A háromdimenziós idő kiterjesztése végtelen időszállá a Kiterjedés Hídjai (Bridges of Extension) módszerrel

A háromdimenziós idő kiterjesztése végtelen időszállá a Kiterjedés Hídjai (Bridges of Extension) módszerrel

Ferenc Lengyel

September 7, 2025

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.13357.14561

Abstract

Megmutatjuk, hogy Kletetschka háromdimenziós időkoncepciója (egy 3+3 valósan kiterjesztett téridő) miként egészíthető ki matematikailag tisztán egy végtelen dimenziós időszállá,

miközben megőrzi az oksági integritást, az unitaritást és az ismert alacsonyenergiás határokat.

A kulcseszközök: (i) az híd-tenzorok, amelyek biztosítják az objektivitást és kronometrikus

alakot definiálnak az időn; (ii) egy duál-komplex lokális modell, amely egységbe rendezi

a képzetes időbeli forgatásokat az irányított infinitezimális „vastagsággal”; (iii) egy jobbönhasonló (Sierpiński-szerű) temporális hordozó, amely megszámlálható spektráltornyot támaszt; és (iv) Loeb-standardizálás hipervéges idővonalakon a jól-posedált evolúcióért. Minimális axiómakészletet, konzisztencialemmát és egy játékszerű tömegspektrum-modellt adunk,

amelyben Kletetschka három időtengelye az időmetrikai operátor első három sajátmódjaként

jelenik meg, a magasabb módusok pedig szimmetria által elnyomottak.

Kulcsszavak: többidősség, irányított infinitezimálisok, híd-tenzorok, duális számok, képzetes

idő, invariáns-elmélet, Loeb-mérték, fraktálhordozók.

MSC 2020: 83A05, 83C99, 81T99, 26E35, 28A80, 20Cxx.

1 Háttér és célkitűzés

Kletetschka 3-idő/3-tér javaslata egy hatdimenziós sokaságot formulál M = T3 × S3 kronometrikus struktúrával, amely megőrzi az oksági rendet és tesztelhető fenomenológiát eredményez (pl. részecsketömeg-mintázatok az időmetrikai sajátértékekből). Célunk T3 felemelése

egy végtelen időszállá, T , miközben megőrizzük: (i) az egyedi makroszkopikus időirányt; (ii)

az unitér evolúciót; (iii) a kontrollált oksági kúpot; és (iv) a 3-idő szektor pontos visszanyerését vetítés alatt. Ezt a Kiterjedés Hídjai program (híd-tenzorok, irányított infinitezimálisok,

invariáns csővezetékek) teszi lehetővé, amelyet axiómaként és eszköztárként veszünk át.

2 Minimális axiómakészlet

Definíció 1 (Időszál és kronometrikus híd). Legyen T szeparábilis belsőszorzat-tér R felett, és

legyen Bt

: Λ1

(T ) → R szimmetrikus bilineáris alak ( kronometrikus híd). Követeljük, hogy:

(A1) Bt szignatúrája (1, ∞) abban az értelemben, hogy létezik 1-dimenziós negatív altér és nemnegatív irányok megszámlálható családja (némelyik degenerált vagy nilpotens lehet, lásd

alább).

(A2) Van Bt-invariáns 3-dimenziós altér T3 = span{t1, t2, t3} ⊂ T .

Definíció 2 (Duál-komplex lokális modell). Minden téridőpontban együtthatókat veszünk C⊗Dben, ahol D = {a + bε : ε

2 = 0}. A C-fázis a képzetes időbeli negyed-fordulatokat (Wickszerű forgatásokat) kódolja, míg a D-rész elsőrendű irányított infinitezimális vastagságot hordoz.

1Deriváltakat és variációs alakokat ebben az algebrában számítunk; a standard részeket Loebleképezéssel vesszük fel hipervéges rácsokon.

Definíció 3 (Objektív dinamika invariánsokon keresztül). Hagy legyen egy G szimmetriahatás T × S3-on. A Lagrange-skálárok a G-invariáns polinomiális gyűrűből származnak; számosságuk és fokozati bázisuk a Molien–Hilbert sorból adódik. A híd-tenzorok ( intertwinerek)

G-kommutálóak, biztosítva az objektív mérés-operátorokat és a jól-posedált konstitutív/mezőkapcsolásokat.

Definíció 4 (Jobb-önhasonló időhordozó). T -t jobb-önhasonló (Sierpiński-szerű) hordozóval

látjuk el ellenállásformával és spektrális dekalációval, ami időbeli sajátmódok megszámlálható

halmazát adja {ψk}k≥1, sajátértékekkel {λk}k≥1, amelyek a végtelenhez halmozódnak. A makroszkopikus

szektort az első néhány mód feszíti ki.

3 Konzisztencia: okság és unitaritás

Tekintsünk egy Klein–Gordon-típusú mezőt ϕ : M → C ⊗ D a következő kinetikus taggal:

Lkin =

2

1

⟨∂tϕ, ∂tϕ⟩Bt − ⟨∇xϕ, ∇xϕ⟩Bx

,

ahol Bx pozitív térbeli híd. Jelölje P3 : T → T3 az ortogonális vetítést.

Lemma 1 (Egyetlen effektív negatív irány). Ha Bt-nek egy negatív iránya van, és minden

további időirány (i) invariáns potenciálokon, (ii) C-fázisokon vagy (iii) D-nilpotens rétegeken

keresztül lép be, akkor a Lkin-hez tartozó kvadratikus alaknak a fizikai alteren egyetlen effektív

negatív iránya marad. Különösen: a fénykúp nem tágul a magasabb időmódusok miatt.

Bizonyítási vázlat. A nilpotens (D) hozzájárulások nem adnak propagáló szabadsági fokot; a

C-fázisforgatások uniterek. Az invariánsok a magasabb módusokat csak G-skalárokon keresztül

kapcsolják, ami nem változtatja meg a fő kinetikus rész előjelstruktúráját. Így a hiperbolicitási

index 1 marad.

Állítás 1 (Vetítés alatti unitaritás). Jelölje U(t) az evolúciót a hipervéges időrácson, az Bt

által indukált objektív belső szorzattal. Ha a Lagrange-sűrűség G-invariáns és a diszkretizáció

tiszteletben tartja a hidat (így az átviteli operátor Bt-izometrikus o(1) hibával), akkor a Loeb standardizált evolúció st(U) unitér a fizikai Hilbert-téren. Továbbá P3 ◦ st(U) ◦ ι3 egybeesik a

Kletetschka-féle evolúcióval T3-on.

Bizonyítási vázlat. Az objektivitás ⇒ diszkrét izometria; a Loeb-standardizálás megőrzi a belső

szorzatokat a határtérben. A G-ekvivariancia és a T3 P3-invarianciája a vetítés funktorialitását

adja, ami a 3-idős propagátorral való egyezést eredményezi.

4 Játékmodell a tömegspektrumra

Legyen Ct

: T → T kompakt, önadjungált, G-ekvivariáns „temporális konstitutív” operátor (pl.

az időhíd önadjungált része vagy görbületszerű funkcionál). Spektrális felbontása:

Ct =

X

µk ⟨·, ψk⟩ ψk, µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 ≥ · · · ↘ 0.

k≥1

Definiáljuk a tömegoperátort: M2

:= α Ct+β 1 invariáns csatolásokkal α, β ∈ R (vagy skálavezér léshez az UNS bázisgyűrűben). Ekkor az előre jelzett négyzetes tömegek: m2

k = α µk + β.

Tétel 1 (Három mód visszanyerése és kontrollált korrekciók). Tegyük fel, hogy az alap időszektor

az első három módban nem degenerált, és legyen T3 = span{ψ1, ψ2, ψ3}. Ekkor:

1. A vetített tömegek {m1, m2, m3} pontosan visszaadják a 3-idős előrejelzéseket.

2. Bármely N ≥ 3 esetén

 

 

X

f(µk)

≤ ∥f∥Lip X

µk minden Lipschitz f esetén,

k>N

k>N

tehát a magasabb módusok korrekciói a {µk} sorozat farkával határoltak, amely kompaktság

miatt csökken.

Megjegyzés 1 (Operatív jelentés). A G megválasztása (pl. kocka/oktaéderes vagy jobb-önhasonló

szimmetria) rögzíti a megengedett invariáns csatolásokat. A Molien–Hilbert sorok megszámlálják

a megengedett skalártagokat; ez megakadályozza a „szellemszerű” (ghost) vagy nem-okozati

keveredéseket, miközben kis, szimmetria által kontrollált eltéréseket tesz lehetővé a 3-módusú

tömegekhez képest.

5 Gyakorlati folyamat (reprodukálhatóság)

• (P1) Időhordozó: Építsük fel a jobb-Sierpiński időhordozót; számítsuk ki diszkrét

Laplace-/ellenállás-spektrumát, hogy megkapjuk {ψk, λk}.

• (P2) Invariáns audit: A választott G-re számítsuk ki a Molien-sort, listázzuk a fok ≤ d

invariánsait, és állítsuk össze a legalacsonyabb rendű Lagrange-tagot.

• (P3) Hipervéges kvantálás: Diszkretizáljuk az időt híd-konzisztens sémával, evolváljunk,

majd alkalmazzuk a Loeb standard részt a fizikai amplitúdók kiolvasásához.

• (P4) 3-módusú vetítés: Vetítsünk T3-ra és hasonlítsuk össze a 3-idős alapesettel; a

magasabb módusú korrekciókat spektrális farokkal korlátozzuk.

6 Következtetés

(i) Kronometrikus híd egy kiemelt 3D invariáns altérrel, (ii) duál-komplex kalkulus a képzetes

forgatások és az irányított vastagság számára, (iii) invariáns-elméleti korlátok és (iv) hipervéges/Loeb kvantálás kombinációja minimális és belsőleg konzisztens utat ad a 3-időtől egy

végtelen időszálig, amely vezető rendben pontosan visszacsuklik a jól ismert 3-idős fenomenológiára.

Köszönetnyilvánítás. E feljegyzés a szerző irányított infinitezimálisokról, híd-tenzorokról és

kiterjesztett időről szóló preprintjeiben kidolgozott eszméket szintetizálja, kiegészítve Kletetschka

háromidős keretének összefoglalójával.

References

[1] F. Lengyel. Bridges of Extension: Directed Infinitesimals, Hyper-Trigonometry, and Unified

Numbers—from Circles and Pyramids to Right-Sierpiński Fractals. Preprint (2025).

[2] F. Lengyel. Directed Infinitesimals, Bridge Tensors, and Real-Extended Time: A Gentle,

Rigorous Framework for Non-Standard Analysis and Its Philosophical Foundations. Preprint

(2025). DOI: 10.13140/RG.2.2.26944.39685.

[3] F. Lengyel. Infinitesimal Worlds: Time, Quantum Reality, and the Mathematics of Dimensional Consciousness. Book-length manuscript / preprint (2025). DOI:

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.31310.57925

3[4] F. Lengyel. Tensors as Bridges: Cube Symmetry, Hodge Operators, and Equivariant LowRank Tensor Networks. Preprint (2025). DOI: 10.13140/RG.2.2.12467.49445.

[5] G. Kletetschka. Three-Dimensional Time: A Mathematical Framework for Fundamental

Physics. Preprint (2025).

Augmenting Three-Dimensional Time to an Infinite-Time Fiber via Bridges of Extension

Ferenc Lengyel

September 7, 2025

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.13357.14561

Abstract

We show how Kletetschka’s three-dimensional time framework (a 3 + 3 real-extended

spacetime) admits a mathematically clean augmentation to an infinite-dimensional time

fiber while preserving causal integrity, unitarity, and known low-energy limits. The key tools

are: (i) bridge-tensors that enforce objectivity and define a chronometric form on time; (ii)

a dual-complex local model that unifies imaginary-time rotations with directed infinitesimal

“thickness”; (iii) a right-self-similar (Sierpiński-like) temporal carrier supporting a countable spectral tower; and (iv) Loeb-standardization over hyperfinite timelines for well-posed

evolution. We give a minimal axiom set, a consistency lemma, and a toy mass-spectrum

model in which Kletetschka’s three temporal axes appear as the first three eigenmodes of

the temporal metric operator, with higher modes symmetry-suppressed.

Keywords: multi-time, directed infinitesimals, bridge-tensors, dual numbers, imaginary time,

invariant theory, Loeb measure, fractal carriers.

MSC 2020: 83A05, 83C99, 81T99, 26E35, 28A80, 20Cxx.

1 Background and intent

Kletetschka’s 3-time/3-space proposal formulates a six-dimensional manifold M = T3 × S3 with

a chronometric structure that preserves causal order and yields testable phenomenology (e.g.

particle mass patterns from temporal-metric eigenvalues). Our aim is to lift T3 to an infinite

time fiber T while keeping: (i) a unique macroscopic time direction; (ii) unitary evolution; (iii)

a controlled causal cone; and (iv) exact recovery of the 3-time sector under projection. This

is enabled by the Bridges of Extension program (bridge-tensors, directed infinitesimals, and

invariant pipelines), which we adopt here as axioms and tooling.

2 Minimal axiom set

Definition 1 (Temporal fiber and chronometric bridge). Let T be a separable inner-product

space over R and let Bt

: Λ1

(T ) → R be a symmetric bilinear form (the chronometric bridge).

We require:

(A1) Bt has signature (1, ∞) in the sense that there is a 1-dimensional negative subspace and a

countable family of nonnegative directions (some may be degenerate or nilpotent as below).

(A2) There is a Bt-invariant 3-dimensional subspace T3 = span{t1, t2, t3} ⊂ T .

Definition 2 (Dual-complex local model). At each spacetime point we take coefficients in C⊗D,

where D = {a + bε : ε

2 = 0}. The C-phase encodes imaginary-time quarter-turns (Wick-like

rotations) while the D-part carries first-order directed infinitesimal thickness. Derivatives and

variational forms are computed in this algebra; standard parts are taken via a Loeb map on

hyperfinite meshes.

1Definition 3 (Objective dynamics via invariants). Let a symmetry G act on T ×S3. Lagrangian

scalars are drawn from the G-invariant polynomial ring; their count and graded basis follow

from the Molien–Hilbert series. Bridge-tensors ( intertwiners) are required to commute with G,

ensuring objective measurements and well-posed constitutive/field couplings.

Definition 4 (Right-self-similar time carrier). We equip T with a right-self-similar (Sierpińskitype) carrier endowed with a resistance form and spectral decimation, yielding a countable set of

temporal eigenmodes {ψk}k≥1 with eigenvalues {λk}k≥1 accumulating at infinity. The macroscopic sector is spanned by the first few modes.

3 Consistency: causality and unitarity

Consider a Klein–Gordon-type field ϕ : M → C ⊗ D with kinetic term

Lkin =

2

1

 

⟨∂tϕ, ∂tϕ⟩Bt − ⟨∇xϕ, ∇xϕ⟩Bx

,

where Bx is a positive spatial bridge. Let P3 : T → T3 denote the orthogonal projection.

Lemma 1 (Single effective negative direction). If Bt has one negative direction and all ad ditional time directions enter either through (i) invariant potentials, (ii) C-phases, or (iii) D nilpotent layers, then the quadratic form associated to Lkin has one effective negative direction

on the physical subspace. In particular the light-cone is not enlarged by higher time modes.

Proof sketch. Nilpotent (D) contributions do not add propagating degrees of freedom; C-phase

rotations act unitarily. Invariants couple higher modes only through G-scalar combinations,

which do not alter the sign structure of the principal kinetic part. Hence the hyperbolicity

index remains 1.

Proposition 1 (Projection unitarity). Let U(t) denote the evolution on the hyperfinite time

mesh with objective inner product induced by Bt. If the Lagrangian is G-invariant and the

discretization respects the bridge (so the transfer operator is Bt-isometric up to o(1)), then the

Loeb-standardized evolution st(U) is unitary on the physical Hilbert space. Moreover, P3 ◦st(U)◦

ι3 coincides with the Kletetschka evolution on T3.

Proof sketch. Objectivity ⇒ discrete isometry; Loeb standardization preserves inner products

on the limit space. G-equivariance plus P3-invariance of T3 implies functoriality of the projection,

yielding equality with the 3-time propagator.

4 Toy mass-spectrum model

Let Ct

: T → T be a compact, self-adjoint, G-equivariant “temporal constitutive” operator (e.g.

the self-adjoint part of the temporal bridge or a curvature-like functional). Write the spectral

decomposition

Ct =

X

µk ⟨·, ψk⟩ ψk, µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 ≥ · · · ↘ 0.

k≥1

Define a mass operator M2

:= α Ct +β 1 with invariant couplings α, β ∈ R (or in the UNS base

ring for scale control). Then the predicted squared masses are m2

k = α µk + β.

Theorem 1 (Three-mode recovery and controlled corrections). Suppose the ground temporal

sector is nondegenerate in the first three modes and let T3 = span{ψ1, ψ2, ψ3}. Then:

1. The projected masses {m1, m2, m3} reproduce the 3-time predictions exactly.

2. For any N ≥ 3,





X

f(µk)

≤ ∥f∥Lip X

µk for all Lipschitz f,

k>N

k>N

so higher-mode corrections are bounded by the tail of {µk}, which decays by compactness.

Remark 1 (Operational meaning). Choosing G (e.g. a cubic/octahedral or right-self-similar

symmetry) fixes the invariant couplings that can appear. Molien–Hilbert counts enumerate

the admissible scalar terms; this prevents ghostly or noncausal mixings while allowing small,

symmetry-controlled deviations from the 3-mode masses.

5 Practical pipeline (for reproducibility)

• (P1) Time-carrier: Build the right-Sierpiński temporal carrier; compute its discrete

Laplacian/resistance spectrum to obtain {ψk, λk}.

• (P2) Invariant audit: For the chosen G, compute the Molien series, list the degree-≤ d

invariants, and form the lowest-order Lagrangian.

• (P3) Hyperfinite quantization: Discretize time with a bridge-respecting scheme,

evolve, and apply the Loeb standard part to read physical amplitudes.

• (P4) 3-mode projection: Project to T3 and compare with the 3-time baseline; bound

higher-mode corrections by spectral tails.

6 Conclusion

The combination of (i) chronometric bridges with a singled-out 3D invariant subspace, (ii)

dual-complex calculus for imaginary rotations plus directed thickness, (iii) invariant-theoretic

constraints, and (iv) hyperfinite/Loeb quantization provides a minimal and internally consistent route from 3-time to an infinite-time fiber that still reduces exactly to the known 3-time

phenomenology at leading order.

Acknowledgments. This note synthesizes ideas developed across the author’s preprints on

directed infinitesimals, bridge-tensors, and extended time, alongside a summary of Kletetschka’s

three-time framework.

References

[1] F. Lengyel. Bridges of Extension: Directed Infinitesimals, Hyper-Trigonometry, and Unified

Numbers—from Circles and Pyramids to Right-Sierpiński Fractals. Preprint (2025).

[2] F. Lengyel. Directed Infinitesimals, Bridge Tensors, and Real-Extended Time: A Gentle,

Rigorous Framework for Non-Standard Analysis and Its Philosophical Foundations. Preprint

(2025). DOI: 10.13140/RG.2.2.26944.39685.

[3] F. Lengyel. Infinitesimal Worlds: Time, Quantum Reality, and the Mathematics of Dimensional Consciousness. Book-length manuscript / preprint (2025). DOI:

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.31310.57925

[4] F. Lengyel. Tensors as Bridges: Cube Symmetry, Hodge Operators, and Equivariant LowRank Tensor Networks. Preprint (2025). DOI: 10.13140/RG.2.2.12467.49445.

3[5] G. Kletetschka. Three-Dimensional Time: A Mathematical Framework for Fundamental

Physics. Preprint (2025).