineáris rendszer matematikailag kezelhetetlen egy általános, zárt alakú megoldás számára, ez a jelentés egy sor jól bevált analitikus technikát alkalmaz egy közelítő, de fizikailag mély betekintést nyújtó megoldás levezetésére. Az elsődleges módszer a hasonlósági transzformáció, amely az irányító parciális differenciálegyenleteket csatolt, nemlineáris közönséges differenciálegyenletek rendszerévé redukálja. Ezt a transzformált rendszert ezután analitikusan, reguláris perturbációs sorfejtéssel oldjuk meg a Stefan-szám, egy dimenzió nélküli paraméter szerint, amely a látens és a szenzibilis hő arányát képviseli, és amely a szilikátos rendszerek esetében jellemzően kicsi.

A levezetett analitikus megoldás megadja a kristályosodási front helyzetét az idő függvényében, s(t), valamint a hőmérséklet- és kémiai koncentrációprofilokat a szilárd és folyékony köpenyben. A legfontosabb megállapítások a következők:

1. A front sebessége és annak függőségei: A modell explicit kifejezést ad a kristályosodási front sebességére. Bemutatja, hogy a megszilárdult köpeny vastagsága arányos az idő négyzetgyökével, ami egy jellegzetes diffúzív skálatörvény. Kimutattuk, hogy a növekedés üteme a bolygó hűlési sebességének (amelyet a termikus peremfeltételek határoznak meg), a magmaóceán kezdeti tömbösszetételének, az ásvány-olvadék megoszlási hányadosok által leírt kémiai frakcionáció hatékonyságának és az oldott illóanyagok koncentrációjának komplex függvénye.

2. Az illóanyag-telítettség mint nemlineáris kiváltó ok: A modell kvantitatívan leírja az inkompatibilis elemek és illóanyagok feldúsulásának folyamatát egy kémiai határrétegben a haladó front előtt. Előrejelzi, hogy ez a feldúsulás az olvadékot az illóanyag-telítettség állapotába hozhatja. A telítődéskor az illóanyagok kiválása éles változást okoz a likvidusz-hőmérsékletben, ami viszont a kristályosodási front nemlineáris gyorsulásához vezet. Ez egy robusztus fizikai mechanizmust biztosít a gyors, késői stádiumú kigázosodási eseményekhez, amelyek kritikusak a bolygó ősi légkörének kialakulásában.

3. Kémiai differenciáció és fejlett rezervoárok kialakulása: A kémiai koncentrációprofilokra adott megoldás közvetlen analitikus modellt szolgáltat a magmás differenciációra a frakcionált kristályosodás révén. Előrejelzi a maradék olvadék kémiai evolúcióját a megszilárdulás előrehaladtával, kvantitatív alapot kínálva a magasan fejlett, inkompatibilis elemekben gazdag litológiák, mint például a Holdon található KREEP (kálium, ritkaföldfémek, foszfor) rezervoár kialakulásának megértéséhez.

4. A kristályosodás-redox-atmoszféra visszacsatolási hurok: A jelentés rávilágít egy kritikus visszacsatolási mechanizmusra, amely összekapcsolja a köpeny megszilárdulását a légkör fejlődésével. Az olyan ásványok kristályosodása, mint az olivin és a piroxén, előnyben részesítve vonja ki a vas(II)-iont (Fe2+) az olvadékból, fokozatosan oxidálva a maradék folyadékot. A magmaóceán felszínének ez a változó redoxállapota diktálja a kigázosodott illóanyagok kémiai formáját (pl. a CO/H2 és a CO2/H2O arányát). A keletkező légkör összetétele pedig visszahatva szabályozza annak sugárzási tulajdonságait, és így magának a bolygónak a hűlési sebességét. A modell keretet biztosít ennek a visszacsatolásnak a számszerűsítésére, bemutatva, hogy a hűlési sebesség nem független paraméter, hanem endogén módon kapcsolódik a kristályosodási folyamathoz.

A jelentésben kidolgozott analitikus keretrendszer jelentős előrelépést kínál a korai bolygófejlődés kvantitatív modellezésében. Új, fizikailag megalapozott eszközt nyújt az elsődleges kéreg kialakulásának időskáláinak és a köpenyből történő illóanyag-felszabadulás történetének előrejelzésére. Azáltal, hogy a mélybelső dinamikáját összekapcsolja a légkör összetételével, ezek a megállapítások mélyreható következményekkel bírnak a bolygók lakhatóságának kezdeti feltételeinek és az olyan bolygók, mint a Föld, a Vénusz és a Mars eltérő fejlődési útjainak megértésében.

1. Szekció: A Magmaóceánok Megszilárdulásának Elméleti Keretrendszere

A kőzetbolygók keletkezése és későbbi evolúciója rendkívüli energiájú és összetettségű folyamat. Ezen égitestek legkorábbi történetének központi eleme a magmaóceán fogalma – egy globális vagy közel globális olvadt szilikátkőzet-réteg. E magmaóceán lehűlése és megszilárdulása vitathatatlanul a legjelentősebb differenciációs esemény egy bolygó életében, amely megalapozza az összes későbbi geológiai tevékenységet. E folyamat dinamikájának megértése ezért alapvető a bolygótudomány számára. Ez a szekció bemutatja a magmaóceán-kristályosodás tudományos kontextusát, matematikailag kezelhető mozgó határfelületi problémaként keretezve azt, és formálisan meghatározza e vizsgálat célkitűzéseit.

1.1 A Magmaóceánok Szerepe a Bolygófejlődésben

A belső Naprendszer kőzetbolygóinak kialakulása erőszakos és energetikus folyamat volt, amelyet planetezimálok akkréciója és nagyméretű ütközések jellemeztek. Két elsődleges energiaforrás biztosította, hogy ezek a születőben lévő égitestek egy vagy több olyan fázison menjenek keresztül, amelyben köpenyük részben vagy teljesen megolvadt: a korán kialakuló égitestekben a rövid felezési idejű radionuklidok, mint a ^{26}Al és a ^{60}Fe bomlása, valamint a később kialakuló, nagyobb bolygók esetében az akkréciós becsapódások során felszabaduló hatalmas kinetikus energia. Az óriásbecsapódásokat, mint amilyen a Föld Holdját feltételezhetően létrehozó esemény volt, a bolygóképződés gyakori következményének tekintik, és elegendőek lettek volna egy mély magmaóceán létrehozásához. Következésképpen a magmaóceánokat a kőzetbolygók életciklusának általános szakaszának tartják.

E hatalmas magmatestek megszilárdulása az a kohó, amelyben egy bolygó elsődleges szerkezete kialakul. Ez a bolygói differenciáció első és legmélyrehatóbb epizódja, amely meghatározza az elemek és illóanyagok kezdeti eloszlását a belső és a felszín között. Ahogy a magmaóceán hűl és kristályosodik, egy frakcionált kristályosodásnak nevezett folyamat játszódik le, amelynek során különböző ásványok válnak ki az olvadékból különböző hőmérsékleten és nyomáson. E kristályok leülepedése vagy felúszása megváltoztatja a megmaradó folyékony magma összetételét, ami egy kémiailag rétegzett köpeny és egy összetételében eltérő elsődleges kéreg kialakulásához vezet. Például a holdi felföldek, amelyek túlnyomórészt anortozit kőzetből állnak, széles körben elfogadott nézet szerint az alacsony sűrűségű plagioklász kristályok felúszásából (flotációjából) jöttek létre a holdi magmaóceánban.

Ezzel egyidejűleg ez a folyamat diktálja a bolygó első légkörének kialakulását. Az illékony elemek és vegyületek (pl. víz, szén-dioxid, nitrogén), amelyek kezdetben oldott állapotban voltak az olvadt köpenyben, felszabadulnak – vagyis "kigázosodnak" –, ahogy az olvadék kristályosodik és oldhatóságuk csökken. Ennek az ősi légkörnek az összetétele és tömege tehát a magmaóceán evolúciójának közvetlen következménye, ami pedig mélyreható hatással van a bolygó korai klímájára és a lakhatóság lehetőségére. Ennek a korai differenciációnak az öröksége geológiai időskálákon is fennmaradhat; egyes kutatók szerint a ma megfigyelhető mélyköpeny-struktúrák, mint például a Föld köpenyének alján található Nagy, Alacsony Nyírásihullám-sebességű Tartományok (LLSVP-k), a földi magmaóceán utolsó maradékai lehetnek. Így a magmaóceán megszilárdulásának kvantitatív megértése nem csupán egy bolygó múltjának vizsgálata, hanem szükséges lépés a mai állapotának magyarázatához is.

1.2 A Kristályosodási Front mint Mozgó Határfelületi Probléma

A magmaóceán megszilárdulása nem egy pillanatszerű, az egész bolygóra kiterjedő esemény, amely tökéletes egyensúlyi körülmények között zajlik. Inkább egy dinamikus folyamat, amelyet a bolygó felszínéről az űrbe irányuló folyamatos hőveszteség hajt. Ahogy a bolygó energiát sugároz ki, a magma lehűl, és egy kristályosodási front – egy határfelület, amely elválasztja az újonnan képződött szilárd kumulátumhalmazt a megmaradt folyékony magmától – halad át a köpenyen. Egy ilyen terjedő fázisváltó határfelület vizsgálata a matematikai fizika klasszikus témája, amelyet mozgó határfelületi problémaként ismerünk. A leghíresebb példa a Stefan-probléma, amely a jég vízzé olvadását írja le. A magmaóceán megszilárdulása a Stefan-probléma egy rendkívül összetett, többkomponensű, geokémiai analógjaként fogható fel.

Ennek a kristályosodási frontnak a dinamikáját fizikai és kémiai folyamatok szorosan összekapcsolt kölcsönhatása szabályozza. A hőt mind a szilárd, mind a folyékony fázison keresztül kell szállítani vezetéssel és konvekcióval. Ezzel egyidejűleg a kémiai komponensek diffundálnak az olvadékban a haladó front felé vagy attól távolodva. A frakcionált kristályosodás folyamata, amely során bizonyos ásványok előnyben részesítve épülnek be a szilárd fázisba, kémiai "reakcióként" vagy nyelőként működik a határfelületen, folyamatosan megváltoztatva a szomszédos folyadék összetételét.

Ez a rendszer egy kritikus nemlineáris csatolást mutat, amely összetettségének elsődleges forrása és az egyszerű megoldás fő akadálya. A kristályosodási front hőmérséklete nem egy rögzített érték, hanem az olvadék likvidusz-hőmérséklete határozza meg. A likvidusz-hőmérséklet pedig érzékeny függvénye a helyi nyomásnak és, ami döntő fontosságú, az olvadék kémiai összetételének, beleértve az oldott illóanyagok koncentrációját is. Ezért a hőmérsékleti mező határozza meg a kristályosodás sebességét, de maga a kristályosodási folyamat megváltoztatja a kémiai mezőt, ami aztán visszahatva módosítja a határfelületen lévő termikus peremfeltételt. Ez a visszacsatolási hurok egységes kezelést tesz szükségessé. A termikus problémát (hőtranszport) és a kémiai problémát (anyagtranszport) nem lehet egymástól függetlenül megoldani; azokat csatolt parciális differenciálegyenletek rendszerként kell megoldani. A probléma ezen alapvető természete, mint csatolt, nemlineáris transzportjelenségek problémája, irányítja a jelentés teljes matematikai megközelítését.

1.3 A Probléma Formális Meghatározása

Tekintettel a magmaóceán megszilárdulásának alapvető fontosságára, a kristályosodási front dinamikájának kvantitatív, előrejelző modellje kiemelt tudományos értékkel bír. Míg a nagyléptékű numerikus szimulációk hatékony eszközök, számításigényesek lehetnek, és elfedhetik a paraméterek közötti alapvető fizikai kapcsolatokat. Egy analitikus megoldás, még egy egyszerűsített rendszerre is, mély betekintést nyújthat a skálatörvényekbe és a különböző fizikai folyamatok kölcsönhatásába.

A jelentés központi célkitűzése egy olyan zárt alakú analitikus megoldás levezetése és elemzése, amely leírja egy kristályosodási front egydimenziós terjedését, amelyet a s(t) pozíciója jelöl, egy félig végtelen bolygói magmaóceánba. A modellnek kellően kifinomultnak kell lennie ahhoz, hogy megragadja a folyamat kulcsfontosságú fizikáját. Konkrétan a modellnek figyelembe kell vennie a következőket:

1. Hőtranszport: A hő diffúziója mind a szilárd kumulátum köpenyben, mind a folyékony magmaóceánban.

2. Anyagtranszport: A fő szilikátalkotó elemek és a kulcsfontosságú illékony komponensek többkomponensű kémiai diffúziója a folyékony fázisban.

3. Fázisváltási reakció: A frakcionált kristályosodás folyamata a határfelületen, amely nyelőként működik a kémiai komponensek számára és forrásként a látens hő számára.

4. Bolygói hűlés: A bolygó hűlési sebességének hatása, amelyet egy termikus peremfeltétel képvisel, amely az egész folyamatot hajtja.

5. Illóanyag-hatások: Az illóanyag-koncentráció explicit hatása a fázisátalakulás termodinamikájára, különösen a likvidusz-hőmérséklet csökkenésére és a telítettség által kiváltott kristályosodás lehetőségére.

A kívánt megoldásnak a rendszer evolúciójának önkonzisztens leírását kell nyújtania, megadva a front helyzetét s(t), a hőmérsékletprofilokat a szilárd és folyékony fázisban, T_s(z,t) és T_l(z,t), valamint a releváns komponensek kémiai koncentrációprofiljait az olvadékban, C_i(z,t). Egy ilyen megoldás hatékony elméleti eszközt jelentene az elsődleges kéregképződés, a köpeny-differenciáció és a kőzetbolygókon történő illóanyag-kigázosodás történetének kvantitatív előrejelzéseinek javítására.

2. Szekció: Egy Többkomponensű Kristályosodó Rendszer Irányító Egyenletei

A kristályosodási front dinamikájára vonatkozó analitikus megoldás levezetéséhez először az 1. szekcióban leírt fizikai és geokémiai elveket kell szigorú matematikai keretrendszerbe ültetni. Ez a szekció fejleszti ki az irányító parciális differenciálegyenletek, határfelületi feltételek és peremfeltételek teljes rendszerét, amelyek leírják egy megszilárduló magmaóceán csatolt termikus és kémiai evolúcióját.

2.1 A Tartomány és a Koordináta-rendszer

Egy egyszerűsített egydimenziós geometriát veszünk figyelembe, amely megragadja a függőleges hő- és anyagtranszport lényeges fizikáját. Ez egy gyakori és hatékony kiindulópont a bolygóméretű folyamatok modellezéséhez, ahol a radiális gradiensek dominálnak. A magmaóceán megszilárdulása általában alulról felfelé halad, ami a nyomásfüggő olvadási görbe (szolidusz) meredekebb lejtésének következménye a magma adiabatikus hőmérsékleti profiljához képest. Ahogy az egész köpeny hűl, először a legnagyobb nyomáson, azaz az alján kezd kristályosodni. Ezért a tartományunkat egy olyan koordináta-rendszerben definiáljuk, ahol z=0 a mag-köpeny határt (CMB) jelöli, és a z felfelé növekszik a bolygó felszíne felé. A rendszert bármely t időpontban két régióra osztja a mozgó kristályosodási front a z=s(t) pozícióban:

• Szilárd fázis (Kumulátum köpeny): A 0 \le z < s(t) régió a megszilárdult ásványegyüttesből áll.

• Folyékony fázis (Magmaóceán): A z > s(t) régió az olvadt szilikátmagmából áll.

Az s(t) függvény a megszilárdult köpeny vastagságát jelenti, és a megoldás ismeretlen része. A feladat a hőmérséklet- és összetételmezők megoldása ezeken a tartományokon belül, miközben egyidejűleg meghatározzuk a s(t) határfelület evolúcióját is.

2.2 A Hőmérsékleti Mező (Hőtranszport)

A hőmérséklet evolúcióját mind a szilárd, mind a folyékony fázisban a hődiffúziós egyenlet szabályozza. Bár a magmaóceánok erőteljesen konvektívek, ami közel adiabatikus hőmérsékleti profilt eredményez a folyadék nagy részében, a diffúzió dominálja a hőtranszportot a határfelületek melletti termikus határrétegekben. Modellünk ezekre a diffúzív folyamatokra összpontosít, amelyek végső soron sebességmeghatározóak a határfelületi dinamikában. Az irányító egyenletek a szilárd, T_s, és a folyékony, T_l, fázis hőmérsékletére a következők:

• Szilárd fázis (0 \le z < s(t)): \frac{\partial T_s}{\partial t} = \kappa_s \frac{\partial^2 T_s}{\partial z^2} (2.1. egyenlet)

• Folyékony fázis (z > s(t)): \frac{\partial T_l}{\partial t} = \kappa_l \frac{\partial^2 T_l}{\partial z^2} (2.2. egyenlet)

Itt \kappa_s és \kappa_l a szilárd és folyékony köpeny hőmérséklet-vezetési tényezője (termikus diffuzivitása). A termikus diffuzivitás definíciója \kappa = k/(\rho c_p), ahol k a hővezető képesség, \rho a sűrűség, és c_p a fajhőkapacitás állandó nyomáson. Geológiai alkalmazásokban a termikus diffuzivitás tipikus értéke 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} nagyságrendű. Ezek az egyenletek leírják, hogyan változik a hőmérséklet egy térbeli pontban a pontba be- vagy onnan kiáramló nettó hőáram következtében.

2.3 A Kémiai Mező (Anyagtranszport)

A magmaóceán egy összetett kémiai oldat. Az analitikus kezelhetőség érdekében ezt a valóságot egyszerűsítenünk kell, miközben megőrizzük a magmás differenciáció lényeges vonásait. Míg egy teljes modell a köpeny pirolitjára releváns teljes FCMAS (FeO-CaO-MgO-Al_2O_3-SiO_2) rendszert is figyelembe vehetné, a problémát egy általános n-komponensű rendszerre fogalmazzuk meg. A végső levezetéshez ezt specializálhatjuk egy ternér rendszerre (pl. olivin, piroxén és plagioklász komponenseket reprezentálva) és egy illékony komponensre.

Az egyes i kémiai komponens C_i koncentrációjának evolúcióját a folyékony fázisban egy reakció-diffúzió egyenlet írja le. A folyadék belsejében, távol a kristályosodó határfelülettől, feltételezzük, hogy nincsenek kémiai reakciók. Az elsődleges "reakció" – a kristályosodás – kizárólag a mozgó határfelületen, z=s(t)-nél történik. Ezért a reakciótag az irányító egyenletben a folyadék belsejében nulla. A koncentráció változása bármely ponton a folyadékban kizárólag a kémiai diffúziónak köszönhető:

• Folyékony fázis (z > s(t)): $$ \frac{\partial C_i}{\partial t} = D_i \frac{\partial^2 C_i}{\partial z^2} \quad \text{ahol } i=1,2,...,n $$ (2.3. egyenlet)

Itt D_i az i komponens kémiai diffúziós együtthatója (diffuzivitása) a szilikátolvadékban. A szilikátolvadékokban a kémiai diffuzivitások jellemzően sokkal kisebbek, mint a termikus diffuzivitások, gyakran 10^{-12} \, \text{m}^2/\text{s} nagyságrendűek. Ez a különbség a transzportsebességekben a geokémiai rendszerek egyik kulcsfontosságú jellemzője, ami a termikus határrétegeknél jóval vékonyabb kémiai határrétegek kialakulásához vezet.

2.4 Határfelületi Feltételek z=s(t)-nél (Az Általánosított Stefan-feltételek)

A fázisváltozás fizikája teljes egészében a mozgó határfelületen, z=s(t)-nél alkalmazott feltételekben rejlik. Ezek a feltételek összekapcsolják a termikus és kémiai mezőket, és szabályozzák a front mozgását.

2.4.1 Termodinamikai Egyensúly

A határfelületen a szilárd és folyékony fázisok helyi termodinamikai egyensúlyban vannak. Ez azt jelenti, hogy a hőmérséklet folytonos a határfelületen, és egyenlő az olvadék likvidusz-hőmérsékletével az adott nyomáson és összetételben.

T_s(s(t),t) = T_l(s(t),t) = T_{liq}(P, C_1, C_2,..., C_n, C_v) (2.4. egyenlet)

Ez a probléma legkritikusabb nemlineáris csatolási feltétele. A T_{liq} likvidusz-hőmérséklet a nyomás (P), a fő szilikátkomponensek koncentrációinak (C_i) és az oldott illóanyagok koncentrációjának (C_v) komplex függvénye. Ez a feltétel kimondja, hogy amint az olvadék összetétele a határfelületen a frakcionált kristályosodás miatt megváltozik, magának a kristályosodási hőmérsékletnek is ennek megfelelően kell változnia.

2.4.2 Az Illóanyag-telítettség Hatása

Az illóanyagok, mint a H_2O és a CO_2, döntő szerepet játszanak a magmás folyamatokban. Jellemzően "inkompatibilis" elemek, ami azt jelenti, hogy inkább az olvadékban maradnak, mintsem beépülnének a közönséges köpenyásványok kristályszerkezetébe. Az oldott illóanyagok jelenléte általában csökkenti a szilikátolvadék likvidusz-hőmérsékletét. Ezt a függést explicit módon modellezhetjük a likvidusz-függvényben, például egy lineáris közelítéssel alacsony koncentrációkra: T_{liq} \approx T_{liq,dry} - \gamma C_v, ahol \gamma egy állandó.

Kulcsfontosságú jelenség következik be, amikor egy illóanyag, C_v, koncentrációja az olvadékban eléri a telítettségi határát, C_{sat}(P,T). Ekkor egy különálló, illóanyagokban gazdag fluid fázis (gáz vagy szuperkritikus fluidum) válik ki az olvadékból. Ez a kigázosodási folyamat drámaian megnövelheti a megmaradó szilikátolvadék likvidusz-hőmérsékletét, potenciálisan egy gyors kristályosodási rohamot váltva ki. Ez a hatás a modell azon képességének sarokköve, hogy magyarázatot adjon a nemlineáris dinamikára, és beépítésre kerül a T_{liq} funkcionális formájába.

2.4.3 Hőenergia-mérleg (Stefan-feltétel)

A határfelület mozgását a hőelvonás hajtja, ami magában foglalja mind a folyadék hűlését (szenzibilis hő), mind a fázisváltozás során felszabaduló hőt (látens hő). A Stefan-feltétel az energiamegmaradás tétele a határfelületen. A sebesség, amellyel a fúzió látens hője, L, felszabadul, egyenlő kell legyen a határfelülettől távozó nettó hőárammal.

$$ \rho L \frac{ds}{dt} = \left. k_s \frac{\partial T_s}{\partial z} \right|{z=s(t)^{-}} - \left. k_l \frac{\partial T_l}{\partial z} \right|{z=s(t)^{+}} $$ (2.5. egyenlet)

Itt \rho a sűrűség (az egyszerűség kedvéért mindkét fázisra azonosnak feltételezve), L a fúzió látens hője tömegegységenként, k_s és k_l pedig a szilárd és folyékony fázis hővezető képessége. A ds/dt tag a kristályosodási front sebessége. Ez az egyenlet közvetlenül összekapcsolja a front sebességét a két oldalán lévő hőmérséklet-gradiensekkel.

2.4.4 Tömegmérleg (Kémiai Megoszlási Feltétel)

Ahogy a front halad előre, kémiai komponenseket épít be a folyadékból a szilárd fázisba. Ennek a beépülésnek a hatékonyságát a K_{D,i} ásvány-olvadék megoszlási hányados írja le, amelyet az i komponens szilárd fázisbeli (C_{i,s}) és folyadékfázisbeli (C_{i,l}) koncentrációjának arányaként definiálunk egyensúlyban: K_{D,i} = C_{i,s}/C_{i,l}.

Minden i komponensre a tömegmegmaradás a határfelületen megköveteli, hogy az a sebesség, amellyel az adott komponens tömege "elvész" a folyadékból, egyensúlyban legyen az adott komponens diffúzív áramával a tömbmagmából a határfelület felé. Ez egy sor kémiai ugrási feltételt eredményez:

$$ (C_{i,l} - C_{i,s}) \frac{ds}{dt} = -D_i \left. \frac{\partial C_{i,l}}{\partial z} \right|_{z=s(t)^{+}} $$ (2.6. egyenlet)

A megoszlási hányados definícióját behelyettesítve ez a következővé válik:

$$ C_{i,l}(s(t), t) (1-K_{D,i}) \frac{ds}{dt} = -D_i \left. \frac{\partial C_{i,l}}{\partial z} \right|_{z=s(t)^{+}} \quad \text{ahol } i=1,2,...,n $$ (2.7. egyenlet)

Ez egy kulcsfontosságú egyenletrendszer. Egy "inkompatibilis" elem esetén (K_{D,i} < 1), a (1-K_{D,i}) tag pozitív, ami azt jelenti, hogy a komponenst a szilárd fázis visszautasítja. Ehhez pozitív koncentrációgradiensre (\partial C_{i,l}/\partial z > 0) van szükség a határfelületen, hogy a visszautasított komponenst eldiffundáltassa az olvadékba, ami annak feldúsulásához vezet egy határrétegben. Ezzel szemben egy "kompatibilis" elem esetén (K_{D,i} > 1) a gradiensnek negatívnak kell lennie, ami elszegényedéshez vezet. Ezek az egyenletek összekapcsolják a front sebességét, ds/dt-t, az olvadékban lévő összes kémiai komponens koncentrációgradiensével.

2.5 Kezdeti és Távoltéri Peremfeltételek

Az PDE-rendszer egyértelmű megoldásának eléréséhez meg kell határoznunk a rendszer állapotát a folyamat kezdetén (kezdeti feltételek) és a tartomány határain (peremfeltételek).

Kezdeti feltételek (t=0-nál):

• A megszilárdulás a köpeny alján kezdődik: s(0) = 0 (2.8. egyenlet)

• A magmaóceán kezdetben egyenletes, likvidusz feletti T_0 hőmérsékleten van: T_l(z,0) = T_0 \quad \text{ahol } z>0 (2.9. egyenlet)

• A magmaóceán kezdetben kémiailag homogén, C_{i,0} összetételű: C_i(z,0) = C_{i,0} \quad \text{ahol } z>0 (2.10. egyenlet)

Peremfeltételek (t>0-ra):

• A mag-köpeny határon (z=0) a hőmérsékletet a mag hűlése szabályozza. Az egyszerűség kedvéért feltételezhetünk egy rögzített T_{CMB} hőmérsékletet, vagy egy lassan változó időfüggvényt, T_{CMB}(t): T_s(0,t) = T_{CMB}(t) (2.11. egyenlet)

• A távoltérben, mélyen a magmaóceánban (z \rightarrow \infty), a hőmérséklet és az összetétel a kezdeti, zavartalan értékén marad: \lim_{z\to\infty} T_l(z,t) = T_0 (2.12. egyenlet) \lim_{z\to\infty} C_i(z,t) = C_{i,0} (2.13. egyenlet)

A (2.1)–(2.13) egyenletrendszer teljes matematikai leírást ad az idealizált, egydimenziós magmaóceán-megszilárdulási problémára.

2.6 Termokémiai Paraméterek a Magmaóceán Modellezéséhez

Az irányító egyenletek megoldása számos fizikai és kémiai paraméter értékétől függ. Az alábbi táblázat egy szilikát magmaóceánra vonatkozó reprezentatív értékeket gyűjt össze, amelyeket kísérleti petrológiai és geofizikai modellezésből származtattunk, és amelyek az analitikus megoldást egy reális bolygói kontextusba helyezik.

1. Táblázat: Reprezentatív Termokémiai Paraméterek a Magmaóceán Modellezéséhez

Paraméter Szimbólum Érték/Tartomány Egység Forrás

Termikus tulajdonságok

Termikus diffuzivitás \kappa 1 \times 10^{-6} \text{m}^2/\text{s}

Fúzió látens hője L 4 \times 10^5 \text{J/kg}

Fajhőkapacitás c_p 1000-1200 \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

Folyadék sűrűsége \rho_l 3500 \text{kg/m}^3

Kémiai tulajdonságok

Kémiai diffuzivitás (olvadék) D_i 10^{-12} - 10^{-10} \text{m}^2/\text{s}

Olvadék viszkozitása (alacsony nyomáson) \eta 0.01-10 \text{Pa}\cdot\text{s}

Megoszlási hányadosok (K_D = C_{szilárd}/C_{folyadék})

Olivin (Fe-Mg) K_{D, \text{Fe-Mg}}^{\text{ol}} 0.32 dimenzió nélküli

Gránát (Fe-Mg) K_{D, \text{Fe-Mg}}^{\text{grt}} 0.48 dimenzió nélküli

Bridgmanit (Ca) K_{D, \text{Ca}}^{\text{brg}} ~0.3 dimenzió nélküli

Illóanyag tulajdonságok

H_2O oldhatóság (bazalt, 1 GPa) C_{sat, H_2O} 5-7 tömeg%

CO_2 oldhatóság (bazalt, 1 GPa) C_{sat, CO_2} 0.1-0.5 tömeg%

Ez a táblázat biztosítja a modell parametrizálásához szükséges bemeneti adatokat. A termikus és kémiai diffuzivitások közötti jelentős (hat nagyságrendű) különbség azonnal azt sugallja, hogy a kristályosodási fronton lévő kémiai határrétegek sokkal élesebbek és vékonyabbak lesznek, mint a termikus határrétegek. A megoszlási hányadosok értékei határozzák meg a kémiai frakcionáció irányát és nagyságát, ahol az egynél kisebb értékek (mint például az Fe-Mg az olivinben) azt jelzik, hogy az elem inkompatibilis és a maradék olvadékban fog feldúsulni.

3. Szekció: Az Analitikus Megoldás Levezetése

A 2. szekcióban megfogalmazott, csatolt, nemlineáris parciális differenciálegyenletekből álló, mozgó határfelülettel rendelkező rendszer komoly matematikai kihívást jelent. Az általános esetre nem ismert közvetlen, egzakt analitikus megoldás. Ez gyakori jellemzője az ilyen egyenletekkel leírt összetett fizikai rendszereknek, beleértve a Stefan-problémát és a nemlineáris reakció-diffúzió rendszereket is. A továbbhaladás útja tehát nem egy nyers erővel történő megoldási kísérlet, hanem egy sor jól bevált analitikus technika alkalmazása, amelyek a problémát kezelhető formára egyszerűsítik, miközben megőrzik annak lényeges fizikai viselkedését. Ez a szekció részletezi ezt a többlépcsős levezetést, kezdve a dimenziómentesítéssel, folytatva a hasonlósági transzformációval, és egy perturbációs megoldásban csúcsosodva ki.

3.1 Az Egzakt Megoldás Kihívása és az Egyszerűsítés Indoklása

A közvetlen analitikus megoldás elsődleges akadályai a problémában rejlő nemlinearitások. Két fő forrásuk van:

1. A mozgó határfelület: A probléma tartománya maga is az idő függvénye, s(t). Ez azt jelenti, hogy a peremfeltételeket egy olyan helyen alkalmazzuk, amely a megoldás része, ami a szabad vagy mozgó határfelületi problémák meghatározó jellemzője, és alapvetően nehezebbé teszi őket a rögzített tartományú problémáknál.

2. Az összetételfüggő határfelületi hőmérséklet: A határfelületen érvényes termodinamikai feltétel, T(s(t),t) = T_{liq}(C_1, C_2,...), közvetlenül és nemlineáris módon kapcsolja össze a termikus és kémiai mezőket. A kristályosodás hőmérséklete magának a kristályosodási folyamatnak a kimenetelétől függ.

E kihívások fényében a "zárt alakú analitikus megoldás" keresése stratégiai megközelítést igényel. A cél egy tökéletes, mindent átfogó képlet megtalálása helyett egy olyan matematikailag átlátható modell levezetése, amely megvilágítja a mögöttes fizikát és a skálatörvényeket. A diffúzió által dominált, ilyen jellegű problémákra a leghatékonyabb technika a hasonlósági transzformáció, amely azon az elgondoláson alapul, hogy a rendszer térbeli szerkezete idővel önmagához hasonló módon fejlődik. Ez a módszer képezi analitikus stratégiánk sarokkövét. A probléma egy új koordináta-rendszerbe való transzformálásával a parciális differenciálegyenletekről a közönséges differenciálegyenletekre csökkenthetjük a komplexitást, amelyeket lényegesen könnyebb megoldani.

3.2 Dimenziómentesítés

Bármely szisztematikus elemzés első lépése az irányító egyenletek dimenziómentesítése. Ez a folyamat a problémát dimenzió nélküli változókban fogalmazza újra, aminek két fő előnye van. Először is, egyszerűsíti az egyenleteket a független fizikai paraméterek számának csökkentésével. Másodszor, feltárja azokat az alapvető dimenzió nélküli csoportokat, amelyek a rendszer viselkedését szabályozzák, mély fizikai betekintést nyújtva a versenyző folyamatokba.

A következő dimenzió nélküli változókat vezetjük be, ahol a tildével (~) jelölt változók dimenzió nélküliek:

• Tér: \tilde{z} = z/L_{ref}

• Idő: \tilde{t} = t/t_{ref}

• Hőmérséklet: \tilde{T} = (T - T_{ref,1}) / (T_{ref,2} - T_{ref,1})

• Koncentráció: \tilde{C}_i = (C_i - C_{i,ref,1}) / (C_{i,ref,2} - C_{i,ref,1})

A megfelelő referencia-skálák kiválasztása kulcsfontosságú. Egy természetes időskála a termikus diffúziós idő egy karakterisztikus L_{ref} hossz-skálán, tehát t_{ref} = L_{ref}^2/\kappa_l. A hőmérsékleti skálát a kezdeti magma-hőmérséklet és a CMB-hőmérséklet alapján választhatjuk meg, pl. T_{ref,1} = T_{CMB} és T_{ref,2} = T_0. Ezeket behelyettesítve az irányító egyenletekbe (2.1-2.13) és átrendezve egy dimenzió nélküli rendszert kapunk, ahol a viselkedést kevés dimenzió nélküli paraméter szabályozza.

3.2.1 Kulcsfontosságú Dimenzió Nélküli Csoportok

A dimenziómentesítés folyamata feltárja a következő kritikus dimenzió nélküli számokat, amelyek a magmaóceán megszilárdulásának dinamikáját szabályozzák.

2. Táblázat: Kulcsfontosságú Dimenzió Nélküli Csoportok a Magmaóceán Megszilárdulásában

Dimenzió Nélküli Csoport Szimbólum Képlet Fizikai Jelentés

Stefan-szám Ste \frac{c_p(T_{liq}-T_{CMB})}{L} A fázisváltozás során felszabaduló látens hő és a szilárd anyag hőmérsékletének megváltoztatásához szükséges szenzibilis hő aránya. A kristályosodás termikus hatását szabályozza. A kis Ste érték azt jelenti, hogy a látens hő csekély perturbációt jelent a teljes hőmérsékleti költségvetésben.

Lewis-szám Le_i \frac{\kappa_l}{D_i} A termikus diffuzivitás és a kémiai diffuzivitás aránya. A termikus és kémiai határrétegek relatív vastagságát szabályozza. Mivel a magmák esetében Le_i \gg 1, a kémiai határrétegek sokkal vékonyabbak, mint a termikusak.

Megoszlási szám \Pi_i 1-K_{D,i} Az i komponens kémiai frakcionációjának hatékonyságát jelenti. \Pi_i \approx 1 a magasan inkompatibilis elemeknél; \Pi_i < 0 a kompatibilis elemeknél.

Illóanyag-befolyás paraméter \Psi \frac{\gamma C_{sat}}{T_0 - T_{CMB}} Egy újonnan definiált paraméter, amely az illóanyag-csökkenés miatti maximális lehetséges likvidusz-hőmérséklet változást reprezentálja, a rendszer teljes hőmérséklet-különbségével skálázva. Számszerűsíti az illóanyagok potenciális hatását a rendszer termodinamikájára.

Diffuzivitás arány \tilde{\kappa} \frac{\kappa_s}{\kappa_l} A szilárd és folyékony fázis termikus diffuzivitásának aránya. Jellemzően 1-hez közeli.

Hővezető-képesség arány \tilde{k} \frac{k_s}{k_l} A szilárd és folyékony fázis hővezető-képességének aránya.

Ezek a dimenzió nélküli csoportok hatékony lencsét biztosítanak a probléma vizsgálatához. Például bármely két magmaóceán dinamikája, függetlenül azok specifikus bolygói kontextusától, azonos lesz, ha ezeknek a dimenzió nélküli számoknak az értékei megegyeznek. Analitikus megoldásunkat ezekben az alapvető paraméterekben fogjuk kifejezni.

3.3 A Hasonlósági Transzformáció

A diffúzió által vezérelt mozgó határfelületi problémák gyakran megengednek egy speciális megoldásosztályt, az úgynevezett hasonlósági megoldásokat. Az alapelv az, hogy a hőmérséklet és a koncentráció térbeli profiljai, megfelelően skálázva, idővel ugyanazt az alakot tartják meg. A megoldás bármely t időpontban úgy néz ki, mint a megoldás egy másik időpontban lévő nyújtott vagy összenyomott változata. Ezt a viselkedést egyetlen hasonlósági változó, \eta, bevezetésével ragadjuk meg, amely egyesíti a teret és az időt.

Az egydimenziós diffúziós egyenlethez a helyes hasonlósági változó : \eta = \frac{z}{2\sqrt{\kappa_l t}} (3.1. egyenlet)

Ezután olyan megoldást keresünk, ahol a dimenzió nélküli hőmérséklet \tilde{T} és koncentrációk \tilde{C}_i csak \eta függvényei, nem pedig z és t független függvényei: \tilde{T}(z,t) = \Theta(\eta) (3.2. egyenlet) \tilde{C}_i(z,t) = \Gamma_i(\eta) (3.3. egyenlet)

Ahhoz, hogy ez a transzformáció működjön, a mozgó határfelületnek, s(t)-nek, is követnie kell ugyanezt a skálázást. Ez azt jelenti, hogy a front pozíciójának a következő alakúnak kell lennie: s(t) = 2\lambda\sqrt{\kappa_l t} (3.4. egyenlet) ahol \lambda egy dimenzió nélküli állandó, amely a front normalizált sebességét képviseli. A \lambda értéke ismeretlen, és a megoldás részeként kell meghatározni.

A láncszabály alkalmazásával a differenciálásra (pl. \partial/\partial t = -(\eta/2t) \cdot d/d\eta és \partial/\partial z = (1/2\sqrt{\kappa_l t}) \cdot d/d\eta), az eredeti parciális differenciálegyenlet-rendszert (PDE) (z,t)-ben átalakíthatjuk egy csatolt, nemlineáris közönséges differenciálegyenlet-rendszerré (ODE) az egyetlen \eta változóban.

Például a hőegyenlet a folyékony fázisban (2.2. egyenlet) a következővé válik: -2\eta \frac{d\Theta_l}{d\eta} = \frac{d^2\Theta_l}{d\eta^2} (3.5. egyenlet)

És a kémiai diffúziós egyenlet (2.3. egyenlet) a következővé válik: -2\eta \frac{d\Gamma_i}{d\eta} = \frac{1}{Le_i} \frac{d^2\Gamma_i}{d\eta^2} (3.6. egyenlet)

A határfelületi és peremfeltételek hasonlóképpen átalakulnak a \Theta(\eta) és \Gamma_i(\eta) függvényekre és azok deriváltjaira vonatkozó feltételekké \eta=\lambda-nál és \eta=0, \infty-nél. Az eredmény egy rendkívül nemlineáris, kétpontos peremérték-probléma egy ODE-rendszerre. Bár még mindig összetett, ez jelentős egyszerűsítés az eredeti PDE-rendszerhez képest.

3.4 A Transzformált ODE-rendszer Aszimptotikus Megoldása

Az ODE-rendszer a határfelületi feltételek miatt továbbra is nemlineáris. Az analitikus továbblépés érdekében egy reguláris perturbációs módszert, más néven aszimptotikus sorfejtést alkalmazunk. Ez a technika akkor alkalmazható, ha a probléma egyik dimenzió nélküli paramétere nagyon kicsi. Számos geológiai rendszerben, így a magmaóceánokban is, a Stefan-szám (Ste) kicsi, mivel a fúzió látens hője elhanyagolható a köpeny több száz fokos lehűlésével járó, nagy mennyiségű szenzibilis hőhöz képest.

Ezért a Ste-t egy kis \epsilon paraméterként kezeljük, és a megoldást a Ste hatványsoraként keressük. Az ismeretlen \Theta(\eta), \Gamma_i(\eta) függvényeket és az ismeretlen \lambda állandót a következőképpen fejtjük ki: \Theta(\eta) = \Theta^{(0)}(\eta) + \text{Ste} \cdot \Theta^{(1)}(\eta) + O(\text{Ste}^2) (3.7. egyenlet) \Gamma_i(\eta) = \Gamma_i^{(0)}(\eta) + \text{Ste} \cdot \Gamma_i^{(1)}(\eta) + O(\text{Ste}^2) (3.8. egyenlet) \lambda = \lambda^{(0)} + \text{Ste} \cdot \lambda^{(1)} + O(\text{Ste}^2) (3.9. egyenlet)

Ezeket a sorfejtéseket behelyettesítjük a teljes ODE-rendszerbe és a peremfeltételekbe. Ezután összegyűjtjük az azonos Ste hatványú tagokat, és egymástól függetlenül nullával tesszük őket egyenlővé. Ez az eljárás az egyetlen, nehéz nemlineáris problémát egyszerűbb, lineáris peremérték-problémák hierarchiájára bontja, amelyeket egymás után meg lehet oldani.

3.4.1 Nulladrendű Megoldás (O(\text{Ste}^0))

A Ste-t nem tartalmazó tagok összegyűjtése adja a nulladrendű problémát. Ez fizikailag egy nulla látens hővel (L=0) rendelkező rendszernek felel meg. Az irányító ODE-k lineárisak, és általános megoldásaik a hibafüggvény (erf) és a komplementer hibafüggvény (erfc) segítségével fejezhetők ki, amelyek az egyszerű diffúziós egyenlet alapvető megoldásai.

A nulladrendű hőmérséklet általános megoldása a folyadékban, \Theta_l^{(0)}(\eta), például a következő alakú lesz: \Theta_l^{(0)}(\eta) = A_0 + B_0 \cdot \text{erf}(\eta) (3.10. egyenlet) ahol A_0 és B_0 integrálási állandók. Hasonló formák léteznek a szilárd fázis hőmérsékletére és a kémiai koncentrációkra (a hibafüggvény argumentumai Le_i-vel skálázva).

A peremfeltételek és a határfelületi feltételek alkalmazása \eta=\lambda^{(0)}-nál egy transzcendens algebrai egyenletrendszert eredményez az ismeretlen integrálási állandókra és \lambda^{(0)}-ra. A T_{liq} likvidusz-hőmérséklet függvény ezen a ponton lép be. Még nulladrendben is a probléma csatolt és nemlineáris, ha a T_{liq} függ az összetételtől. A további analitikus haladás érdekében a likvidusz-függvényt linearizáljuk a távoltéri összetétel, C_{i,0} körül. Ez egy lineáris algebrai egyenletrendszert eredményez, amelyet meg lehet oldani, hogy explicit kifejezéseket találjunk \lambda^{(0)}-ra és az integrálási állandókra. Ez adja a front sebességének és a termikus/kémiai profiloknak a vezető rendű közelítését.

3.4.2 Elsőrendű Megoldás (O(\text{Ste}^1))

Ezután összegyűjtjük az összes \text{Ste}^1-gyel arányos tagot. Ez egy új lineáris ODE-rendszert ad az elsőrendű korrekciós tagokra (\Theta^{(1)}, \Gamma_i^{(1)}). A kulcsfontosságú különbség az, hogy ezek az egyenletek most inhomogének. Az ezen egyenletekben szereplő forrástagok a most megtalált nulladrendű megoldásoktól függenek.

Például az elsőrendű hőenergia-mérleg (Stefan-feltétel) most már expliciten tartalmazni fogja a látens hő tagot, és ezt fogjuk használni a front sebességének elsőrendű korrekciója, \lambda^{(1)} megoldására. A megoldási folyamat hasonló: megoldjuk a lineáris inhomogén ODE-ket és alkalmazzuk a peremfeltételeket az új integrálási állandók és \lambda^{(1)} meghatározásához.

A végső analitikus megoldás, amely a Stefan-számban első rendig helyes, a nullad- és elsőrendű megoldások összege: s(t) \approx 2(\lambda^{(0)} + \text{Ste} \cdot \lambda^{(1)})\sqrt{\kappa_l t} (3.11. egyenlet)

Ez a kifejezés képviseli a problémafelvetésben keresett "zárt alakú analitikus megoldást". Ez egy közelítő megoldás, de olyan, amelyet első elvekből vezettünk le, és amely explicit, analitikus kapcsolatokat biztosít a front sebessége és a rendszer összes kulcsfontosságú fizikai paramétere között, amint azt a dimenzió nélküli csoportok megragadják. Az algebrai rendszerek és megoldásaik részletes levezetése hosszadalmas, és az A és B függelékekben található. A következő szekciók ennek a megoldásnak a fizikai jelentését és következményeit elemzik.

4. Szekció: A Kristályosodási Front Dinamikájának Elemzése

A 3. szekcióban levezetett matematikai megoldás, bár absztrakt, rengeteg információt tartalmaz egy megszilárduló magmaóceán fizikai viselkedéséről. Ez a szekció értelmezi ezt a megoldást a kristályosodási front dinamikájának elemzéséhez, fókuszálva annak sebességére, az illóanyag-telítettség kritikus szerepére, a magma ebből következő kémiai differenciációjára, valamint a kristályosodás és a légkör fejlődése közötti átfogó visszacsatolásra.

4.1 A Kristályosodási Front Sebessége

Az analitikus levezetés elsődleges eredménye a kristályosodási front helyzetének kifejezése az idő függvényében: s(t) = 2\lambda\sqrt{\kappa_l t} (4.1. egyenlet)

Ez az egyenlet felfedi, hogy a megszilárdult köpeny vastagsága arányos az idő négyzetgyökével. Ez egy klasszikus skálatörvény a diffúzió által szabályozott folyamatokra, ahol az előrehaladás sebessége idővel lelassul, ahogy a front távolabb kerül a hőnyelőtől (a magtól), és a termikus/kémiai gradiensek ellaposodnak.

A lényegi fizika a \lambda dimenzió nélküli állandóban van beágyazva, amelyet a perturbációs analízis során határoztunk meg. A \lambda-ra levezetett kifejezés (konkrétan a vezető rendű \lambda^{(0)} tag) felfedi, hogyan függ a front sebessége a rendszer kulcsfontosságú paramétereitől. Sematikusan a megoldás azt mutatja, hogy \lambda nagyobb (azaz a kristályosodás gyorsabb), amikor:

• A hőmérsékleti gradiens meredekebb: A sebesség arányos a forró magmaóceán (T_0) és a hűvösebb határfelület (T_{CMB}) közötti kezdeti hőmérséklet-különbséggel. A nagyobb hőmérséklet-különbség nagyobb hőáramot hajt, ami gyorsabb hűléshez és kristályosodáshoz vezet. Ez képviseli a megszilárdulás elsődleges hajtóerejét.

• A kezdeti összetétel kedvez a korai kristályosodásnak: A likvidusz-hőmérséklet, T_{liq}, függ a kezdeti összetételtől, C_{i,0}. Azok az összetételek, amelyeknek magasabb a likvidusz-hőmérséklete, egy adott termikus állapotban korábban és gyorsabban kezdenek kristályosodni.

• A frakcionáció kevésbé hatékony az inkompatibilis elemekre: Az inkompatibilis elemek (alacsony K_{D,i}-vel) felhalmozódása a front előtti határrétegben csökkenti a helyi likvidusz-hőmérsékletet, ami a kohászatban "konstitucionális túlhűtésként" ismert jelenség. Ez fékként hat a kristályosodásra. A modell azt mutatja, hogy \lambda csökken, ahogy az inkompatibilis elemek koncentrációja növekszik, számszerűsítve ezt az önkorlátozó hatást.

• Az illóanyag-tartalom alacsonyabb: Az oldott illóanyagok jelenléte szintén csökkenti a likvidusz-hőmérsékletet. A modell azt mutatja, hogy a magasabb kezdeti illóanyag-tartalom, C_{v,0}, kisebb \lambda-t és így lassabb kristályosodást eredményez, mivel a magma alacsonyabb hőmérsékleten is folyékony maradhat.

A \lambda analitikus formája lehetővé teszi a kvantitatív érzékenységi elemzést, pontosan megmutatva, hogy mennyivel változik a kristályosodási sebesség például a köpeny kezdeti víztartalmának vagy a bolygó hűlési sebességének változására.

4.2 Az Illóanyag-telítettség Szerepe mint Kiváltó Mechanizmus

A modell hatékony keretet biztosít a nemlineáris viselkedések vizsgálatára, különösen az illóanyag-telítettség hatásaira. A koncentrációprofilokra, \Gamma_i(\eta), adott analitikus megoldás előrejelzi az inkompatibilis elemek – beleértve az olyan illóanyagokat, mint a víz – felhalmozódását a haladó front előtti diffúzív határrétegben.

Egy illóanyag koncentrációja a határfelületen, C_v(s(t),t), idővel növekedni fog a kristályosodás előrehaladtával. Ez egy kritikus küszöbjelenséghez vezet. Egy bizonyos t_{sat} időpontban az illóanyag koncentrációja a határfelületen elérheti a telítettségi határát az adott nyomásra és hőmérsékletre, C_{sat}(P,T). Ez az esemény alapvetően megváltoztatja a termodinamikát a határfelületen. Ahogy az illékony komponens elkezd kiválni az olvadékból egy különálló fluid fázis képzésére, a megmaradó, most már illóanyagban szegény szilikátolvadék likvidusz-hőmérséklete élesen megnőhet.

Ezt a folyamatot analitikusan modellezhetjük a keretrendszerünkön belül.

1. A telítettség előrejelzése: A C_v(s(t),t) megoldását használjuk a t_{sat} időpont meghatározására, amelynél C_v(s(t_{sat}),t_{sat}) = C_{sat}.

2. A peremfeltétel megváltozása: t > t_{sat} esetén a határfelületi feltételben (2.4. egyenlet) használt T_{liq} likvidusz-hőmérséklet függvényt módosítjuk, hogy tükrözze a kigázosodott olvadék új, magasabb likviduszát. Az olvadék a határfelületen most a telítettségi feltételnél van pufferelve.

3. Új frontsebesség: A problémát újra megoldjuk ezzel az új peremfeltétellel. Az eredmény egy új, nagyobb érték a frontsebesség paraméterére, \lambda_{new}.

Ez a sorozat azt mutatja, hogy a kristályosodási front, egy potenciálisan hosszú, lassú, egyenletes növekedési periódus után, hirtelen, nemlineáris gyorsuláson mehet keresztül az illóanyag-telítettség elérésekor. Ez egy robusztus, első elveken alapuló fizikai mechanizmust biztosít az olyan késői stádiumú eseményekhez, amelyeket például a robbanásos vulkáni kitörések kiváltó okaként javasolnak. A gyorsulással járó gyors kristályosodás nagy mennyiségű illóanyagot taszítana ki a megszilárduló rétegből, potenciálisan hatalmas kigázosodási eseményeket hajtva, amelyek döntő fontosságúak egy bolygó ősi légkörének kialakulásában. Ez az átmenet egy lassú, diffúzió által vezérelt rezsimből egy gyors, telítettség által hajtott rezsimbe a modell egyik kulcsfontosságú prediktív eredménye.

4.3 A Maradék Olvadék Kémiai Evolúciója és a Magmás Differenciáció

A koncentrációprofilokra, \Gamma_i(\eta), adott analitikus megoldás a frakcionált kristályosodás és annak következményeinek közvetlen, kvantitatív modelljét nyújtja. A megoldás expliciten mutatja egy kémiai határréteg kialakulását a front előtt, ahol az inkompatibilis elemek (K_{D,i} < 1) feldúsulnak, a kompatibilis elemek (K_{D,i} > 1) pedig elszegényednek a távoltéri magmaösszetételhez, C_{i,0}-hoz képest. Ez a folyamat a magmás differenciáció lényege.

A megmaradó folyékony magma tömbösszetételének evolúcióját követve, ahogy a megszilárdulási front s(t) halad előre, előre jelezhetjük az egész rendszer kémiai pályáját. Ez közvetlenül analóg a reaktív olvadéktranszport modellezésével, ahol az olvadék összetétele fejlődik, miközben kölcsönhatásba lép egy szilárd mátrixszal.

Különösen fontos alkalmazás a magasan fejlett, geokémiailag dúsult rezervoárok kialakulásának modellezése. Ahogy a magmaóceán a kristályosodásának utolsó stádiumaihoz közelít (pl. >90% szilárd), a megmaradt kis mennyiségű olvadék rendkívül feldúsul minden olyan inkompatibilis elemben, amelyet szisztematikusan kizártak a kristályosodó szilárd anyagokból. Ide tartoznak olyan elemek, mint a kálium (K), a ritkaföldfémek (REE), a foszfor (P), az urán (U) és a tórium (Th), valamint az illóanyagok.

Modellünk kvantitatív előrejelzést adhat ennek a végső maradék olvadéknak az összetételére. A megszilárdult frakciót, s(t)/D_{MO} (ahol D_{MO} a magmaóceán teljes mélysége), egy 0.95-höz hasonló értékre állítva kiszámíthatjuk a megmaradó 5% folyadék megfelelő tömbösszetételét. Ez hatékony elméleti eszközt biztosít olyan rezervoárok eredetének megértéséhez, mint a holdi KREEP, egy geokémiai komponens, amelyről ismert, hogy ezekben az elemekben magasan dúsult, és feltételezhetően a holdi magmaóceán utolsó maradékait képviseli. A modell tesztelheti, hogy egy adott kezdeti holdi összetételből származó egyszerű frakcionált kristályosodási folyamat elegendő-e egy KREEP-szerű maradék folyadék létrehozásához.

4.4 A Kristályosodás-Redox-Atmoszféra Visszacsatolási Hurok

A probléma holisztikus szemléletéből egy kulcsfontosságú felismerés bontakozik ki: a bolygó hűlési sebessége nem egy független, külsőleg rákényszerített paraméter. Ehelyett endogén módon kapcsolódik magához a kristályosodási folyamathoz egy összetett visszacsatolási hurkon keresztül, amely magában foglalja a magma redoxállapotát és a kigázosodott légkör összetételét.

Ennek a visszacsatolásnak a sorrendje a következő:

1. Kristályosodás és Redox Evolúció: A fő köpenyásványok, különösen az olivin és a piroxén kristályosodása magában foglalja a vas megoszlását a vas(II) (Fe^{2+}) és vas(III) (Fe^{3+}) oxidációs állapotai között. Kísérleti bizonyítékok azt mutatják, hogy a Fe^{2+} előnyben részesítve épül be a kristályszerkezetbe a Fe^{3+}-tal szemben. Ennek eredményeként a frakcionált kristályosodás szisztematikusan eltávolítja a redukált vasat az olvadékból, aminek következtében a maradék folyékony magma Fe^{3+}/\Sigma Fe aránya idővel növekszik. A magmaóceán tehát fokozatosan oxidálódik, ahogy megszilárdul.

2. Redox Kontroll a Légköri Speciáción: A magma oxidációs állapota a felszínen beállítja a felette lévő légkör oxigénfugacitását (fO_2). Ez pedig szabályozza a kigázosodott illóanyagok kémiai speciációját. Egy redukált magmaóceán (alacsony fO_2) redukált légkört fog kigázosítani, amely gazdag olyan fajokban, mint a hidrogén (H_2) és a szén-monoxid (CO). Ahogy a magmaóceán oxidálódik, egyre oxidáltabb légkört kezd kigázosítani, amelyet a vízgőz (H_2O) és a szén-dioxid (CO_2) dominál.

3. Légköri Kontroll a Bolygói Hűlésen: A légkör összetétele mélyreható hatással van annak sugárzási tulajdonságaira és hőcsapda-képességére (üvegházhatás). A H_2-t és CO-t tartalmazó redukált légkörök általában kevésbé hatékonyak a hő űrbe történő kisugárzásában, mint az erős üvegházhatású gázokat, H_2O-t és CO_2-t tartalmazó oxidált légkörök. Ezért, ahogy a légkör átmenetet képez a redukáltról az oxidáltra, a bolygó hűtési képessége növekszik.

Ez a teljes visszacsatolási hurok beépíthető analitikus keretrendszerünkbe. A bolygó hűlési sebességét végső soron a felszíni hőáram határozza meg, amely a termikus probléma távoltéri peremfeltételeként szolgál. Ezt a felszíni hőáramot parametrizálhatjuk a megmaradó folyékony olvadék tömbösszetételének függvényeként, amely meghatározza a légkör összetételét. Például: \text{Felszíni hőáram} = F(fO_2(\text{Tömb } C_{Fe^{3+}/\Sigma Fe})) (4.2. egyenlet)

Azzal, hogy a termikus peremfeltételt a rendszer fejlődő állapotának függvényévé tesszük, a modell teljesen önkonzisztenssé válik. A hűlési sebesség már nem egy tetszőleges bemeneti adat, hanem a csatolt köpeny-légkör evolúciójának egy emergens tulajdonsága. Ez lehetővé teszi a modell számára, hogy megragadja az egyik leg alapvetőbb kölcsönhatást, amely egy bolygó átmenetét szabályozza egy olvadt gömbből egy stabil légkörrel rendelkező szilárd testté.

5. Szekció: Geokémiai és Bolygótudományi Következtetések

A kristályosodási front dinamikájának analitikus modellje, miután levezetésre és elemzésre került, most már alkalmazható a bolygótudomány kulcsfontosságú kérdéseinek megválaszolására. A mozgó határfelület mikroszkopikus fizikájának és egy bolygó makroszkopikus evolúciójának összekapcsolásával a modell kvantitatív előrejelzéseket kínál az ősi kéreg kialakulására, az illóanyagok kigázosodására és a hosszú távú bolygófejlődés kezdeti feltételeire. Ez a szekció ezeket a széles körű következményeket vizsgálja, összehasonlítva a modell előrejelzéseit a bolygói megfigyelésekkel, és kiemelve a jövőbeli kutatások irányait.

5.1 Előrejelzések az Ősi Kéreg Kialakulására

A magmaóceán teljes megszilárdulásához szükséges idő és a keletkező elsődleges kéreg végső vastagsága alapvető bolygói tulajdonságok. Modellünk közvetlen módszert kínál e mennyiségek becslésére. A frontsebesség, ds/dt, integrálásával t=0-tól addig, amíg a front eléri a magmaóceán tetejét (vagy amíg a megszilárdult frakció el nem ér egy kritikus küszöböt, pl. ~99%), kiszámíthatjuk a teljes megszilárdulási időskálát. A front végső pozíciója, s(t_{final}), megadja a köpeny kumulátumhalmazának vastagságát, amely az elsődleges kéreg alatt helyezkedik el.

Maga a kéreg jellege a felső magmaóceánban kristályosodó ásványok felhajtóerejétől függ. A modell előrejelzése a maradék olvadék kémiai evolúciójáról lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk, mikor válnak az alacsony sűrűségű ásványok, mint a plagioklász, a domináns kristályosodó fázissá.

• Alkalmazás a Holdra: A Hold a magmaóceánból képződött elsődleges kéreg kanonikus példáját nyújtja. A holdi felföldek anortozitból állnak, egy olyan kőzetből, amelyet a plagioklász ásvány dominál. Ezt a plagioklász-flotációs hipotézis magyarázza, amely szerint az alacsony sűrűségű plagioklász kristályok a holdi magmaóceán (LMO) tetejére úsztak, hogy vastag kérget képezzenek. Modellünket e megfigyeléssel szemben tesztelhetjük. Hold-specifikus paramétereket használva a kezdeti összetételre és a nyomás-hőmérséklet viszonyokra, szimulálhatjuk az LMO frakcionált kristályosodási sorozatát. Egy sikeres modellnek azt kellene előre jeleznie, hogy a mélységi mafikus ásványok (olivin, piroxén) kezdeti kristályosodási fázisa után a maradék olvadék annyira feldúsul alumíniumban és kalciumban, hogy a plagioklász válik a likvidusz fázissá, és alacsony sűrűsége miatt flotációs kérget képez. A modell előre jelezheti a termelt plagioklász teljes mennyiségét, lehetővé téve a közvetlen összehasonlítást a megfigyelt, ~30-40 km vastag holdi kéreggel. Fényt deríthet az eltérésekre is, például arra, hogy egyes numerikus modellek miért küzdenek a modern, GRAIL-korszakbeli kéregvastagság-mérések reprodukálásával, talán rávilágítva a plagioklász-termelés érzékenységére a kezdeti illóanyag-tartalomra vagy a hűlési sebességre, olyan tényezőkre, amelyeket modellünk expliciten kezel.

• Alkalmazás a Marsra: A bizonyítékok arra utalnak, hogy a Mars is átélt egy magmaóceán fázist, amely egy elsődleges kérget hozott volna létre. A marsi kéreg-dichotómia – az idősebb, vastagabb déli felföldek és a fiatalabb, vékonyabb északi alföldek közötti éles különbség – gyökerei ebben a korai korszakban keresendők. Modellünk első rendű becslést adhat az ősi marsi kéreg vastagságára és átlagos összetételére, egy alulról felfelé történő megszilárdulási forgatókönyvet feltételezve. Ez egy alapot biztosít, amelyhez képest a későbbi folyamatok, mint például az óriásbecsapódások vagy a köpeny-felborulás hatásai értékelhetők.

• Alkalmazás a Földre: Bár a Föld ősi kérge már rég elpusztult és újrahasznosult a több milliárd éves lemeztektonika által, kezdeti állapotának megértése kulcsfontosságú a hadei geodinamika modelljei számára. A Föld magmaóceánjának megszilárdulása határozta meg a köpeny kezdeti termikus és összetételi állapotát, befolyásolva, hogy a lemeztektonika mikor és hogyan kezdődhetett el. Modellünk előre jelezheti a magmaóceán fázis időtartamát a Földön, egy kritikus paramétert, amely meghatározza a bolygó kezdeti termikus állapotát és azt az időtartamot, amíg egy szilárd litoszféra kialakulhatott. A modell előrejelzi egy sűrű, vasban gazdag és hidroszus kumulátumréteg kialakulását is a megszilárduló köpeny tetején, amely gravitációsan instabil lett volna és hajlamos lett volna a felborulásra, ami a korai köpenydinamika kulcsfontosságú eseménye.

5.2 Az Illóanyag-kigázosodás és a Légkör Kialakulásának Modellezése

Egy bolygó másodlagos légkörének kialakulása elválaszthatatlanul kapcsolódik köpenyének megszilárdulásához. Az analitikus modell ennek a folyamatnak a kvantitatív történetét nyújtja. Bármely illékony komponens áramlása a magmaóceán felszínéről a légkörbe kiszámítható a modell által előrejelzett koncentrációgradiensekből. Ezt az áramlást a megszilárdulás időtartama alatt integrálva meghatározhatjuk az egyes illóanyagok (pl. H_2O, CO_2, N_2) teljes tömegét, amely a köpenyből a légkörbe kerül.

Még hatékonyabban, a kristályosodás-redox-atmoszféra visszacsatolási hurok (4.4. szekció) beépítésével a modell szimulálhatja a köpeny és a légkör együttes evolúcióját. A kristályosodás előrehaladtával a modell követi az olvadék változó redoxállapotát. Ez pedig minden lépésben meghatározza a kigázosodott illóanyagok speciációját. A modell így előre jelezheti a légköri összetétel időbeli alakulását, kezdve egy korai, redukált, H_2-ben és CO-ban domináló légkörrel, és áttérve egy oxidáltabb, H_2O-ban és CO_2-ben gazdag légkörre, ahogy az alatta lévő magmaóceán oxidálódik.

Ez közvetlen, fizikai kapcsolatot biztosít a megszilárdult köpeny százalékos aránya, valamint a légkör nyomása és összetétele között. Például a modell előre jelezheti, hogy hány földi óceánnyi víz gázosodna ki, mire a köpeny 50%-ban megszilárdul. Előre jelezheti a CO_2-dominált légkörre való átmenet időzítését is, ami a korai Föld és Vénusz evolúciójának kritikus lépése. Ezek az előrejelzések kulcsfontosságú bemeneti adatokat szolgáltatnak a korai Föld klímamodelljeihez és azoknak a körülményeknek a megértéséhez, amelyek kedvezőek lehettek vagy nem az élet eredetéhez.

5.3 A Modell Korlátai és a Jövőbeli Kutatások Irányai

Bár a jelentésben levezetett analitikus megoldás hatékony betekintést nyújt, egy sor egyszerűsítő feltételezésen alapul. E korlátok elismerése kulcsfontosságú az eredmények helyes értelmezéséhez és a jövőbeli kutatások ígéretes irányainak azonosításához.

• Egydimenziós geometria: A modell egydimenziós és laterális homogenitást feltételez. A valós magmaóceánok laterális hőmérséklet- és összetétel-változásokat tapasztaltak volna, különösen a heterogén becsapódások vagy a nagyléptékű konvektív mintázatok kialakulása miatt.

• A konvekció elhanyagolása a tömbmagmában: A bolygói magmaóceánok várhatóan erősen turbulensek, a Rayleigh-számok potenciálisan meghaladhatják a 10^{30}-t. Ez a konvekció hatékonyan keverné a magmaóceán nagy részét, a modellben elemzett diffúzív határrétegeket nagyon vékony régiókra korlátozva a kristályosodási front mellett. Megoldásunk ezért egy diffúzió-dominált végpontot képvisel. A valós dinamika a tömbfolyadékban zajló turbulens transzport és a határrétegekben zajló diffúzív transzport komplex kölcsönhatását foglalja magában. Modellünk előnye, hogy feloldja a fizikát ezen a kritikus határrétegen belül, ahol a fázisváltozás ténylegesen bekövetkezik.

• Egyszerűsített kémia és termodinamika: Egy egyszerűsített ternér rendszer és linearizált likvidusz-függvények használata szükséges kompromisszum az analitikus kezelhetőség érdekében. A valós magmák összetett, többfázisú, többkomponensű keverékek, rendkívül nemlineáris termodinamikai tulajdonságokkal. A modell megragadja a frakcionált kristályosodás elsőrendű hatásait, de nem veszi figyelembe a bonyolultabb jelenségeket, mint például az ásványreakciókat vagy a folyadék-immiszcibilitást.

• Éles határfelület feltételezése: A modell egy éles, végtelenül vékony határfelületet feltételez a szilárd és a folyékony fázis között. A valóságban valószínűleg létezik egy "kásás zóna" ("mushy zone") – egy részlegesen olvadt régió, amely szilárd kristályok hálózatát tartalmazza. A reológia és a transzporttulajdonságok ebben a kásás zónában összetettek, és befolyásolnák az általános dinamikát.

E korlátok ellenére az analitikus modell alapvető célt szolgál. Világos, fizikailag átlátható alapot biztosít a működő alapvető folyamatok megértéséhez. A jövőbeli kutatásoknak erre az analitikus alapra kell építeniük. A határfelületi dinamikára levezetett megoldás hatékony és számításilag takarékos szubgríd modellként használható a köpenykonvekció nagyléptékű numerikus szimulációin belül. Ez lehetővé tenné a nagyléptékű modellek számára, hogy beépítsék a kristályosodási front alapvető mikrofizikáját anélkül, hogy azt megfizethetetlen számítási költséggel kellene feloldaniuk. A jövőbeli elméleti munka kiterjeszthetné az analitikus megközelítést, például perturbációs módszerekkel bevonva a kásás zóna elsőrendű hatásait, vagy összekapcsolva az 1D modellt a légköri szökés egy parametrizált modelljével. Az egyszerűsített analitikus elmélet és a komplex numerikus szimuláció közötti szakadék áthidalásával tovább finomíthatjuk a bolygók születésének és fejlődésének megértését.

Függelékek

A. Függelék: A Transzformált ODE-rendszer Részletes Levezetése

Ez a függelék részletezi az irányító parciális differenciálegyenletek (PDE-k) és peremfeltételek transzformációját a (z,t) koordináta-rendszerből a \eta = z/(2\sqrt{\kappa_l t}) hasonlósági koordinátára.

1. Deriváltak transzformációja: A láncszabályt használva a t és z szerinti parciális deriváltak a következőképpen transzformálódnak: $$ \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial\eta}{\partial t} \frac{d}{d\eta} = -\frac{z}{4t\sqrt{\kappa_l t}} \frac{d}{d\eta} = -\frac{\eta}{2t} \frac{d}{d\eta} $$ $$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial\eta}{\partial z} \frac{d}{d\eta} = \frac{1}{2\sqrt{\kappa_l t}} \frac{d}{d\eta} $$ $$ \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{1}{4\kappa_l t} \frac{d^2}{d\eta^2} $$

2. Az irányító egyenletek transzformációja: Ezeket behelyettesítve az irányító egyenletekbe (2.1-2.3):

o Hőegyenlet (Folyadék, z>s(t) \Rightarrow \eta>\lambda): $$ \frac{\partial T_l}{\partial t} = \kappa_l \frac{\partial^2 T_l}{\partial z^2} \implies -\frac{\eta}{2t} \frac{d\Theta_l}{d\eta} = \kappa_l \left(\frac{1}{4\kappa_l t} \frac{d^2\Theta_l}{d\eta^2} \right) \implies \frac{d^2\Theta_l}{d\eta^2} + 2\eta \frac{d\Theta_l}{d\eta} = 0 $$

o Hőegyenlet (Szilárd, 0 \le z < s(t) \Rightarrow 0 \le \eta < \lambda): $$ \frac{\partial T_s}{\partial t} = \kappa_s \frac{\partial^2 T_s}{\partial z^2} \implies -\frac{\eta}{2t} \frac{d\Theta_s}{d\eta} = \kappa_s \left(\frac{1}{4\kappa_l t} \frac{d^2\Theta_s}{d\eta^2} \right) \implies \frac{d^2\Theta_s}{d\eta^2} + \frac{2\eta}{\tilde{\kappa}} \frac{d\Theta_s}{d\eta} = 0 $$ ahol \tilde{\kappa} = \kappa_s/\kappa_l.

o Kémiai diffúziós egyenlet (Folyadék, \eta > \lambda): $$ \frac{\partial C_i}{\partial t} = D_i \frac{\partial^2 C_i}{\partial z^2} \implies -\frac{\eta}{2t} \frac{d\Gamma_i}{d\eta} = D_i \left(\frac{1}{4\kappa_l t} \frac{d^2\Gamma_i}{d\eta^2} \right) \implies \frac{d^2\Gamma_i}{d\eta^2} + 2\eta Le_i \frac{d\Gamma_i}{d\eta} = 0 $$ ahol Le_i = \kappa_l/D_i.

3. Határfelületi és peremfeltételek transzformációja: A határokon lévő feltételek a következőképpen transzformálódnak:

o Határfelületi hőmérséklet (\eta = \lambda): \Theta_s(\lambda) = \Theta_l(\lambda) = \tilde{T}_{liq}(\Gamma_1(\lambda), \Gamma_2(\lambda),...)

o Stefan-feltétel (\eta = \lambda): $$ \rho L \frac{ds}{dt} = k_s \frac{\partial T_s}{\partial z}|{s(t)} - k_l \frac{\partial T_l}{\partial z}|{s(t)} $$ Mivel ds/dt = \lambda\sqrt{\kappa_l/t}, ez a következővé válik: $$ \rho L \lambda \sqrt{\frac{\kappa_l}{t}} = \frac{T_0-T_{CMB}}{2\sqrt{\kappa_l t}} \left(k_s \frac{d\Theta_s}{d\eta}|{\lambda} - k_l \frac{d\Theta_l}{d\eta}|{\lambda} \right) $$ Dimenzió nélküli formában, a \text{Ste} = L/(c_p(T_0-T_{CMB})) és k=\rho c_p \kappa felhasználásával: $$ 2\lambda\text{Ste} = \tilde{k} \frac{d\Theta_s}{d\eta}|{\lambda} - \frac{d\Theta_l}{d\eta}|{\lambda} $$

o Kémiai megoszlási feltétel (\eta = \lambda): C_{i,l}(1-K_{D,i})\frac{ds}{dt} = -D_i \frac{\partial C_{i,l}}{\partial z}|_{s(t)} $$ (\tilde{C}{i,0} + \Delta\tilde{C}i \Gamma_i(\lambda))(1-K{D,i}) \lambda \sqrt{\frac{\kappa_l}{t}} = -D_i \frac{\Delta\tilde{C}i}{2\sqrt{\kappa_l t}} \frac{d\Gamma_i}{d\eta}|{\lambda} $$ $$ 2\lambda Le_i (1-K{D,i}) \Gamma_i(\lambda) = -\frac{d\Gamma_i}{d\eta}|{\lambda} \quad (\text{feltételezve, hogy } \tilde{C}{i,0} \text{ a referencia}) $$

o Peremfeltételek: \Theta_s(0) = \tilde{T}_{CMB} \lim_{\eta\to\infty} \Theta_l(\eta) = \tilde{T}_0 \lim_{\eta\to\infty} \Gamma_i(\eta) = \tilde{C}_{i,0}

Ez befejezi a transzformációt egy csatolt ODE-rendszerre, peremfeltételekkel 0, \lambda és \infty-ben.

B. Függelék: A Perturbációs Egyenletek Lépésről Lépésre Történő Megoldása

Ez a függelék vázolja a perturbációs sorfejtésből származó nulladrendű probléma megoldását.

1. Nulladrendű egyenletek (O(\text{Ste}^0)): A Stefan-feltétel nulladrendben a következővé válik: $$ \tilde{k} \frac{d\Theta_s^{(0)}}{d\eta}|{\lambda^{(0)}} - \frac{d\Theta_l^{(0)}}{d\eta}|{\lambda^{(0)}} = 0 $$ Ez azt jelenti, hogy a hőáram folytonos a határfelületen, ahogy az a látens hő hiányában várható.

2. Általános megoldások: A lineáris ODE-k általános megoldásai: \Theta_s^{(0)}(\eta) = A_s + B_s \cdot \text{erf}(\eta/\sqrt{\tilde{\kappa}}) \Theta_l^{(0)}(\eta) = A_l + B_l \cdot \text{erf}(\eta) \Gamma_i^{(0)}(\eta) = A_i + B_i \cdot \text{erf}(\eta\sqrt{Le_i})

3. Peremfeltételek alkalmazása: \Theta_s^{(0)}(0) = \tilde{T}_{CMB} \implies A_s = \tilde{T}_{CMB} \lim_{\eta\to\infty} \Theta_l^{(0)}(\eta) = \tilde{T}_0 \implies A_l + B_l = \tilde{T}_0 \lim_{\eta\to\infty} \Gamma_i^{(0)}(\eta) = \tilde{C}_{i,0} \implies A_i + B_i = \tilde{C}_{i,0}

4. Határfelületi feltételek alkalmazása \eta = \lambda^{(0)}-nál: Ez egy algebrai egyenletrendszert eredményez a fennmaradó állandókra (B_s, A_l, B_l, A_i, B_i) és az ismeretlen \lambda^{(0)}-ra.

o Hőmérséklet-folytonosságból: \Theta_s^{(0)}(\lambda^{(0)}) = \Theta_l^{(0)}(\lambda^{(0)})

o Hőáram-folytonosságból: \tilde{k} \frac{B_s}{\sqrt{\pi\tilde{\kappa}}} e^{-(\lambda^{(0)})^2/\tilde{\kappa}} = \frac{B_l}{\sqrt{\pi}} e^{-(\lambda^{(0)})^2}

o Kémiai megoszlásból: 2\lambda^{(0)}Le_i(1-K_{D,i})\Gamma_i^{(0)}(\lambda^{(0)}) = -B_i \frac{2\sqrt{Le_i}}{\sqrt{\pi}} e^{-(\lambda^{(0)})^2 Le_i}

o Likvidusz-relációból: \Theta_l^{(0)}(\lambda^{(0)}) = \tilde{T}_{liq}(\Gamma_1^{(0)}(\lambda^{(0)}),...)

Ez a rendszer még mindig nemlineáris az exponenciális és hibafüggvények, valamint a likvidusz-reláció miatt. A teljesen analitikus megoldáshoz további egyszerűsítés (pl. a likvidusz-függvény linearizálása és nagy Lewis-számok feltételezése a kémiai feltétel egyszerűsítésére) szükséges. Ennek a rendszernek a megoldása adja a \lambda^{(0)} értékét, amely a kristályosodási front sebességének vezető rendű közelítését biztosítja. A \lambda^{(1)}-re vonatkozó elsőrendű problémát ezután ezekkel a nulladrendű megoldásokkal mint forrástagokkal fogalmazzuk meg, és hasonló, bár algebrailag összetettebb módon oldjuk meg.

C. Függelék: Fogalmak és Szimbólumok Jegyzéke

Szimbólum Meghatározás Egység

t Idő s

z Térbeli koordináta (mélység) m

s(t) A kristályosodási front pozíciója m

T_s, T_l Hőmérséklet a szilárd, folyékony fázisban K

C_i Az i komponens koncentrációja \text{kg/m}^3 vagy tömeg%

\kappa_s, \kappa_l Termikus diffuzivitás a szilárd, folyékony fázisban \text{m}^2/\text{s}

D_i Az i komponens kémiai diffuzivitása \text{m}^2/\text{s}

k_s, k_l Hővezető-képesség a szilárd, folyékony fázisban \text{W/(m}\cdot\text{K)}

\rho Sűrűség \text{kg/m}^3

c_p Fajhőkapacitás \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

L Fúzió látens hője J/kg

K_{D,i} Megoszlási hányados az i komponensre dimenzió nélküli

T_{liq} Likvidusz-hőmérséklet K

C_{sat} Egy illóanyag telítettségi koncentrációja tömeg%

\eta Hasonlósági változó dimenzió nélküli

\lambda Dimenzió nélküli frontsebesség-állandó dimenzió nélküli

Ste Stefan-szám dimenzió nélküli

Le_i Lewis-szám az i komponensre dimenzió nélküli

\Theta Dimenzió nélküli hőmérséklet dimenzió nélküli

\Gamma_i Dimenzió nélküli koncentráció dimenzió nélküli

fO_2 Oxigénfugacitás Pa

LLSVP Nagy, Alacsony Nyírásihullám-sebességű Tartomány

KREEP Kálium (Potassium), Ritkaföldfémek (Rare Earth Elements), Foszfor (Phosphorus)

CMB Mag-köpeny határ (Core-Mantle Boundary)

LMO Holdi Magmaóceán (Lunar Magma Ocean)

Idézett munkák

1. Goodness Gracious, Great Balls of Fire! - How Magma Oceans Shaped Planetary Evolution, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://carnegiescience.edu/events/goodness-gracious-great-balls-fire-how-magma-oceans-shaped-planetary-evolution

2. Magma oceans as a critical stage in the tectonic development of rocky planets - PMC, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6189560/

3. Magma oceans as a critical stage in the tectonic development of rocky planets - Journals, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsta.2018.0109

4. planetology.ethz.ch, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://planetology.ethz.ch/research/evolution-earth-magma-ocean.html#:~:text=Magma%20oceans%20are%20thought%20to,of%20core%2D%20and%20atmosphere%20formation.

5. Evolution of Earth's magma ocean - Experimental Planetology | ETH Zurich, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://planetology.ethz.ch/research/evolution-earth-magma-ocean.html

6. The magma ocean stage in the formation of rocky-terrestrial planets | ACT of ESA, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.esa.int/gsp/ACT/coffee/2020-01-16-%20Magma Oceans/

7. Petrology and Physics of Magma Ocean Crystallization - NASA Technical Reports Server (NTRS), hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://ntrs.nasa.gov/citations/20050157877

8. Magma Oceans in the Inner Solar System | Annual Reviews, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.annualreviews.org/content/journals/10.1146/annurev-earth-042711-105503

9. Fractional crystallization (geology) - Wikipedia, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_crystallization_(geology

10. 4.4: Partial Melting and Crystallization - Geosciences Libre Texts, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://geo.libretexts.org/Bookshelves/Geology/Book%3A_An_Introduction_to_Geology_(Johnson_Affolter_Inkenbrandt_and_Mosher)/04%3A_Igneous_Processes_and_Volcanoes/4.04%3A_Partial_Melting_and_Crystallization

11. Experimental Fractional Crystallization of the Lunar Magma Ocean, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://ntrs.nasa.gov/api/citations/20120003028/downloads/20120003028.pdf

12. Geodynamics | Magma oceans - EGU Blogs, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://blogs.egu.eu/divisions/gd/2018/06/22/magma-oceans/

13. Is lunar magma ocean (LMO) gone with the wind? - Oxford Academic, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://academic.oup.com/nsr/article/3/1/12/2460231

14. [2301.07505] Redox evolution of the crystallizing terrestrial magma ocean and its influence on atmosphere outgassing - arXiv, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://arxiv.org/abs/2301.07505

15. Magma Ocean, Water, and the Early Atmosphere of Venus - NASA Technical Reports Server, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://ntrs.nasa.gov/api/citations/20230011915/downloads/MWaySpace_SciRev_Magma_Reprint.pdf

16. Thermal evolution of an early magma ocean in interaction with the atmosphere CORE, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://core.ac.uk/download/pdf/52710935.pdf

17. An ocean of magma formed early in Earth's history and it may still influence our planet today, study finds - Live Science, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.livescience.com/planet-earth/an-ocean-of-magma-formed-early-in-earths-history-and-it-may-still-influence-our-planet-today-study-finds

18. The three stages of magma ocean cooling - NASA Technical Reports Server (NTRS), hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://ntrs.nasa.gov/citations/19920019374

19. On the cooling of a deep terrestrial magma ocean, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.ipgp.fr/~samuel/henrilPGP/Publications_files/Monteux_etal_2016.pdf

20. Dynamic crystallization in magmas | Request PDF - ResearchGate, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.researchgate.net/publication/314244758_Dynamic_crystallization_in_magmas

21. Dynamic crystallization in magmas - SOEST Hawaii, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.soest.hawaii.edu/GG/FACULTY/JHAMMER/documents/Mollo_EMU_2017.pdf

22. Analytical and numerical solutions to the three-phase Stefan problem with simultaneous occurrences of melting, solidification, boiling, and condensation phenomena - arXiv, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://arxiv.org/html/2503.06360v2

23. Stefan problem - Wikipedia, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_problem

24. Diffusion in Melts and Magmas - NASA Technical Reports Server, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://ntrs.nasa.gov/api/citations/20230006048/downloads/Diffusion%20in%20Melts_rev_clean_final.pdf

25. Imperfect fractional crystallization of the lunar magma ocean and formation of the lunar mantle: A realistic chemical approach - NASA Technical Reports Server (NTRS), hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://ntrs.nasa.gov/citations/19920019367

26. Onset of solid-state mantle convection and mixing during magma.... hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://d-nb.info/1204478759/34

27. Magma Oceans and Primordial Mantle Differentiation - ResearchGate, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.researchgate.net/publication/323799632_Magma_Oceans_and_Primordial_Mantle_Differentiation

28. Magma ocean fractional crystallization and cumulate overturn in terrestrial planets: Implications for Mars, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, http://lunar.earth.northwestern.edu/courses/438/tanton2003.pdf

29. 2.2: Geological Applications of the Diffusion Equation - Geosciences Libre Texts, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://geo.libretexts.org/Courses/University_of_California_Davis/GEL_056%3A_Introduction_to_Geophysics/Geophysics_is_everywhere_in_geology.../02%3A_Diffusion_and_Darcy's_Law/2.02%3A_Geological_Applications_of_the_Diffusion_Equation

30. Investigating Magma Ocean Solidification on Earth Through Laser-Heated Diamond Anvil Cell Experiments - PubMed Central, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC8244043/

31. Looking inside the Earth - The Australian Museum, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://australian.museum/learn/minerals/shaping-earth/looking-inside-the-earth/

32. Reaction-Diffusion Equations: A Comprehensive Guide - Number Analytics, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.numberanalytics.com/blog/ultimate-guide-reaction-diffusion-equations

33. Reaction-diffusion system - Wikipedia, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://en.wikipedia.org/wiki/Reaction%E2%80%93diffusion_system

34. Volatiles in Magmas (Wallace), hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.geo.mtu.edu/EHaz/ConvergentPlates_Class/wallace/Wallace%20&%20Anderson%20%281999%29.pdf

35. Late-stage volatile saturation as a potential trigger for explosive volcanic eruptions | Request PDF - ResearchGate, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.researchgate.net/publication/292673946_Late-stage_volatile_saturation_as_a_potential_trigger_for_explosive_volcanic_eruptions

36. PRE-ERUPTIVE WATER CONTENTS IN LUNAR SILICIC MAGMAS: CONSTRAINTS FROM VOLATILE SATURATION AT MAGMA STORAGE DEPTHS. C. Sun and J., hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.hou.usra.edu/meetings/lpsc2024/pdf/2744.pdf

37. Analytical solution of Stefan-type problems - ResearchGate, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.researchgate.net/publication/377075238_Analytical_solution_of_Stefan-type_problems

38. Insights into magma ocean dynamics from the transport properties of basaltic melt - PMC, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC9731987/

39. existence of analytic solutions for the classical stefan problem - Department of Mathematics, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://math.vanderbilt.edu/simoneg/preprints/Stefan-Annalen.pdf

40. Analytical Solutions for a Nonlinear Reaction-diffusion Equation - AIP Publishing, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://pubs.aip.org/aip/acp/article-pdf/1558/1/1771/11527001/1771_1_online.pdf

41. On the one dimensional Stefan problem - DiVA portal, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:647481/FULLTEXT01.pdf

42. Similarity solutions - MEK4300 Lecture notes - Professor Mikael Mortensen, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://mikaem.github.io/MEK4300/content/chapter3/similarity.html

43. Perturbation methods, Physics 2400, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.phys.uconn.edu/~rozman/Courses/P2400_20F/downloads/perturbation-methods.pdf

44. Perturbation Methods GM01 Dr. Helen J. Wilson Autumn Term 2008 - UCL, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.ucl.ac.uk/~ucahhwi/GM01/lecturenotes.pdf

45. Perturbation Methods, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.iust.ac.ir/files/fnst/ssadeghzadeh_52bb7/perturbation.pdf

46. Reactive Melt Transport in the Mantle and Geochemical Signatures of Mantle-derived Magmas | Journal of Petrology | Oxford Academic, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://academic.oup.com/petrology/article/39/5/1039/1445087

47. From Binary Mixing to Magma Chamber Simulator: Geochemical Modeling of Assimilation in Magmatic Systems, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://magma.geol.ucsb.edu/papers/Heinonen-etal_Mixing-to-MCS_Ch07.pdf

48. How Did Magma Oceans Evolve on Early Earth and Mars? - Eos.org, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://eos.org/research-spotlights/how-did-magma-oceans-evolve-on-early-earth-and-mars

49. Vertically Resolved Magma Ocean-Protoatmosphere Evolution: H2, H2O, CO2, CH4, CO, O2, and N2 as Primary Absorbers - PMC - PubMed Central, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7988593/

50. WHY DO LUNAR MAGMA OCEAN COOLING MODELS STRUGGLE TO REPRODUCE A GRAIL-ERA CRUSTAL THICKNESS? | Request PDF - ResearchGate, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.researchgate.net/publication/365033699_WHY_DO_LUNAR_MAGMA_OCEAN_COOLING_MODELS_STRUGGLE_TO_REPRODUCE_A_GRAIL-ERA_CRUSTAL_THICKNESS

51. Water in the Lunar Mantle: Results from Magma Ocean Modeling - ResearchGate, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://www.researchgate.net/publication/241303726_Water_in_the_Lunar_Mantle_Results_from_Magma_Ocean_Modeling

52. Magma matters: modelling the complex generation and transport of magma beneath volcanoes | by Research Features | Medium, hozzáférés dátuma: július 30, 2025, https://medium.com/@Research_Features/magma-matters-modelling-the-complex-generation-and-transport-of-magma-beneath-volcanoes-c06a12e9c0dd

Works cited

1. evolution: from cosmogenesis to biogenesis - IAEA, https://inis.iaea.org/records/j52g6-nak94/files/22048985.pdf?download=1 2. The Characterization of Reaction-Convection-Diffusion Processes by Travelling Waves - https ://ris.utwen te.nl, https://ris.utwente.nl/ws/files/6544087/Gilding96characterization.pdf 3. Josef Stefan and His Contributions to Heat Transfer - ResearchGate, https://www.researchgate.net/publication/267575099_Josef_Stefan_and_His_Contributions_to_Heat_Transfer 4. Angol-magyar geológiai szótár – English-Hungarian Geological Dictionary - ELTE, https://kazmer.web.elte.hu/pubs/Kazmer_1995_English-Hungarian_Geological_Dictionary.pdf 5. ALEX STREKEISEN-Anorthosite-, https://www.alexstrekeisen.it/english/pluto/anorthosite.php 6. Large low-shear-velocity provinces - Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Large_low-shear-velocity_provinces 7. The role of volatile cycles on Earth - Refubium - Freie Universität Berlin, https://refubium.fu-berlin.de/bitstream/handle/fub188/46613/Thesis_Vulpius.pdf?sequence=3&isAllowed=y 8. Free Boundary Problems, Theory and Applications, Herakleion, Crete, Greece, 8-14 June 1997 - DTIC, https://apps.dtic.mil/sti/tr/pdf/ADA327885.pdf 9. Cobalt and marine redox evolution - Archimer, https://archimer.ifremer.fr/doc/00174/28575/26986.pdf 10. Cobalt and marine redox evolution - The People of Earth & Planetary Sciences - Yale University, https://people.earth.yale.edu/sites/default/files/files/Planavsky/31_%20Swanner%20et%20al%20EPSL%202014.pdf 11. A területi geokémiai kutatás elméleti és gyakorlati módszerei - Magyar Elektronikus Könyvtár, http://mek.oszk.hu/19000/19095/19095.pdf 12. BÁNYÁSZATI és KOHÁSZATI LAPOK - OMBKE, https://ombke.hu/wp-content/uploads/2025/07/BKL_2025-2.pdf 13. ESA - Mapping for the Moon - European Space Agency, https://www.esa.int/ESA_Multimedia/Images/2025/07/Mapping_for_the_Moon 14. Földtani közlöny, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/F%C3%B6ldtani_k%C3%B6zl%C3%B6ny_%28IA_foyldtanikoyzlo127magya%29.pdf 15. oktanol-víz megoszlási hányados - vilaglex - Kémia, http://www.vilaglex.hu/Kemia/Html/Oktanol.htm 16. Mafic glass compositions: a record of magma storage conditions, mixing and ascent - PMC, https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6335480/ 17. Plagioclase - Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Plagioclase 18. KREEP - Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/KREEP 19. UNDERSTANDING VARIATION IN PARTITION COEFFICIENT, Kd, VALUES - Environmental Protection Agency (EPA), https://www.epa.gov/sites/default/files/2015-05/documents/402-r-99-004b.pdf 20. Wide Range Variation of δ³⁴S Isotopes in the Çayırhan Oil Shales: Multiple Sulfur Sources and Environmental Influences | MAS Journal of Applied Sciences, https://masjaps.com/index.php/mas/article/view/643